《2015-2016学年人教B版高中数学课件 选修2-2：第一章 导数及其应用 1.1《变化率问题》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015-2016学年人教B版高中数学课件 选修2-2：第一章 导数及其应用 1.1《变化率问题》（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第 1章 导数及应用 化率问题 变化率问题 内容：函数平均变化率的概念 ,求函数平均变化率的一般步骤 . 应用 求函数在某区间上的平均变化率 求函数在某点附近的平均变化率 本课主要学习平均变化率的概念及内涵 ,掌握求平均变化率的一般步骤 概念形成及概念深化都是采用情境探究的方法 ,将有关情境材料提供给学生 ,学生通过对这些材料进行分析 、 思考 、 提炼 、 探究 ,获得对平均变化率概念的了解 组织学生研讨自己在探究中的发现 ,通过互相交流 、 补充 、 研讨 ,使学生对平均变化率的认识从感性的认识上升到理性认识 ,获得一定水平层次的科学概念 。 针对 平均变化率的求法给出 3个例题 ， 通
2、过解决具体问题强调正确应用 平均变化率 的重要性 。 在讲述 平均变化率 的应用时 ， 采用例题与思考与探究相结合的方法 ， 通过 3个 例 题 。 随后是课堂检测 ， 通过设置难易不同的 必做 和 选做 试题 ， 对不同的学生进行因材施教 。 早在十七世纪 ， 欧洲资本主义发展初期 ， 由于工场的手工业向机器生产过渡 ， 提高了生产力 ， 促进了科学技术的快速发展 ， 其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果 微积分的产生 。 背景介绍 微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，他们分别从运动学和几何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广
3、泛的应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等。甚至连历法、农业都与微积分密切相关。更不用说在我们的日常生活中所碰到的那些问题了。 研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度 导数研究的问题 变化率问题 气球膨胀率 :我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 ,可以发现 ,随着气球内空气容量的增加 ,气球的半径增加越来越慢 如何描述这种现象呢 ? 思考 :这一现象中，哪些量在改变？变量的变化情况？ 气球的体积 V(单位 :L)与半径 r(单位 :间的函数关系是 如果将半径 的函数 ,那么 334)( 3 43)( 我们来分析一下 : 当 增加到
4、1时 ,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 当 增加到 2时 ,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 ( 1 ) ( 0 ) 0 ( )r r d m( 1 ) ( 0) ( / )10 ( 2 ) ( 1 ) 0 ( )r r d m( 2) ( 1 ) ( / )21 着气球体积逐渐变大 ,它的平均膨胀率逐渐变小。 343)(思考 ? 当空气容量从 2时 ,气球的平均膨胀率是多少 ? 2121( ) ( )r V r 在 高台跳水运动中 ,运动员相对于水面的高度 h(单位：米 )与起跳后的时间 t（单位秒）存在函数关系 h(t)=0 h t o 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述
5、其运动状态 ? 高台跳水 请计算 0 0 . 5 2 :t t v 和 1 时 的 平 均 速 度h t o h(t)=0 0 ( 0) / )2( 2) ( 1 )21m m s 在 这 段 时 间 里 ，在 1 这 段 时 间 里 ，(1) 运动员在这段时间里是静止的吗 ? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗 ? 65( ) ( 0) 10490hv t在高台跳水运动中 ,平均速度不能准确反映他在这段时间里运 动状态 . 49650 这段时间里的平均速度， 并思考以下问题： 虽然运动员在这段时间里的平均速度为 0(m/s)，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止 平均变
