正十一边形尺规做法

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1、注册 登录 分栏模式 论坛 搜索 导航 christmas blue gray green orange purple ICE论坛 数字家园 高斯19岁时提出的正十七边形尺规作图 返回列表 发帖 1 #跳转到 倒序看帖 打印 字体大小: tT zpabuaa发表于 2010-10-26 22:15 | 只看该作者 高斯19岁时提出的正十七边形尺规作图 如下所示： 附件: 您需要登录才可以下载或查看附件。没有帐号？注册 收藏 分享 超级版主 2 #zpabuaa发表于 2010-10-26 22:25 | 只看该作者 1976年的一天，德国哥廷根大学，一个19岁的青年吃完晚饭，开始做 导师单独布

2、置给他的每天例行的数学题。正常情况下，青年总是在两个 小时内完成这项特殊作业。 像往常一样，前两道题目在两个小时内顺利地完成了。第三道题写在一 张小纸条上，是要求只用圆规和一把没有刻度的直尺做出正17边形。 青年没有在意，像做前两道题一样开始做起来。然而，做着做着，青年 感到越来越吃力。 困难激起了青年的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，在 纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去解这道题。当窗口露出一丝曙 光时，青年长舒了一口气，他终于做出了这道难题。 作业交给导师后，导师当即惊呆了。他用颤抖的声音对青年说：“这真 是你自己做出来的？你知不知道，你解开了一道有两千多年历史的数学 悬案？

3、阿基米德没有解出来，牛顿也没有解出来，你竟然一个晚上就解 出来了！你真是天才！我最近正在研究这道难题，昨天给你布置题目时， 不小心把写有这个题目的小纸条夹在了给你的题目里。” 多年以后，这个青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这 是一道有两千多年历史的数学难题，我不可能在一个晚上解决它。” 这个青年就是数学王子高斯。 有些事情，在不清楚它到底有多难时，我们往往能够做得更好，这就是 人们常说的无知者无畏。 超级版主 TOP 3 #超级版主 zpabuaa发表于 2010-10-26 22:27 | 只看该作者 步骤一： 给一圆O，作两垂直的直径OA、OB， 作C点使OC1/4OB， 作

4、D点使OCD1/4OCA 作AO延长线上E点使得DCE45度 步骤二： 作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点， 此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆 过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。 步骤三： 过G4作OA垂直线交圆O于P4， 过G6作OA垂直线交圆O于P6， 则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点， P4为第四顶点，P6为第六顶点。 以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。 PS: 一个正质数多边形可以用标尺作图的充分和必要条件是，该多边形的边数必定是一个费马质数。换句话说，祇有正三边形、正五边形、正十七 边形、正257边形和正63357边形可以用尺规

5、作出来，其它的正质数多 边形就不可以了。（除非我们再发现另一个费马质数。） PS2: 黎西罗给出了正257边形的尺规作法，写满了整整80页纸。 盖尔梅斯给出了正63357边形的尺规作法，此手稿整整装满了一只手提 箱，现存于德国哥廷根大学。这是有史以来最繁琐的尺规作图。 TOP 超级版主 4 #zpabuaa发表于 2010-10-26 22:27 | 只看该作者 十七边形的智慧 1795年十月十五日，高斯获准进入乔治奥古斯塔，成为一名数学系学 生。常有人指出：高斯起初还犹豫不决，不知道该做数学家或哲学家， 不能决定的原因很可能是因为当时人文学家比科学家待遇好。公爵所赏 的年度津贴，虽然暂时消除

6、了高斯所受的经济压力，但没人晓得这种补 助会持续多久；另一方面，高斯当然也想尽早自立，无论如何，高斯对 公爵的好意总有不自在的感觉。 高斯晚年的一位密友，在他的回忆录谈到高斯的一段文字中，透露了高 斯第一次确定他自己所要攻读的学科是在他发现了正十七边形之作图的 时候，也就是进大学之一年后。 后代的人可以从他的科学杂记，他称之为 Notizen journal，看出他的 数学思想之一般。而他杂记中之第一条即是关于正十七边形的： 圆之分割定律，如何以几何方法将圆分成十七等分等等。 高斯也报告了他发现解答的经过： 在布朗斯韦克渡假的一天早上，我仍躺在床上，沉思于方程式(xp-1) / (x-1)=0

