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1、一、 轴对称与轴对称图形 ： 1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称， 两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。 2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这 条直线就是它的对称轴。 （注意：对称轴是直线而不是线段） 3.轴对称的性质：（1 ）关于某条直线对称的两个图形是全等形； （2 ）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线； （3 ）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上； （4 ）如果两个
2、图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 4.线段垂直平分线：（1 ）定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。 （2 ）性质： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 （注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以 推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 ） 5.角的平分线：（1 ）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线. （2 ）性质：在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等.到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. （ 注意：根据角
3、平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.） 6.等腰三角形的性质与判定： 性质：（1）对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高 所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；（2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线、底边上的高互相重合；（3）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。 说明：等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：等腰三角形两底角 的平分线相等；等腰三角形两腰上的中线相等；等腰三角形两腰上的高相等；等腰三角形底边上的中点到两腰
4、 的距离相等。 判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边） 。 7.等边三角形的性质与判定： 性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60 ；（2 ）等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且在每条边上都有“三线合一”。因此等边三角形是轴对称图形， 它有三条对称轴，而等腰三角形（非等边三角形）只有一条对称轴。 判定定理：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。 说明：等边三角形是一种特殊的三角形，容易知道等边三角形的三条高（或三条中线、三条角平分线）都相等。 二、 中心对称与中心对称图形 ： 1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转 1
5、80 ，如果它能够和另外一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个 点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 2.中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转 180，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心 对称图形，这个点叫做它的对称中心。 3.中心对称的性质： （1 ）关于中心对称的两个图形是全等形； （2 ）在成中心对称的两个图形中, 连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分； （3 ）成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。三、 轴对称与中心对称的区别与联系 ：四、 几种常见的轴对称图形和中心对称图形 ： 轴
6、对称图形：线段、角、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆 对称轴的条数：角有一条对称轴，即该角的角平分线；等腰三角形有一条对称轴，是底边的垂直平分线；等边三角形 有三条对称轴，分别是三边上的垂直平分线；菱形有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，矩形有两条对称轴 分别是两组对边中点的直线；中心对称图形：线段 、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆 对称中心：线段的对称中心是线段的中点；平行四边形、菱形、矩形、正方形的对称中心是对角线的交点，圆的对称 中心是圆心。 说明：线段、菱形、矩形、正方形以及圆它们即是轴对称图形又是中心对称图形。 五、 坐标系中的轴对称变换与中心对称变
7、换 ：点 P(x,y)关于 x 轴对称的点 P1 的坐标为(x,-y) ，关于 y 轴对称的点 P2 的坐标为(-x,y) 。关于原点对称的点的坐标 P3 的坐标是(-x,-y) 这个规律也可以记为：关于 y 轴（x 轴）对称的点的纵坐标（横坐标）相同，横坐标（纵坐标）互 为相反数。 关于原点成中心对称的点的，横坐标为原横坐标的相反数，纵坐标为原纵坐标的相反数，即横坐标、纵 坐标同乘以-1。常见考法 （1）判别某些图形是不是轴对称图形能找出对称轴，对称轴的条数、判别某些图形是中心对称图形能找到对称中心； （2）利用垂直平分线性质、角平分线性质证明一些结论；（3）利用等腰三角形三线合一性质证明线段相等、线段垂 直；（4）直接证明某一个三角形是等腰三角形；（4）轴对称图形的实际应用（如镜子中的轴对称问题、解决一些折 叠问题、还有求几个线段之和最短问题） 。误区提醒（1）把轴对称与轴对称图形的概念、中心对称与中心对称图形的概念混淆；（2 ）把轴对称与全等混淆； （3 ）找轴对称图形的对称轴不全、不准；（4）在解有关等腰三角形问题时，没有进行分类讨论，造成漏解。 轴对称 中心对称 有一条对称轴直线 有一个对称中心点 图形沿对称轴对折(翻折 180) 后重合 图形绕对称中心旋转 180 后重合 对称点的连线被对称轴垂直平分 对称点连线经过对称中心,且被对称中心平分
