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1、电磁场与电磁波作业电子版071244146 朱志峰071214121 周少波1.6 证明：如果CABA和BACA,则CB。解: CABA，有)()(CAABAACAAACABAAABA)()()()(由CABA同理有CAABAA)()(CB1.14 利用直角坐标系证明：(uv)=uv+vu 证明： uv+vu=u( zu v yuv xuv zvyvxvzyxzyx()() =)()()( yv v zvu yu v yv u xuv xvuyyzyyyxxx=)()()(zyxuv zuv yuv x=)(uv1.15 一球面 S 的半径为5，球心在原点，计算sder s)sin3(的值。解
2、：rdrddrdrsdsin原式 =drdrdser s2sin3sin3=15derder)5(sin=752补充题已知在直角坐标系中U(x,y,z)，求证u duudfuf)()(。证明：e yufye xufxeuf)()()(z zuf)(= zuduudfze yuduudfye xuduudfxe)()()(=u duudf)(kkekekezkykxk zezkykxk yezkykxk xerkzkykxkrkkekekekyrxrxrzrzryrzeyexeryrxr e xrzre zryrezeyexerzryrxrkzeyexerkrkzzyyxxzyxzzyxyzyx
3、xzyxzzyyxxxyzxyzyxxyzzx yyxzyxzyxzyx)()()()(30r0)()(r23111rr1)(30r23r123.1zz，则）设（）（）（又）证明：（为一常矢量。，。其中）；（）；（）证明：（学号 071244104 陈继龙学号 071244103 陈凤的作业1.28 利用直角坐标，证明fAAfAf证明：在直角坐标下，=Axex+Ayey+Azez, zyxe ze ye x, 则Af zfAz yfAy xfAxAz zAy yAx xffAAf1.30 利用直角坐标，证明GfGfGf证明：在直角坐标系下, zyxe ze ye x, zyxf G zef G
4、 y ef G x eGf, xyxe yGxxfGye xfGzzfGxefGy zyfGzGf)()()(zyxe yGxxGye xGxzGxe zGxyGzfGfzyxe zfe yfe xffzxyyzxxyzeG yfG xfeG xfG zfeG zfG yfGf)()()(所以：GfGfGf1.31利 用 散 度 定 理 及 斯 托 克 斯 定 理 可 以 在 更 普 遍 的 意 义 下 证 明0)(u及0)(A，试证明。证明：（1）由斯托克斯定理知)(u sdsdlu c00110dududu c因为曲面是任意的，所以被积函数0)(u（2）由散度定理知， svdsAdVA)(
5、把闭合曲面任意分成两半，由斯托克斯定理知，有11)( csdlAdsA22)( csdlAdsA因为 C1 和 C2 同一回路，方向相反。所以 1cdlA 2cdlA0 sdsA也就是0)(dVA v又因为体积是任意的，故得：0)(A补充题证明 duAduA; duAduuAu）（）（，其中),(zyxuu。duAdu)uuu( duAduduAduduAduduAd)()()(uzyxzyxzyxzyxzuAyuAxuAAzyx）（证明：duAd)()()()()()()()( ()()()()(uAuyuxu e xuzue zuyue duAdyuduAdxuduAde xuduAdzu
6、duAde zuduAdyuduAdeyuAxuA e xuAzuAe zuAyuAexyyzxyyzxxyyzxyyzxxyzzxyyzx）（071244143 张康071244144 张黎明2.3 电荷Q均匀分布在半径为r的导体球面上，当导体以角速度绕通过球心的z轴旋转时，试计算导体球面上的面电流密度。解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球内任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为，则P点的线速度为sinrvre 球面的上电荷面密度为24Qa故 2s i ns i n 44SQQ a aaJvee2.5 一个半径为a 的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以匀角速度绕一个直径旋
7、转，求球内的电流密度。解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球内任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为，则P点的线速度为sinrvre球内的电荷体密度为343Qa故333sinsin 434QQrr aaJvee212一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。证明： 垂直于平面的z轴上0zz处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为03z的圆内的电荷产生的。解半径为r、电荷线密度为dlr的带电细圆环在z轴上0zz处的电场强度为0223 200d d 2()zrzrrzEe故整个导电带电面在z轴上0zz处的电场强度为00223 2221 20000000d12()2()2zzzrzrzr
8、zrzEeee而半径为03z的圆内的电荷产生在z轴上0zz处的电场强度为003300223 2221 20000000d112()2()42zzzzzrzrzrzrzEeeeE216 一个一半径为a 的导体球带电荷量为q,当球体以均匀角速度 绕一个直径旋转时，如图题 2.16 所示 ,试求球心处的磁感应强度B. 解：球面上的电荷面密度为当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量点处的电荷面密度为将球面划分为无数个宽度为的细圆环，则球面上任意一个宽度为的细圆环的电流为细圆环的半径为b=sin 圆环平面到球心的距离d=a cos利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该圆环电流在球心产生的磁场为
