《2016届高三数学一轮复习 第5篇 第4节 数列求和及综合应用课件 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016届高三数学一轮复习 第5篇 第4节 数列求和及综合应用课件 理（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 4节 数列求和及综合应用 最新考纲 1. 熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式 . 2. 掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法 . 3. 能在具体的 问题情境中识别数列的等差关系或等比关系 , 并能用相关知识解决相应的问题 . 编写意图 数列求和是高考的热点 ,尤其是错位相减法和裂项相消法 难点突破数列的实际应用 课时训练重点考查数列求和的方法和数列的实际应用 ,并注重数学思想 ,强化运算能力 . 考点突破 规范答题 夯基固本 夯基固本 抓主干 固双基 知识梳理 (1)公式法 直接用等差、等比数列的求和公式求解 . (2)倒序相加法 如果一个数列 足与首末两项等“距离”的两项的和相等
2、 (或等于同一常数 ),那么求这个数列的前 可用倒序相加法 . (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差 ,在求和时中间的一些项可以相互抵消 ,从而求得其和 . (4)分组求和法 一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成 ,求和时可用分组求和法 ,分别求和而后相加 . (5)并项求和法 一个数列的前 若项与项之间能两两结合求解 ,则称之为并项求和 -1)nf(n)类型 ,可采用并项法求解 . (6)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的 ,那么这个数列的前 如等比数列的前 (1)等差模型 :当增加 (或减少 )的量是一个固定量时
3、 ,该模型是等差模型 ,增加 (或减少 )的量就是公差 . (2)等比模型 :当后一个量与前一个量的比是一个固定的数时 ,该模型是等比模型 ,这个固定的数就是公比 . (3)递推模型 :找到数列中任一项与它前面项之间的递推关系式 ,可由递推关系入手解决实际问题 ,该模型是递推模型 比模型是该模型的两个特例 . 基础自测 1. 下列命题中 (1) 如果数列 a n 为等比数列 , 且公比不等于 1, 则其前 n 项和 S n =111. (2) 在裂项时 , 当 n 2 时 , 211n =11n . (3) 求 S n =a+2 + a 即可根据错位相减法求得 . (4) 若数列 a 1 ,a
4、 2 - a 1 , ,a n - a n - 1 是首项为 1, 公比为 3 的等比数列 , 则 a n 的通项公式是a n =312n . (5) 利用倒序相加法可求 + + + + + = 其中真命题的个数是 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 C 解析 : (1)S n = 1 11 q=111 q , 为真命题 ; (2) 2 1 1n = 12( 11n - 11n ) , 为假命题 ; (3) 当 a=0 或 a=1 时不可以 , 为假命题 ; (4) 由题 a n - a n - 1 =3 n - 1 , 则 a n =a 1 +(a 2 - a 1 )+ ( a
5、3 - a 2 )+ +(a n - a n - 1 )= 1+ 3+ 3 2 + +3 n - 1 ,即 a n = 312n , 为真命题 ; (5)为真命题 . 2. 已知数列 a n 的通项公式是 a n =11, 若 S n =10, 则 n 的值是( ) (A)11 (B)99 (C)120 (D)121 C 解析 : a n =11= 1n - n , S n =( 2 - 1)+( 3 - 2 )+( 4 - 3 )+ +( n - 1n )+ ( 1n - n )= 1n - 1. S n =10, 解得 n=120. 3. 数列 112,314,518,7116, ,(2n
6、 - 1) + 12 n, 的前 n 项和 S n 的值等于( ) (A) n(B)2n+ 1 n(C) n (D)n+1 S n =1+3+5+7 + +(2n - 1)+ 12+14+ 18+116+ +12 n = 1 2 12+11122112n = n. A 2 - 1 +4 2 - 2 +5 2 - 3 + +( n+ 2 ) 2 - n = . 解析 : 设 S n =3 2- 1+4 2- 2+5 2- 3+ +( n+2 ) 2- n =3 2- 2+4 2- 3+5 2- 4+ +(n+2) 2- ( n + 1 )则12S n =3 2- 1+2- 2+2- 3+ +2-