7、 的根与根之算术关系，冥冥之中突然有如亲眼看到所要的关 系，是那么地清楚，我几乎可以立刻应用到十七边形上。 高斯对此一发现既高兴又骄傲，他对他的朋友说，他的墓碑上要刻上一 个正十七边形。后来事与愿违，在布朗斯韦克的高斯纪念塔上所刻的是 一个十七个棱角的星，因为雕刻的工人坚持说，正十七边形刻出来之后 每个人都会误以为是一个圆。 而在正十七边形的作图方面，高斯引进了虚数的概念，以 i = (-1)1/2 表之。高斯建议呈 a+ib 形式的数，称之为复数。因为复数是以纯代数 的方式引进的，他的几何表示法比起负数要来得困难些，而此困境之解 除，得力于欧几里得所解决的一个几何问题：作已给两线段长 a,b

8、 之几何平均数。解法是取AB=a+b,AD=a,DB=b，以AB 为直径画一圆， 由D 点画一线垂直AB，与圆交于C，则AC 即为 a,b 之几何平均数。 而在实数轴上我们取 +1,-1 画圆取C 点如上，即可得(-1)1/2 ，即 i ，这并非纯粹几何的描述，但形式上我们可以说：i 是 x 轴上两坐标 +1 和 -1 之几何平均。 高斯将如此想法推论而得复数平面，或称为高斯数平面。平常坐标系里 的 y轴今以虚轴代替，以 (a,b)表 a+ib 。如此一来 1的 n 次方根便 很容易在复数平面上表示。即是在复数平面上，以 (1,0)开始逆时针转 360度除以 n 的整数倍，都是其解。 而特殊的

9、是 z17=1 的根除了 1 之外，可表示成 x16+x15+.+x+1=0 的根，而此根恰可用有限个有理数及平方根表示，因此毫无疑问的，可 用标尺作图。至此理论部分大致完成。 不但如此，高斯还证明了下列结果： 一个正多边形，其边数为奇数 p ，它可以用标尺作图的充分条件是 p 为形如 22m+1 的质数或 p 为此种形式的质数的乘积。这里的 m 是任 意的非负整数。 TOP 5 #超级版主 zpabuaa发表于 2010-10-26 22:27 | 只看该作者 高斯生平高斯(Gauss 17771855)生於Brunswick，位於现在德国中北部。他的 祖父是农民，父亲是泥水匠，母亲是一个石

10、匠的女儿，有一个很聪明的 弟弟，高斯这位舅舅，对小高斯很照顾，偶而会给他一些指导，而父亲 可以说是一名大老粗，认为只有力气能挣钱，学问这种劳什子对穷 人是没有用的。 高斯很早就展现过人才华，三岁时就能指出父亲帐册上的错误。七岁时 进了小学，在破旧的教室里上课，老师对学生并不好，常认为自己在穷 乡僻壤教书是怀才不遇。高斯十岁时，老师考了那道著名的从一加到 一百，终於发现了高斯的才华，他知道自己的能力不足以教高斯，就 从汉堡买了一本较深的数学书给高斯读。同时，高斯和大他差不多十岁 的助教Bartels变得很熟，而Bartels的能力也比老师高得多，後来成 为大学教授，他教了高斯更多更深的数学。 老

11、师和助教去拜访高斯的父亲，要他让高斯接受更高的教育，但高斯的 父亲认为儿子应该像他一样，作个泥水匠，而且也没有钱让高斯继续读 书，最後的结论是去找有钱有势的人当高斯的赞助人，虽然他们不 知道要到哪里找。经过这次的访问，高斯免除了每天晚上织布的工作， 每天和Bartels讨论数学，但不久之後，Bartels也没有什麽东西可以 教高斯了。 1788年高斯不顾父亲的反对进了高等学校。数学老师看了高斯的作业 後就要他不必再上数学课，而他的拉丁文不久也凌驾全班之上。 1791年高斯终於找到了资助人布伦斯维克公爵费迪南 (Braunschweig)，答应尽一切可能帮助他，高斯的父亲再也没有反对的 理由。隔

