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1、2 . 2 直接证明与间接证明 2 . 2 . 1 综合法和分析法 合法和分析法 课前预习导学 堂合作探究 标导航 预习导引 学习目标 1 的两种基本方法 :综合法和分析法 ; 2 点 ,知道它们的区别与联系 ; 3 重点难点 重点 :综合法与分析法的逻辑思维过程与逻辑思维方法 ; 难点 :综合法与分析法的应用 . 合法和分析法 课前预习导学 堂合作探究 标导航 预习导引 1 . 直接证明 综合法 和 分析法 是直接证明中最基本的两种证明方法 , 也是解决数学问题时常用的思维方式 . 2 . 综合法 ( 顺推证法或由因导果法 ) ( 1 ) 综合法 一般地 , 利用 已知条件 和 某些数学定义
2、、公理、定理 等 , 经过一系列的推理论证 , 最后推导出 所要证明的结论 成立 ,这种证明方 法叫做综合法 . ( 2 ) 综合法的思维过程 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等 , Q 表示所要证明的结论 , 则综合法可表示如下 : 合法和分析法 课前预习导学 堂合作探究 标导航 预习导引 3 . 分析法 ( 逆推证法或执果索因法 ) ( 1 ) 分析法 一般地 , 从要证明的结论出发 , 逐步寻求使它成立的 充分条件 , 直至最后 , 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 ( 已知条件、定理、定义、公理等 ) 为止 . 这种证明方法叫做分析法 . ( 2 ) 分析法的思维
3、过程 用 Q 表示要证明的结论 , 则分析法可表示如下 : 合法和分析法 课前预习导学 堂合作探究 标导航 预习导引 预习 交流 1 思考 :( 1 ) 综合法和分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理 ? ( 2 ) 分析 法中每一步寻找的是充分条件还是必要条件 ? 为什么 ? 提示 : ( 1 ) 综合法和分析法的推理过程属于演绎推理 ,这是因为 ,在综合法和分析法的推理过程中 , 每一步推理都是严密的逻辑推理 , 它的每一步推理得出的结论都是正确的 , 不同于合情推理 . ( 2 ) 分析法每一步寻找的都是充分条件而不是必要条件 , 分析法的证明过程常采用 “ 欲证 Q 只需证 P” 的形
4、式表示 , 亦即只要 P 成立 , 就一定有 Q 成立 , 因此 P 是 Q 的充分条件 , 当然 P 是 Q 的充分必要条件时也可以 . 合法和分析法 课前预习导学 堂合作探究 题导学 当堂检测 一、综合法 活动与探究 1 . 综合法又叫顺推法或由因导果法 , 常进行语言间的转换 , 数学中常用的三种语言是什么 ? 提示 : 文字语言 , 符号语言 , 图形语言 . 2 . 把下列语言转化为符号语言 . A , B , C 成等差数列 . A , B , C 为 A B C 的内角 . 提示 : 2 B =A +C A +B + C = 合法和分析法 课前预习导学 堂合作探究 题导学 当堂检
5、测 例 1 ( 1 ) 已知 x R , 求证 : c si 4si n 2 x si n 4 x= c 2 x. ( 2 ) 如图 , S 为 在平面外的一点 , 平面 A B C , 平面 平面 , 求证 : B C . 思路分析 : ( 1 ) 对左边进行降幂变形 , 利用同角三角函数的基本关系式和二倍角公式 进行证明 . ( 2 ) 从条件出发 , 根据线面垂直、面面垂直的判定定理与性质进行证明 . 合法和分析法 课前预习导学 堂合作探究 题导学 当堂检测 证明 : ( 1 ) 左边 = c s i 4s i n 2 x s i n 4 x = ( c s i ( c s i +14s
6、 i n 2 x 2 s i n 2 x c 2 x = ( c s i ( c s i +12s i x c 2 x = c 2 x ( c s i +12s i x c 2 x = c 2 x 4 + 4 +12 4 2 2 = c 2 x ( s i c 2s i c = c 2 x ( s i c 2= c 2 x= 右边 . 原等式成立 . 合法和分析法 课前预习导学 堂合作探究 题导学 当堂检测 ( 2 ) 作 点 E. 平面 平面 , 平面 平面 = 平面 . B C . 平面 A B C , 平面 A B C 内 , B C . 又 A E =A , 平面 . 平面 内 , B
7、 C . 合法和分析法 课前预习导学 堂合作探究 题导学 当堂检测 迁移与应用 1 . 已知 t a n ( + ) = 2t a n , 求 证 : 3si n = si n ( 2 + ) . 证明 : t a n ( + ) = 2t a n ,s i n ( + ) + )=2 s i n , 即 2si n c + ) = c s i n ( + ) . 又 3si n = 3s i n ( + ) - = 3si n ( + ) c - 3c + ) s i n = 3si n c + ), si n ( 2 + ) = s i n ( + ) + = s i n ( + ) c
8、+ c + ) si n = 3s i n c + ), 3si n = s 2 + ) . 合法和分析法 课前预习导学 堂合作探究 题导学 当堂检测 2 . 如图 , 在五面体 A B C D E F 中 , 点 O 是矩形 A B C D 的对角线的交点 ,平面 C D E 是等边三角形 ,棱 E F =12B C . ( 1 ) 证明 平面 C D E ; ( 2 ) 设 B C = 3 证明 平面 C D F . 合法和分析法 课前预习导学 堂合作探究 题导学 当堂检测 证明 : ( 1 ) 取 中点 G , 连结 如图所示 ,显然 E F =O G =12 四边形 F O G E 是
9、平行四边形 . E G . 而 平面 C D E , 平面 C D E , 平面 C D E . 合法和分析法 课前预习导学 堂合作探究 题导学 当堂检测 ( 2 ) 由题意知 E F =O G =12B C =32 而 E C D 是正三角形 , E G =32C D . E G =E F . 平行四边形 F O G E 是菱形 , 连结 . 又 平面 O G E . 而 平面 E O . 而 交 , 且 故 平面 C D F . 合法和分析法 课前预习导学 堂合作探究 题导学 当堂检测 ( 1 ) 综合法是中学数学证明中常用的一种方法 ,它是一种从已知到未知 ( 从题设到结论 ) 的逻辑推
10、理方法 ( 与分析法恰恰相反 ), 即从题设中的已知条件或已证的真实判断 ( 命题 ) 出发 ,经过一系列的中间推理 ,最后导出所要求证的命题结论的真实性 综合法是一 种由因索果的证明方法 ,其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法 . ( 2 ) 应用综合法时 ,应从命题的前提出发 ,在选定了真实性是无可争辩的出发点以后 ( 它基于题设或已知的真命题 ), 再依次由它得出一系列的命题 ( 或判断 ), 其中每一个都是真实的 ( 但它们不一定都是所需求的 ),且最后一个必须包含我们要证明的命题的结论 ,命题得证 并非一上来就能找到通往命题结论的思路 ,只有在证明的过程中对每步结论进行分析、推敲、比较、选择后才能得到 . 合法和分析法 课前预习导学 堂合作探究 题导学 当堂检测 二、分析法 活动与探究 1 . 分析法又叫逆推法或执果索因法 ,在分析法的书写过程中有 什么要求 ? 提示 : 分析法在书写时要用文字 “ 要证 ”“ 只需证 ”“ 即证 ” 等 . 2 . 适用分析法证明的问题有哪些 ? 提示 : 与无理式相加减有关的证明 , 以及一些从已知很难找到证明方向的问题 . 合法和分析法 课前预习导学 堂合作探究 题导学 当堂检测 例 2 ( 1 ) 如图 , 在四面体 P - , PA
