《2016届高三数学一轮复习 大题冲关课件（三）理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016届高三数学一轮复习 大题冲关课件（三）理（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考大题冲关 (三 ) 数列的热点问题 考情概述 : 数列是历年高考的热点 , 多从等差数列、等比数列这两个特殊的数列入手 , 考查两数列的概念、基本运算性质 、通项公式、求和公式等 , 常以等差、等比数列综合命题 , 或与方程、函数与导数、不等式、解析几何等知识交汇命题 , 综合考查数列的通项、求和等问题 . 考向一 利用 a n 与 S n 的关系求通项 a n 【例 1 】 (2014 高考江西卷 ) 已知数列 a n 的前 n 项和 S n =232n N*. (1) 求数列 a n 的通项公式 ; (2) 证明 : 对任意的 n1 , 都存在 m N*, 使得 a 1 ,a n ,a
2、 m 成等比数列 . 思维导引 : (1) 由 a n =11, 1 , ,2 n 求解 ; (2)由 (1)及等比数列定义进行探究论证 . (1) 解 : 由 S n =232 得 a 1 =S 1 = 1, 当 n 2 时 ,a n =S n - S n - 1 =3n - 2, a 1 =1 也适合上式 , 所以数列 a n 的通项公式为 a n =3n - 2. (2) 证明 : 要使得 a 1 ,a n ,a m 成等比数列 , 只需要2na=a 1 a m , 即 (3n - 2)2=1 (3m - 2), 即 m=3n+ 2 , 而此时 m N*, 且 mn. 所以对任意的 n1
3、, 都存在 m N*, 使得 a 1 ,a n ,a m 成等比数列 . 冲关策略 在非等差数列与等比数列中已知 a n 常考虑 a n 与 S n 的关系a n =11, 1 ,2 n求解 , 最后结果需检验 a 1 是否符合 n 2 时 a n 的表达式 , 若符合则把通项公式合写 , 否则应分 n=1 与 n 2 两段来写 . 【即时训练 1 】 已知数列 a n 满足 :S n =2a n - 2(n N*). (1) 求数列 a n 的通项公式 ; (2) 令 b n =(n - 1 )a n , 求数列 b n 的前 n 项和 T n . 解 : (1)n=1 时 ,a 1 =S
4、1 =2a 1 - 2, a 1 =2. n 2 时 ,S n = 2a n - 2, S n - 1 =2a n - 1 - 2, 由 - 得 ,a n = 2a n - 2a n - 1 , a n =2a n - 1 (n 2,n N*), 数列 a n 是以 2 为首项 , 公比为 2 的等比数列 , a n =2 2n - 1=2n. (2) b n = (n - 1)a n =(n - 1) 2n, T n =b 1 +b 2 +b 3 + +b n =22+2 23+ +(n - 1) 2n, 2T n =23+2 24+ +(n - 2) 2n+( n - 1) 2n + 1.
5、 - 得 - T n =22+23+24+ +2n - 1) 2n + 1= 14 1 212n - (n - 1) 2n + 1=2n + 1- 4 - (n - 1) 2n + 1, T n =(n - 2) 2n + 1+4. 考向二 等差、等比数列的综合 【例 2 】 (2 014 高考山东卷 ) 已知等差数列 a n 的公差为 2, 前 n 项和为 S n ,且 S 1 ,S 2 ,S 4 成等比数列 . (1) 求数列 a n 的通项公式 ; (2) 令 b n =( - 1)n - 114, 求数列 b n 的前 n 项和 T n . 思维导引 : (1)根据已知条件列方程求出首
6、项 可求出通项 ;(2)根据 (1)得出 根据裂项相消法即可求解 . 解 : (1) 因为 S 1 =a 1 ,S 2 =2 a 1 +212 2=2a 1 +2, S 4 =4a 1 +432 2=4a 1 +12, 由题意得 (2a 1 + 2)2=a 1 (4a 1 +12), 解得 a 1 = 1, 所以 a n =2n - 1. (2)b n =( - 1)n - 114=( - 1)n - 1 42 1 2 1=( - 1)n - 1(121n +121n ) . 当 n 为偶数时 , T n = ( 1+13) - (13+15) + + (123n +121n ) - (121
7、n +121n ) =1 =221. 当 n 为奇数时 , T n = （ 1+13） - （13+15） + - （123n +121n ） + （121n +121n ）=1+121n =2221. 所以 T n =22,212,21 为 奇 数 ，为 偶 数 .（ 或 T n = 12 1 121 ） 冲关策略 解决等差数列与等比数列的综合问题 ,关键是理清两个数列的关系 部分项成等比数列 ,要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究 ;如果两个数列通过运算综合在一起 ,要从分析运算入手 ,把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征 ,再进行求解 . 【即时训练 2 】 (2013 高考新课
