《大一上学期微积分复习资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大一上学期微积分复习资料（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 -1011 学年第一学期学年第一学期“微积分微积分”期末复习指导期末复习指导第一章第一章 函数函数一本章重点一本章重点 复合函数及分解，初等函数的概念。 二复习要求二复习要求 1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。 2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。 3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、 三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表 达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特 点。其中. 对于对数函数不仅要熟记它的运lnyx 算性质，还能熟练应用它与指数函数 互为反函数的关系，能熟练将幂指函数xye 作如下代数运算： lnvuvue .对于常用的四个反三角函数，
2、不仅要熟 习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记 它们在特殊点的函数值.4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地 分解复合函数为简单函数的组合。 5、 知道分段函数，隐函数的概念。 . 三例题选解三例题选解 例 1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初 等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？.2sin xye .21arctan()1yx 分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向 里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等 函数或其线性函数（即简单函数） 。 解：.2,sinuyeuvvx .21arctan,1.yuuvxv 例 2. 的定义域、值域各是什么？cotyarcx
3、 ？cot1arc 答：是cotyarcx cot,(0,)yxx 的反函数，根据反函数的定义域是原来函 数的值域，反函数的值域是原来函数的定 义域，可知的定义域是cotyarcx ，值域为.(,)fD (0,)fZ cot14arc 四练习题及参考答案四练习题及参考答案1. ( )arctanf xx 则 f(x)定义域为 ，值域为 f(1) = ； .(0)f 2.( )arcsinf xx 则 f(x)定义域为 ，值域为 f(1) = ； .3()2f 3.分解下列函数为简单函数的复合：.3xye .3ln(1)yx 答案：答案：1.（- +）, ,(,)22 ,04 2. 1,1 ,2
4、223 - 2 -.3. .,3uyeux .3ln,1.yuux 自我复习：习题一.（A）55、；习题一.（B）.11.第二章第二章 极限与连续极限与连续一本章重点一本章重点 极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函 数的连续性。 二复习要求二复习要求 1了解变量极限的概念，掌握函数 f(x)在 x0点有 极限的充要条件是：函数在 x0点的左右极限都存 在且相等。 2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系，掌握 无穷小量的运算性质，特别是无穷小量乘以有界 变量仍为无穷小。例如：01sinlimsin0,lim0xxxxxx 3.会比较无穷小的阶。在求无穷小之比的极限时， 利用等价无穷小代换可
5、使运算简化，常用的等价 无穷小代换有：当0 时,有：( )x ； sin( )x ( )x tan( )x ( )x ;()1xe ( )x ;ln(1( )x ( )x 1( )1nx ( )x n .1cos ( )x 2( )2x （参见教材 P79）4.掌握两个重要极限:(). 0sinlim1 xx x ().101lim(1)lim(1)xxxxexx 记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩 展形式(变形式).并能熟练应用其求极限，特别是应用重要极限()的如下扩展形式求型未定式1 极限：10lim(1)lim(1)xkx xxkekxx 10lim(1)lim(1)xkx xx
6、kekxx 5.掌握函数连续的概念， 知道结论：初等函数在 其定义区间内都是连续的，分段函数在定义区间 内的不连续点只可能是分段点。函数 f(x)在分段点 x0处连续的充要条是：函数在 x0点极限存在且等于，即：0()f x00lim( )() xxf xf x 当分段函数在分段点的左右两边表达式不相同0x时，函数 f(x)在分段点 x0处连续的充要条件则是：.000lim( )lim( )() xxxxf xf xf x 6. 掌握函数间断点及类型的判定。函数的不连续点称为间断点，函数在( )f x点间断，必至少有下列三种情况之一发生：0x、在点无定义；( )f x0x、不存在；0lim(