9、故整个球面电流在球心产生的处产生的磁感应强度为2.22 通过电流密度为J 的均匀电流长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔,其横截面 如图题 2.22 所示.试计算各部分的磁感应强度,并证明空腔内的磁场是均匀的. 解:建立如解 2-22 图所示坐标系 ,因为空腔的电流密度为0,可把该电流分布看做是两个电流密度的合成. 设整个半径为b 的圆柱导体内通有电流密度为的电流 ,半径为 a的圆柱体内通有电流密度为-的电流 ,那么 ,这时整个空间的场是由这二者共同产生的. 对于大圆柱体,由安培环路定律得: 同理 , 对于小圆柱有:空间任一点的磁感应强度应有二者的矢量和,所以在大圆柱体处时, )(2)(2200a
10、rerJaareJrB小)(2)(2 200brerJbbreJrB大3 34334aqaqer aqvJsin 433在空腔和大圆柱之间时，在空腔内时，因为 d 为一定值所以空腔内的磁场是均匀的. 成康与陈莹的作业2.3 电荷 q 均匀分布在半径为a 的导体球面上， 当导体以匀角速度绕通过球心的z 轴旋转时，试计算导体球表面的面电流密度。解 ：设球面上任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为，则P点的线速度为球面的上电荷面密度为24 aqs故e aq wea aqvJsss i n 4s i n 422.5 一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为q 的电荷，球体以匀角速度绕一个直径旋转，求
11、球内的电流密度解：球内电荷体密度为：设球内任一点P 的位置矢量为r且r与 z 轴夹角为，则 P 点线速度errvsin2) (22222202202202020rrbeJrerJarerJberJaerJbBzzz) (222220200rrareJerJaeJrBzdeJrreJreJreJrBz2) (22 20000earvsin212一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为s。证明：垂直于平面的z轴上0zz处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为03z的圆内的电荷产生的。证明：半径为a，电荷线密度为rdsl的带电细圆环在z轴上0zz处的电场强度为zsezrdrzrEd23 202002
12、故整个导电带电面在z轴上0zz处的电场强度为zszzszseedxxzezrdrzrE0230023 2020002422 0而半径为03z的圆内的电荷产生在z轴上0zz处的电场强度为zszzszszee zrzrdzezrdrzrE030202202023 2020030442002.16一个半径为a的导体球带电荷量为Q，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，如题 2.10 图所示。求球心处的磁感应强度B。解球面上的电荷面密度为24Qa当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量rare点处的电流面密度为SzraJvreesinsin 4Q a aee将球面划分为无数个宽度为ddla的细圆
13、环，则球面上任一个宽度为ddla细圆环的电流为dds i nd 4SQIJl细圆环的半径为sinba，圆环平面到球心的距离cosda，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为202232dd 2 ()zbIbdBe23022223 2sind8(sincos)zQaaae30s i nd8zQaeaQbzoId题 2.10 图故整个球面电流在球心处产生的磁场为3000sind 86zzQQaaBee2.22 通过电流密度为J的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，其横截面如图 2.22 所示。试计算各部分的感应强度，并证明空腔内的磁场是均匀的。解：建立如图所示坐
14、标系，因为空腔中的电流密度为0，可把该电流分布看做是两个电流密度的合成。设整个半径为b 的圆柱导体内通有电流密度为Jza的电流，半径为a 的圆柱内通有电流密度为 - Jza的电流。那么，这时整个空间的场是由这二者共同产生的。对于大圆柱，由安培环路定律得：bre rJbbreJrB22200大同理，对于小圆柱有：are rJaarerJB22200小空间任一点的磁感应强度应为二者的矢量和，所以在的圆柱体外时，r ra r rb eJ re rJa re rJb e rJa e rJb Bzzz2222 0220220202022222在空腔和大圆柱之间时，r rareJ e rJa eJr Bz
15、220200222在空腔内时，deJ rreJ erJ eJr Bzz22220000d为一定值空腔内的磁场是均匀的。071244141 余文林071244142 张静2.21 下面的矢量函数中那些可能是磁场？如果是，求出其源量J。（2）H=HBaxayueeyx0,)(3) HBayaxHueeyx0,解: （2）0000yxBaxayHBBBeueuuyxyx该矢量是磁场矢量，其源量J 为： ezaHJ2（3）aaBayaxHBuueueuuyx00000该矢量是磁场矢量，其源量J 为：J=H=0 （4）HBu0=euuarH000 si n1BrB该矢量是磁场矢量，其源量J 为：HJee
16、aactgr22.22通过电流密度为J的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题 2.22图所示。计算各部分的磁感应强度B，并证明腔内的磁场是均匀的。 解将空腔中视为同时存在J和J的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为J、均匀分布在半径为b的圆柱内， 另一个电流密度为J、均匀分布在半径为a的圆柱内。由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁 场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。由安培环路定律0dCIBl，可得到电流密度为J、均匀分布在半径为b的圆柱内的电流产生的磁场为020222bbbb bbrbbrb rJrB Jr电流密度为J、均匀分布在半径为a 的圆柱内的电流产生的磁场为020222aaaa aaraara rJrB Jr这里ar和br分别是点ao和bo到场点P的位置矢量。将aB和bB叠加，可得到空间各区域的磁场为圆柱外：220222bababarrBJrr()brb圆柱内的空腔外：2022baaarBJrr(,)barbra空腔内：0022baBJ
