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1、三十九章三十九章 猜想求证型问题猜想求证型问题23 （2012 山东省滨州中考，23，9 分）我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”， “三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，点 E，F 分别是AB，CD 的中点，那么 EF 就是梯形 ABCD 的中位线通过观察、测量，猜想 EF 和 AD、BC 有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论【 【解析解析】 】连接 AF 并延长交 BC 于点 G，证明ADFGCF，容易看出EF 为ABG 的中位线，所以，EF= （AD+BC）。
2、解：结论为：EFADBC，EF= （AD+BC）理由如下：连接 AF 并延长交 BC 于点 GADBCDAF=G，在ADF 和GCF 中，ADFGCF，AF=FG，AD=CG又AE=EB，即 EFADBC，EF= （AD+BC）【 【点点评评】 】本题考查梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理正确的添加辅助线是解决此题的关键，梯形的问题常常转化为三角形的问题来解决26（ （2012 黑黑龙龙江省江省绥绥化市，化市，26， ，8 分）分）已知，点 E 是矩形 ABCD 的对角线 BC 上的一点，且 BE=BC，AB=3，BC=4，点 P 为 EC 上的一动点，且 PQBC 于点
3、 Q，PRBD 于点 R 如图（甲），当点 P 为线段 EC 中点时，易证：PR+PQ=；12 5 如图（乙），当点 P 为线段 EC 上任意一点（不与点 E、点 C 重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由； 如图（丙），当点 P 为线段 EC 延长线上任意一点时，其它条件不变，则 PR 与 PQ 之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想【 【解析解析】 】解：（2）图 2 中结论 PR+PQ=仍成立12 5证明：连接 BP，过 C 点作 CKBD 于点 K四边形 ABCD 为矩形，BCD=90，又CD=AB=3，BC=4，BD=22
4、22CDBC345SBCD=BCCD=BDCK，1 21 2即 34=5CK，CK=12 5SBCE=BECK，SBEP=PRBE，SBCP= PQBC，且 SBCE=S1 21 21 2BEP+SBCP，BECK=PRBE+PQBC1 21 21 2又BE=BC，CK=PR+PQ，PR+PQ=12 5（3）图 3 中的结论是 PR-PQ=12 5【 【答案答案】 】结论 PR+PQ=仍然成立，理由见解析；图（丙）12 5中的结论是 PR-PQ=12 5【 【点点评评】 】本题主要考查了矩形的性质及直角三角形的重要定理：勾股定理，解决本题的关键是掌握好矩形的性质及以图形面积的和差为平台构造出的
5、等式关系难度中等23. （ （2012 山山东东省青省青岛岛市，市，23， ，10） ）（10 分）问题提出：以 n 边形的 n 个顶点和它内部的 m 个点，共（m+n）个点为顶点，可把原 n 边形分割成多少个互不重叠的小三角形？问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：探究一：以ABC 的三个顶点和它内部的一个点 P，共 4 个点为顶点，可把ABC 分割成多少个互不重叠的小三角形？如图，显然，此时可把ABC 分割成 3 个互不重叠的小三角形.探究二：以ABC 的三个顶点和它内部的 2 个点 P、Q，共 5 个点为顶点，可把ABC 分割成多少个互不
6、重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图ABC 的内部，再添加 1 个点 Q，那么点 Q 的位置会有两种情况：一种情况，点 Q 在图分割成的某个小三角形内部，不妨假设点 Q在PAC 内部，如图；另一种情况，点 Q 在图分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点 Q 在 PA 上，如图；显然，不管哪种情况，都可把ABC 分割成 5 个互不重叠的小三角形.探究三：以ABC 的三个顶点和它内部的 3 个点 P、Q、R，共 6 个点为顶点可把ABC 分割成 个互不重叠的小三角形，并在图画出一种分割示意图.探究四：以ABC 的三个顶点和它内部的 m 个点，共（m+3）个顶点可把ABC 分割成 个
7、互不重叠的小三角形。探究拓展：以四边形的 4 个顶点和它内部的 m 个点，共（m+4）个顶点，可把四边形分割成 个互不重叠的小三角形。问题解决：以 n 边形的 n 个顶点和它内部的 m 个点，共（m+n）个顶点，可把ABC 分割成 个互不重叠的小三角形。实际应用：以八边形的 8 个顶点和它内部的 2012 个点，共 2020 个点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）23. 【 【解析解析】 】观察图形发现：内部每多一个点，则多 2 个三角形，从而得到一般规律为 n+2(m-1)或 2m+n-2.根据根据规律逐一解答.【 【答案答案】 】探究三：7分割示意图.（答案不唯一
8、）.探究四：3+2（m-1）或 2m+1 探究拓展：4+2（m-1）或 2m+2问题解决：n+2(m-1)或 2m+n-2实际应用：把 n=8,m=2012 代入上述代数式，得 2m+n-2=22012+8-2=4024+8-2=4030.【点点评评】 】本题考查规律型中的图形变化问题，解题关键是结合图形，探寻其规律，发现规律才能顺利解题，体现特殊到一般的数学思想16 （2012 贵州遵义，16,4 分）猜数字游戏中，小明写出如下一组数： ，小亮猜想出第六个数字是，根据此规律，第 n 个数是 解析：根据分数的分子是 2n，分母是 2n+3，进而得出答案即可解：分数的分子分别是：2 2=4，23