8、标全国卷 ) 已知等差数列 a n 的公差不为零 ,a 1 =25, 且 a 1 ,a 11 ,a 13 成等比数列 . (1) 求 a n 的通项公式 ; (2) 求 a 1 +a 4 +a 7 + +a 3n - 2 . 解 : (1) 设 a n 的公差为 d,d 0, 由题意 ,211a=a 1 a 13 , 即 (a 1 +10 d)2=a 1 (a 1 +12d). 于是 d(2a 1 + 25d )=0 . 又 a 1 =25, 所以 d= - 2. 故 a n = - 2n+27. (2) 令 S n =a 1 +a 4 +a 7 + +a 3n - 2 . 由 (1) 知 a
9、 3n - 2 = - 6n+ 31, 故 a 3n - 2 是首项为 25, 公差为 - 6 的等差数列 , 从而 S n =2n(a 1 +a 3n - 2 ) =2n( - 6n+56) = - 38 n . 考向三 数列与函数的综合 【例 3 】 (2013 高考安徽卷 ) 设数列 a n 满足 a 1 =2,a 2 +a 4 =8, 且对任意 n N*, 函数 f(x)=(a n - a n + 1 +a n + 2 )x+a n + 1 x - a n + 2 si n x , 满足 f （2） =0. (1) 求数列 a n 的通项公式 ; (2) 若 b n =2 （ a n
10、+12 , 求数列 b n 的前 n 项和 S n . 思维导引 : (1) 求 f (x ), 由 f (2) =0 得到 a n ,a n + 1 ,a n + 2 的关系 , 再结合a 1 =2,a 2 +a 4 =8 求解 . (2)由 利用分组求和法求 解 : (1) f(x )=(a n - a n + 1 +a n + 2 )x +a n + 1 co s x - a n + 2 x, f (x)=a n - a n + 1 +a n + 2 - a n+1 x - a n + 2 x , f (2) =a n - a n + 1 +a n+2 - a n + 1 =0, 2a
11、n + 1 =a n +a n + 2 , a n 是等差数列 . 设公差为 d, 由 1242,8,解得 d=1, a n =2+( n - 1) 1= n+1. (2)b n =2 ( a n +12 =2 （ n+1+112 n ） =2(n+1)+ 12 n. S n = 2 2 12+ 11122112n=n(n+3)+1 n=n+1 n. 冲关策略 (1)已知函数条件 ,解决数列问题 ,此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题 . (2)已知数列条件 ,解决函数问题 ,解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形 解题时要注意数列与函数的内在联系 ,灵活运
12、用函数的思想方法求解 . 【即时训练 3 】 设函数 f (x) = 2x+si n x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 x n . (1) 求数列 x n 的通项公式 ; (2) 设 x n 的前 n 项和为 S n , 求 n . 解 : (1) 令 f (x )=12+x=0 得 x= 解得 x=2k 23 (k Z ). 由 x n 是 f(x) 的第 n 个正的极小值点知 , x n =2n n N*). (2) 由 (1) 可知 ,S n =2 (1+2 + +n) =n(n+1 ) 3n, 所以 n = n(n+1 ) 3n . 因为 n(n +1) 表示两个连续正整数的
13、乘积 ,n (n+1) 一定为偶数 , 所以 n = - s 3n. 当 n=3m - 2(m N*) 时 , n = - s 2m = 当 n=3m - 1(m N*) 时 ,s n = - 2m = 32; 当 n=3m(m N*) 时 ,si n S n = - m =0. 综上所述 , n = *3, 3 2 N ,23, 3 1 N ,20 , 3 N .n m mn m mn m m 考向四 数列与不等式的综合 【例 4 】 (2 0 14 高考新课标全国卷 ) 已知数列 a n 满足 a 1 =1, a n + 1 =3a n +1. (1) 证明12是等比数列 , 并求 a n 的通项公式 ; (2) 证明 :11a+21a+ +12. 思维导引 : (1) 将递推关系变形为 a n + 1 + 12=3 ( a n + 12) 证得结论 , 写出通项公式 . (2) 由 1 适当“放缩”转化为等比数列求和 . 证明 : (1) 由 a n + 1 =3a n +1 得 a n +