7、) xxf x 、存在，但.0lim( ) xxf x 00lim( )() xxf xf x 若为的间断点，当及0x( )f x)(lim0xf xx都存在时，称为的第一类间)(lim0xf xx0x( )f x断点，特别时（即)(lim0xf xx)(lim0xf xx存在时） ，称为的可去间断点；0lim( ) xxf x 0x( )f x- 3 -时称为的跳)(lim)(lim00xfxf xxxx0x( )f x跃间断点。 不是第一类间断点的都称为第二类间断点。 7.了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数 的性质,特别要知道闭区间上的连续函数必有最大 值与最小值。 8.能够熟练地利
8、用极限的四则运算性质；无穷小 量、无穷大量的关系与性质；等价无穷小代换； 教材 P69 公式（2.6） ；两个重要极限；初等函数 的连续性及洛必达法则(第四章)求函数的极限。三三.例题选解例题选解 例 1.单项选择题 下列极限中正确的是（ ）A. B. sinlim1 xx x1sin lim11xxxC. D. 20sinlim1 xx x 0tanlim1 xx x 当时，是的0x 2121x2sin x（ ） A.低阶无穷小； B.高阶无穷小； C.同阶无穷小，但不是等价无穷小； D. 等价无穷小； 分析与解： 1A 与 C 显然都不对，对于 D, 记，tan( )xf xx则tan0(
9、 )tan0xx xf xxxx 00tanlim( )lim1 xxxf xx00tanlim( )lim1 xxxf xx 0lim( ) xf x 即 D 也不对，剩下的 B 就是正确答案。2由于2222220002 1212limlimlim1sinxxxx xx xxx代换 应选择 D. 例 3.求极限： 0lim x2ln(1) 1cosx x lim x 2()5xx x 解: 此极限为型0 0当时，有0x , 2ln(1)x 2()x 1cos x 22x 0lim x2ln(1) 1cosx x 220lim22xx x 此极限为型，可用重要极限。1 lim x 2()5xx
10、 x xxx)531 (lim xxxxx53 35 )531 (limxxxxx 53 35 )531 (lim. 3e)353lim53lim(xxxxxxQ例 2判断函数 的间断点，229 6xyxx 并判断其类型。解：由于229(3)+3) 6(3)(2)xxxyxxxx （- 4 -是函数 y 无定义的点，因而是3,2xx 函数 y 的间断点。33(3)(3)36limlim(3)(2)25xxxxx xxx 为函数 y 的可去间断点；3x 22(3)(3)3limlim(3)(2)2xxxxx xxx 为函数 y 的第二类（无穷型）间断。2x 例 3函数21cos2( )0 0xf
11、 xxxxk 在点处连续，求常数 k .0x 分析与解：由于分段函数在分段点的( )f x0x 左右两边表达式相同，因此在连续的( )f x0x 充要条件是0lim( )(0). xf xfk 2220001cos82lim( )limlim xxxxxf xxx 代代换换1.8 1.8k 四四.练习题及参考答案练习题及参考答案 1.填空.当时，与0x (1)sin2xex 相比，是( 11)ln(12 )xx _无穷小；. _；21lim()23xxx x ._.220cos(3 )1tan3lim(1)ln(15)xxxxex 2.单项选择题设，下面说法正确的是2(3)(2) 56xxyx
12、x _；A. 点都是可去间断点；3,2xx B. 点是跳跃间断点，点是无穷间断2x 3x 点；C. 点是可去间断点，点是无穷间断2x 3x 点；D. 点是可去间断点，点是跳跃间断2x 3x 点； 下面正确的是_.A. ； B. ； 0tanlim1 xx x 01limsin0 xxx C. 不存在； D. . 0tanlim xx x0tanlim1 xx x 答案:1. .同阶而不等价的 ；. ；.2e 3 20 2. .C; .B . 自我复习.习题二(A)11. (4).24. ,(4),. 27. (4).28.,. 30.37,. 习题二(B).14.第三章第三章 导数与微分导数与微分一一.本章重点本章重点.导数的概念，导数及微分的计算. 二二.复习要求复习要求1.掌握函数在处可导的定义，并能熟练 x0x应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。导数是一个逐点概念，在处的导数的 x0x定义式常用的有如下三种形式：- 5 -00 00()()()lim xf xxf xfxx 000()()lim hf xhf x h .000( )()lim xxf xf x xx 2.知道导数的几何意义，会求在处的切线 x0x方程。 3.熟记基本求导公式及求导的运算法则，熟练掌 握下列求导方法,并能熟练应用它们求函数的导数：运用基本求导公式及求导
