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1、76 7 矩阵函数的性质及其应用 一、矩阵函数的性质： 设 n n C B A . 1 A e Ae e dt d At At At proof: 由 m m m m At A t m At m e ! 1 ! 1 0 对任何 收敛。因而可以逐项求导。 t 0 1 ! 1 1 m m m At A t m e dt d 1 1 ! 1 1 m m At m A k At k A ! 1 At e A A e A At m A A t m At m m m m m 0 1 1 1 1 ! 1 1 ! 1 1 可见，A 与 使可以交换的，由此可得到如下n个性质 At e 2设 ，则 BA AB A
2、t At Be B e B A A B B A e e e e e A A A A A A B A B A B A B A B A B A B A cos sin 2 2 sin sin cos 2 cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos 2 2 proof：，由 m m BA B A BA AB 而 0 0 ! 1 ! 1 m m m m m m At B A t m B t A m B e 0 0 ! 1 ! 1 m m m m m At m B BA t mAt e B 77 令 ( ) A B t At Bt C t e e e 由于 为
3、常数矩阵 0 t C dt d ) (t C 因而 E e e e C C t C 0 0 0 ) 0 ( ) 1 ( ) ( 当 时， . （） 1 t E e e e B A B A 特别地 有 A B E e e e A A 0 有 A A e e 1 同理有 B B e e 1 代入（）式 因而有 B A B A e e e 3.利用绝对收敛级数的性质，可得 A i A e iA sin cos iA iA iA iA e e i A e e A 2 1 sin 2 1 cos A A A A sin sin cos cos 4. E A A 2 2 cos sin A E A A E
4、 A cos 2 cos sin 2 sin A E i A e e 2 二、矩阵函数在微分方程组中的应用常用于线性监测系统中 1. 一阶线性常系数齐次方程组的通解其中 AX dt dX T n n n x x x X C A , , , 2 1 L 则有 ，其中 K e t X At T n k k k K , , , 2 1 L 78 解方程： 1 eg 3 1 3 2 1 2 2 1 1 2 3 4 x x dt dx x x dt dx x x dt dx 解：原方程变为矩阵形式 AX dt dX 2 0 1 0 3 4 0 1 1 A T x x x X 3 2 1 , , 由 得
5、2 1 2 A E 1 0 0 1 1 0 0 0 2 J A1 2 0 0 0 0 0 P e e e e P e t t t t At 3 2 1 1 2 0 0 0 0 0 ) ( k k k P e e e e P t X t t t t 2. 一阶线性常系数微分方程组的定解问题： :一阶线性常数微分方程组的定解问题： 1 Th T n x x x X AX dt dX ) 0 ( , ), 0 ( ), 0 ( 2 1 0 L 有唯一解 ) 0 ( X e X At proof:实际上，由 的通解为 AX dt dX K e t X At ) ( 将初值 代入，得 ) 0 ( X )
6、 0 ( X k ) 0 ( X e X At 由 可的定解问题 1 Th T n t x t x t x t X AX dt dX ) ( , ), ( ), ( ) ( 0 0 2 0 1 0 L 的唯一解为 0 0 ) ( t X e t X t t A 79 求定解问题： , 的解 2 eg T x Ax dt dx 1 , 0 0 1 2 2 1 A 解：由 得 0 A E i x 3 2 , 1 对应的特征向量记为： T i 2 3 1 , 1 2 3 1 , 1 i 则，于是矩阵： 2 3 1 2 3 1 1 1 i i P 1 3 3 0 0 P e e P e it it A
7、t t t t e t X At 3 sin 3 1 3 cos 3 sin 3 2 1 0 ) ( 练习：求微分方程组 1 1 3 2 1 2 3 3 1 3 3 8 3 6 2 5 dx x x dt dx x x x dt dx x x dt 满足初始条件 的解。 1 2 3 (0) 1, (0) 1, (0) 1 x x x 解：令 1 2 3 3 0 8 1 3 1 6 , ( ) , (0) 1 2 0 5 1 x A x t x x x 可求得 ，而 的最小多项式 。可设 3 det( ) ( 1) I A A 2 ( ) ( 1) A m 80 ，由 0 1 ( ) g c c
8、 0 1 0 1 1 1 (1 ) 1 t t t t g c c e c t e g c te c te ； 0 1 At e c I c A 1 4 0 8 3 1 6 2 0 1 4 t t t e t t t t ) 0 ( X e X At 1 12 9 1 6 t t e t t 3.一阶常系数非齐次方程组的定解问题：其中 0 0 t x x t F Ax dt dx t t T n t F t F t F t F , , , 2 1 L t F Ax dt dx 两边同乘以 得： At e t F e x e dt d At At 从 到 上积分得： 0 t t d F e t
9、x e t x e t t AE At At 0 0 0 ) ( d F e t x e t x t t t A t t A 0 0 0 ) ( .求：非齐次微分方程组 的解： 3 eg T x t F AX dt dx 1 , 0 ) 0 ( 其中 3 5 5 3 A 0 t e t F 解：由 i A E 5 3 0 2 , 1 对应特征向量为： i 1 1 i 得可逆矩阵 1 1 i i P 1 1 2 1 1 i i P81 t i i At e t t t t P e e P e 3 1 5 3 5 3 5 cos 5 sin 5 sin 5 cos 0 0 t t A At d e
10、 e e t x 0 0 1 0 ) ( d e t t t t t t t t e t t e t t t t 4 0 3 3 5 sin 5 cos 5 cos 5 sin 5 sin 5 sin 5 cos 5 cos 5 cos 5 sin 练习：求微分方程组 1 1 2 2 1 2 3 1 3 2 1 4 2 2 1 t dx x x dt dx x x dt dx x x e dt 满足初始条件 的解。 1 2 3 (0) 1, (0) 1, (0) 1 x x x 解：令 1 2 3 2 1 0 1 1 4 2 0 , ( ) 2 , ( ) , (0) 1 1 0 1 1 1 t x A F t X t x X e x 可求得 。可设 ，由 2 det( ) ( 1) I A 2 0 1 2 ( ) g c c c 0 0 1 1 2 0 1 2 0 1 1 0 1 1 1 t g c c c t g c t c e t g