12、年，高斯进入Braunschweig学院。这年，高斯十五岁。在那 里，高斯开始对高等数学作研究。并且独立发现了二项式定理的一般形 式、数论上的二次互逆定理(Law of Quadratic Reciprocity)、质 数分布定理(prime numer theorem)、及算术几何平均 (arithmetic- geometric mean)。 1795年高斯进入哥廷根(G?ttingen)大学，因为他在语言和数学上都极 有天分，为了将来是要专攻古典语文或数学苦恼了一阵子。到了 1796 年，十七岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果。最为人所知，也 使得他走上数学之路的，就是正十七边形尺规

13、作图之理论与方法。 希腊时代的数学家已经知道如何用尺规作出正 2m3n5p 边形，其中 m 是正整数，而 n 和 p 只能是0或1。但是对於正七、九、十一边形 的尺规作图法，两千年来都没有人知道。而高斯证明了： 一个正 n 边形可以尺规作图若且唯若 n 是以下两种形式之一： 1、n = 2k，k = 2, 3, 2、n = 2k (几个不同费马质数的乘积)，k = 0,1,2, 费马质数是形如 Fk = 22k 的质数。像 F0 = 3，F1 = 5，F2 = 17，F3 = 257， F4 = 65537，都是质数。高斯用代数的方法解决二千多年来的 几何难题，他也视此为生平得意之作，还交待要

14、把正十七边形刻在他的 墓碑上，但後来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为 负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。1799年高斯提出了他的博士论文，这论文证明了代数一个重要的定理： 任一多项式都有（复数）根。这结果称为代数学基本定理 (Fundamental Theorem of Algebra)。 事实上在高斯之前有许多数学家认为已给出了这个结果的证明，可是没 有一个证明是严密的。高斯把前人证明的缺失一一指出来，然後提出自 己的见解，他一生中一共给出了四个不同的证明。 在1801年，高斯二十四岁时出版了算学研究(Disquesitiones Arithme

15、ticae)，这本书以拉丁文写成，原来有八章，由於钱不够，只 好印七章。 这本书除了第七章介绍代数基本定理外，其余都是数论， 可以说是数论第一本有系统的着作，高斯第一次介绍同余 (Congruent)的概念。二次互逆定理也在其中。 二十四岁开始，高斯放弃在纯数学的研究，作了几年天文学的研究。 当时的天文界正在为火星和木星间庞大的间隙烦恼不已，认为火星和木 星间应该还有行星未被发现。在1801年，意大利的天文学家Piazzi， 发现在火星和木星间有一颗新星。它被命名为谷神星(Cere)。现在 我们知道它是火星和木星的小行星带中的一个，但当时天文学界争论不 休，有人说这是行星，有人说这是彗星。必须

16、继续观察才能判决，但是 Piazzi只能观察到它9度的轨道，再来，它便隐身到太阳後面去了。 因此无法知道它的轨道，也无法判定它是行星或彗星。 TOP 6 #超级版主 zpabuaa 发表于 2010-10-26 22:28 | 只看该作者 高斯这时对这个问是产生兴趣，他决定解决这个捉摸不到的星体轨迹的 问题。高斯自己独创了只要三次观察，就可以来计算星球轨道的方法。 他可以极准确地预测行星的位置。果然，谷神星准确无误的在高斯预测 的地方出现。这个方法虽然他当时没有公布就是最小平方法 (Method of Least Square)。 1802年，他又准确预测了小行星二号智神星(Pallas)的位置，这 时他的声名远播，荣誉滚滚而来，俄国圣彼得堡科学院选他为会员，发 现Pallas的天文学家Olbers请他当哥廷根天文台主任，