7、 n+2 ) 2- ( n + 1 )=1+11122112n- (n+2) 2- n - 1=2 n+2) 2- n - 1, S n =4 , S n =4 . 答案 :4- 42.(2014 成都一模 ) 现有一根 n 节的竹竿 , 自上而下每节的长度依次构成等差数列 , 最上面一节长为 1 0 最下面的三节长度之和为 11 4 第 6 节的长度是首节与末节长度的等比中项 , 则 n= . 解析 : 设自上而下每节竹竿的长度构成的等差数列为 a n , 由题意知 ,a 1 =1 0,a n +a n - 1 +a n - 2 =114 , 26a=a 1 a n . 3a n - 1 =
8、1 14, 即 a n - 1 =38. (a 1 +5d)2=a 1 (a n - 1 +d), (10+5d)2=10 ( 38+d), 即 58d - 5 6=0, 解得 d=2 或 d= 舍去 ). a n - 1 =10 +(n - 2) 2=2n+6=38 , n=16. 答案 :16 考点突破 剖典例 找规律 考点一 【例 1 】 (2015 哈师大附中月考 ) 已知数列 a n ,b n 满足 a 1 =5, a n =2a n - 1 +3n - 1(n 2,n N*),b n =a n - 3n(n N*). (1) 求数列 b n 的通项公式 ; (2) 求数列 a n
9、的前 n 项和 S n . 分组法求和 解 : (1) a n =2a n - 1 +3n - 1(n N*,n 2), a n - 3n=2(a n - 1 - 3n - 1), b n =2b n - 1 (n N*,n 2). b 1 =a 1 - 3=2 0, b n 0(n 1), 1=2, b n 是以 2 为首项 ,2 为公比的等比数列 . b n =2 2n - 1=2n. (2) 由 (1) 知 a n =b n +3n=2n+3n, S n =(2 + 22+ +2n) +(3 +32+ +3n) = 2 1 212n+ 3 1 313n=2n + 1+132n 反思归纳
10、分组法求和的常见类型 (1) 若 a n =b n c n , 且 b n ,c n 为等差或等比数列 , 可采用分组法求a n 的前 n 项和 . (2) 通项公式为 a n = ,为 奇 数 ，为 偶 数的数列 , 其中数列 b n ,c n 是等比数列或等差数列 , 可采用分组法求和 . 【即时训练】 已知数列 x n 的首项 x 1 =3, 通项 x n =2n q( n N*,p,q 为常数 ), 且 x 1 ,x 4 ,x 5 成等差数列 . 求 : (1)p,q 的值 ; (2) 数列 x n 前 n 项和 S n . 解 : (1) 由 x 1 =3, 得 2p+q=3, 又因
11、为 x 4 =24p+4 q,x 5 =25p+5 q , 且 x 1 +x 5 =2x 4 , 即 3+25p+5q=25p+8 q , 解得 p=1,q=1. (2) 由 (1) 知 x n =2 n + n, 所以 S n =( 2+ 2 2 + +2 n )+ (1 +2 + + n) =2 n+1 - 2+ 12. 考点二 【例 2 】 (2013 高考江西卷 ) 正项数列 a n 的前 n 项和 S n 满足 : 2n2+n - 1) S n - (n2+n) =0 . (1) 求数列 a n 的通项公式 a n , (2) 令 b n = 2 212 , 数列 b n 的前 n
12、项和为 T n . 证明 : 对于任意的 n N*, 都有 T n 0, 所以 S n =n2+n. 于是 a 1 =S 1 =2, n 2 时 ,a n =S n - S n - 1 =n2+n - (n - 1)2+( n - 1)=2n. n=1,a 1 =2 也适合上式 . 综上 , 数列 a n 的通项公式为 a n =2n. (2) 证明 : 由于 a n =2n ,b n = 2 212 , 则 b n = 22142=11621212n 所以 T n =116 1 1213 + 211n - 211n +21212n =116 1+212- 211n - 212n 0,a 1)
13、 a ( 1+1n) =a (n+1) - a n (2)利用裂项相消法求和时 ,应注意抵消后不一定只剩下第一项和最后一项 ,也有可能前面剩两项 ,后面也剩两项 ,再就是将通项公式裂项后 ,有时候需要调整前面的系数 ,使前后相等 . 【即时训练】 (2014 广东惠州 4 月模拟 ) 已知正项数列 a n 中 ,a 1 =3, 前 n 项和为 S n (n N*), 当 n 2 时 , 有= 3 . (1) 求数列 a n 的通项公式 ; (2) 记 T n 是数列 b n 的前 n 项和 , 若1的等比中项 , 求 T n . 解 : (1) = 3 , 数列 是首项为1S=1a= 3 , 公差为 d= 3 的等差数列 , 3 +(n - 1) 3 = 3