6、化率定义 : 若设 x= y=f(f(则平均变化率为 这里 量”可用 样 y=f(f(上述问题中的变化率可用式子 表示 称为函数 f(x)从 1212 )()(2121( ) ( )f x f x x 1. 不是与 式子中 x 、 负， 但 ， ; 因此，平均变化率可正，可负，也可为零； )()( 111212 )()(f(x)为常函数时， y=0 观察函数 f(x)的图象平均变化率 表示什么 ? O A B x y Y=f(x) x1 x2 f(f( x f(f( y 直线 1212 )()( 解 ： 当自变量从00时，函数的平均变化率为 0202000 2)()()( 当 x 取定值，0函
7、数的平均变化率也不一样，可以由图看出变化 【 例 1 】 （ 1 ）求 2 在 0x 到 0 之间的平均变化率 (2) 已知某质点按规律 2 2 （ s ：单位为 m ， t 单位为 s ）做直线运动，求： 该质点在前 3s 内的平均速度； 该质点在前 2s 到 3s 内的平均速度 解： 由题意知 3 t ， 24)0202(3232)0()3( 22 所以平均速度为)./(8324 由题意知 123 t ， 12)2222(3232)2()3( 22 所以平均速度为)./(12112 变式训练 1 （ 1 ）求 在 到 之间的平均变化率 （ 2 ）如果函数 在区间 上的平均变化率为 3 ，
8、则 _ 答案： （ 1 ）当自变量从 变到 时，函数的平均变化率为 ；（ 2 ） 3 【 例 2 】 过曲线 3)( 上的两点 )1,1(P 和 )1,1( 作曲线的割线，求出当 x 时割线的斜率 解 ： 因为)1()1( ， 所以割线 3)(3)( 2 割线k ， 式训练 2 已知曲线12 3,2(),3,2( 当 1 x 时，割线 斜率是 _ ； 当 x 时，割线 斜率是 _ 5 例 3】 某市 2004年 4月 20日最高气温为 ， 而此前的两天 ， 4月 19日和 4月 18日最高气温分别为 和 ， 短短两天时间 ， 气温 “ 陡增 ” ， 闷热中的人们无不感叹： “ 天气热得太快了
9、！ ” 但是 ， 如果我们将该市 2004年 3月 18日最高气温 与 4月 18日最高气温 进行比较 ， 我们发现两者温差为 ， 甚至超过了 而人们却不会发出上述感叹 这是什么原因呢 ？ 原来前者变化得 “ 太快 ” ， 而后者变化得 “ 缓慢 ” 20 30 34 2 10 20 30 A(1, B(32, 0 C(34, T( ) t(天 ) 2 10 问题： 当自变量表示由 3月 18日开始计算的天数 ， 表示气温 ，记函数表示温度随时间变化的函数 ， 那么气温变化的快慢情况应当怎样表示 ？ 20 30 34 2 10 20 30 A(1, B(32, 0 C(34, T( ) t(天
10、 ) 2 10 分析 ： 如上图： （ 1 ）选择该市 2 0 0 4 年 3 月 18 日最高气温 3 与 4 月 18 日最高气温 1 8 进行比较， ，由此可知 ； （ 2 ）选择该市 2 0 0 4 年 4 月 18 日最高气温 与 4 月 20 日 进行比较， ，由此可知 变式训练 3 已知函数 ，分别计算 在自变量 从 1 变化到 2 和从 3 变化到 5 时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化的较快 答案： ， ； 2质点运动规律s= t +3 ,则 在时间(3 ,3 + t) 中相应的平均速度为( )9A. 6 + t B . 6 + t+C. 3+ t D. 9+ s(
11、t)=3t2+t+4的规律作直线运动 ,求在 4 A 2 5 3 t2. 利用导数定义求导数三步曲： (1) 求函数的增量 y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) ； (2) 求平均变化率 y xf x 0 x f x 0 x； (3) 取极限，得导数 f ( x 0 ) x 0 y 比，三趋近 特别提醒 取极限前，要注意化简 y x，保证使 x 0 时分母不为 0. 函数在 x 0 处的导数 f ( x 0 ) 只与 x 0 有关，与 x 无关 导数可以描述任何事物 的瞬时变化率，应用非常广泛 口诀：一差、二化、三极限 必做题 1 已知函数 ，分别计算 在自变量 从 1 变到 2 和从 4 变到6 时的平均变化率，并判断在哪 个区间上函数值变化得较快 2 已知某质点按规律 ( ：单位为 m ， ：单位为 s ) 做直线运动， 求： （ 1 ）该质点在前 3s 内的平均速度； （ 2 ）该质点在 2s 到 3s 内的平均速度 3 2 1 1 3 2 4 1 选做题 如图是函数 的图象，求函数 在区间 上的平均变化率