9、=8，24=16，分数的分母分别是：2 2+3=7，23+3=11，24+3=19，第 n 个数是故答案为：答案：点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出分子与分母的变化规律是解题关键26. （2012 年吉林省，第 26 题、10 分）问题问题情境情境如图，在 x 轴上有两点 A（m,0）,B(n, 0)(nm0).分别过点 A，点 B作 x 轴的垂线，交抛物线 y=x于点 C，点 D.直线 OC 交直线 BD 于点 E，直线 OD 交直线 AC 于点 F,点 E,点 F 的纵坐标分别记为,.EyFy特例探究特例探究填空：当 m=1,n=2 时，=_,=_.EyFy当 m=3,n=5
10、时，=_,=_.EyFy归纳证归纳证明明对任意 m, n（nm0）,猜想与的大小关系，并证明你的猜想.EyFy拓展拓展应应用用.1 若将“抛物线 y=x”改为“抛物线 y=ax（a0）”,其它条件不变， 请直接写出与的大小关系.EyFy2 连接 EF， AE当时，直接写出 m 和 n 的关系.3OFEOFEBSS四边形 及四边形 OFEA 的形状【 【解析解析】 】【特例探究】【归纳证明】都是【拓展应用】（1）的特殊情况，因此以【拓展】（1）为例说明前三小问的思路：已知 A、B 的坐标，根据抛物线的解析式，能得到 C、D 的坐标，进而能求出直线 OC、OD 的解析式，也就能得出 E、F 两点的
11、坐标，再进行比较即可最后一小题也比较简单：总结前面的结论，能得出 EFx 轴的结论，那么直角梯形OFEB 的面积和OFE 的面积比例关系，能判断出 EF、OA 的比例关系，进而得出 m、n 的关系，再对四边形 OFEA 的形状进行判定【 【答案答案】 】解：特例探究特例探究当 m=1，n=2 时，A（1，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（2，4）；则：直线 OC 的解析式为：y=x；直线 OD 解析式为：y=2x；F（1，2）、E（2，2）；即2EFyy同理：当 m=3，n=5 时，15EFyy归纳证归纳证明明猜想：EFyy证明：22,DCynym则，C， D2( ,)m m2( ,)n
12、nOD 的解析式为 y=nxOC 的解析式为 y=mxE 在 OC 上，横坐标为 n，当 x=n 时，EymnF 在 OD 上，横坐标为 m当 x=m 时，FymnEFyy拓展拓展应应用用1 设22,DCyanyam则22( ,),( ,)C m amD n anOD 的解析式为,ODOCyanx yamx当 x=n 时，；当 x=m 时EyamnFyamnEFyy(2)四边形 OFEB 是直角梯形，EF=n-m,OB=n, BE=mn1(n)2 11(n)22OFEBOEFSmn amnSEF BEm amng四边形又3OFEOFEBSS四边形11(2)3n)22 23() 2nm amnm
13、 amnnmnm nm g（可得， EF=m, OA=mEFOA 且 EF=OA.四边形 OFEA 是平行四边形【 【点点评评】 】本题主要考查的是一次函数解析式的确定和二次函数的性质、图形面积的解法、平行四边形的判定等知识，综合性较强，本题由特殊到一般、由浅入深的引导方式进一步降低了题目的难度，对于基础知识的掌握是解题的关键 28（ （2012 黑黑龙龙江省江省绥绥化市，化市，28， ，10 分）分）如图，四边形 ABCD 为矩形，C 点在 x 轴上，A 点在 y 轴上，D 点的坐标是（0，0），B 点的坐标是（3，4），矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，点 A 落在 BC 边上的 G 处
14、，E、F 分别在 AD 和 AB 上，且 F 点的坐标是（2，4） 求 G 点坐标； 求直线 EF 的解析式； 点 N 在 x 轴上，直线 EF 上是否存在点 M，使以 M、N、F、G 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出 M 点坐标；若不存在，请说明理由【 【解析解析】 】解：由已知得，FG=AF=2，FB=1四边形 ABCD 为矩形B=900BG=2222213FGFB点 G 坐标为（3，4 -）3设：直线 EF 的解析式是(0)ykxb k在 RtBFG 中，cosBFG=FBFG12BFG=600，AFE=EFG=600AE=AFtanAFE=2tan600=23E 点的坐标是
15、（0，）42 3又F 点的坐标是（2,4）解得42 324bkb342 3kb直线 EF 的解析式是；342 3yx存在：、14(33, 3)3M24(13,3)3M34(13,83)3M【 【答案答案】 】 G 点坐标（3，）；43；342 3yx、14(33, 3)3M24(13,3)3M34(13,83)3M【 【点点评评】 】 本题综合考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求直线解析式、三角函数及特殊角的三角函数值、平行四边形的性质等多个知识点还考查了考生数形结合思想、分类讨论思想等多个常见的初中数学思想对考生在知识、方法及能力方面均有较高的要求难度较大21 （ （2012 四川省四川省资资阳市，阳市，21， ，8 分）分）已知a、b是正实数，那么，2abab是恒成立的（1）(3 分)由20ab 恒成立，说明2abab恒成立；（2）(3 分)填空：已知a、b、c是正实数，由 2abab恒成立，猜测： 3abc 也恒成立；（3）(2 分)如图，已知 AB
