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1、酉空间及其重要的线性变换酉空间 定义1 设 V 是复数域C 上的一个向 量空间若 V 中任意一对向量 ，有一 个确定的复数与它们对应，叫做 与 的内积 ，并且对于 ， V，kC，以下条件成立： 1), = ， 是 , 的共轭复数； , , 2)+, =, +,； 3)k, =k, ； 4), 是非负实数，并且当 时 , 0， 则称 V 对于这个内积是一个酉空间 例1 在C n 里，对于任意两个向量 = (x 1 ，x n )，= (y 1 ，y n )，规定 , = ， n n y x y x L 1 1 则C n 对于这个内积作成一个酉空间 设 V 是一个酉空间由定义可以直接 推出， , =
2、, , ； (1) ,k= , , 是 k 的共轭复数； k k (2) , = , = 0 (3) 由(1)和(2)，设 i ， j V，a i，b j C，i =1，m ；j =1，n，则 (4) j i m i n j j i n j j j m i i i b a b a ， ， 1 1 1 1 因为对于 V， , 是一个非负 实数，所以在酉空间 V 中，可以像 Euclid 空间那样，定义向量 的长度 为| = , 这样，V 中任意非零向量的长度总是一个 正实数，长度是 1 的向量称为单位向 量 显然， kC，V，都有 | | | | | k k (5) 在一个酉空间中，Cauchy
3、-Schwarz 不 等式仍然成立设 ，V，则 ， (6) 2 ， ， ，当且仅当 与 线性相关时等号成立 在一个酉空间中，内积一般是一个复 数，因此不能像 Euclid 空间那样，合理地 定义两个非零向量的夹角，但是仍然可以 定义两个向量正交的概念 酉空间中两个向量 与 说是正交 的， 若 , = 0 在一个酉空间里，同样可以定义正交 组和标准正交组的概念酉空间 V 的一组 两两正交的非零向量叫做 V 的一个正交 组 若一个正交组的每一个向量都是单位 向量，则称这个正交组是一个标准正交 组 定理 1 在酉空间里仍然成立在一个 有限维酉空间 V 中，同样可以定 义正交基 和标准正交基的概念Gr
4、am-Schmidt 正交 化方法对于酉空间的向量仍然适用，并且 对于 V 的任意一个基，可以通过正交化方 法将它化为标准正交基 设 W 是酉空间 V 的一个有限维子空间， 令 W =V|, =0， W则 W 也是 V 的子空间，叫做 W 的正交 补 与定理 9.3.2 相平行，我们有 V=WW (7) 与 正交矩阵相平行的概念是酉矩 阵设 U=(u ij ) nn M n (C)，记 ( 是 u ij 的 nn ij u U ) ( ij u 共轭复数)， U U H 定义2 一个 n 阶复矩阵 U 叫做一个 酉矩阵 ，若 n I U U UU H H 定理2 n 维酉空间的一个标准正交基
5、到另一个标准正交基的过渡矩阵是一个酉 矩阵 2 酉变换与对称变换 在酉空间中，与 Euclid 空间的正交变 换相平行的概念是酉变换 定义3 酉空间 V 的一个线性变换 叫做一个酉变换 ，若对于 ，V，都有 (),()= , 与定理 9.4.2 相平行，我们有 定理3 设 是 n 维酉空间的一个线 性变换，则下列陈述彼此等价：1) 是酉变换； 2)若 1 ， n 是 V 的一个标准正交 基，则 ( 1 )，( n )也是 V 的一个标准 正交基； 3) 在 V 的任一标准正交基下的矩阵是 酉矩阵 进而介绍酉空间的对称变换，引入 定义4 酉空间 V 的一个线性变换 叫做一个对称变换 ，若 , V
6、，都有 (),=,() 定义5 设 AM n ( C)若 A H =A，则 称 A 是一个 Hermite 矩阵 显然，实对称矩阵是 Hermite 矩阵的 特殊情形与定理 9.5.1 和 9.5.2 相平行， 我们有 定理4 设 是 n 维酉空间 V 的一个 线性变换，则 是对称变换，当且仅当 在 V 的任意标准正交基下的矩阵是 Hermite 矩阵 对称变换和 Hermite 矩阵还有以下性 质 定理5 设 是 n 维酉空间的一个对称变换，那么 1) 的特征值都是实数； 2) 的属于不同特征值的特征向量彼此 正交； 3)存在 V 的一个标准正交基，使得 在这个基下的矩阵是实对角矩阵 证 我
7、们只证 1)，其余的证明留给同 学们完成 设 C 是 的一个特征值， 是属于 的一个特征向量则 , , ) ( , ), ( , , 因为 , 0，所以必须 ，即 是实 数 定理6 设 A 是一个 n 阶 Hermite 矩阵， 则存在一个 n 阶酉矩阵 U，使得 U H AU=U 1 AU 是一个实对角矩阵，即任意 Hermite 矩阵都“酉相似”于一个实对角矩 阵 3 Hermite 型 在1 中，我们已经阐述了 n 维 Euclid 空间的度量矩阵类似地，我们来看酉空间 V 中的内积在 V 中取一个基 ，构造矩阵 n , , 1 L ， (8) n n n n n n A , , , ,
8、 , , , , , 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 L L L L L L L 这个矩阵是由酉空间 V 中的内积以及基 唯一决定的，叫做 V 的基 的度量矩 n , , 1 L n , , 1 L 阵由于 A 的(i，j) 元素是 ，而 A H 的 j i , (i ，j) 元素是 = ，所以 A H =A这表明， i j , j i , 酉空间 V 的内积在 V 的任意一个基下的度 量矩阵 A 是 Hermite 矩阵设 A=(a ij ) nn ， ，则 i i i i y x , ， (9) i j i j j i ij j i j i j j j i i i y x
9、a y x y x ) , ( , , 特别地，当 = 时，有 i j j i ij x x a , 定义6 n 个复变量 x 1 ，x n 的表达 式 ， (10) i j j i ij n x x a x x f ) , , ( 1 L 其中 a ji= ，叫做一个 n 元Hermite 型 ；矩 ij a 阵 A=(a ij ) nn 称为 Hermite 型 f (x 1 ，x n )的矩阵，它是一个 Hermite 矩阵 设 =(x 1 ，x n )，则 Hermite 型(10) X 可写成 (11) i j H j i ij AX X x x a 因此，酉空间的内积与 Hermi
10、te 型有着密 切的联系 由于 Hermite 型(10)的矩阵是 Hermite 矩阵，因此 AX X X A X AX X AX X AX X H H H H ) ( 这表明 X H AX 总是实数 再注意到上述定理，知道 n 阶 Hermite 矩阵 A 酉相似于一个实对角矩阵 D=diagd 1 ，d n ，即存在一个酉矩阵 U，使得 U 1 AU=D令 X=UY，其中 = Y (y 1 ，y n )，则 X H AX=Y H U H AUY=Y H U 1 AUY=Y H DY= (12) n n n y y d y y d y y d L 2 2 2 1 1 1 这证明了 定理7
11、对于 Hermite 型 f(x 1 ，x n ) =X H AX，存在酉线性替换 XUY(即 U 是 酉矩阵)，使得 f (x 1 ，x n )= ， n n n y y d y y d L 1 1 1(13) 其中 d 1 ，d n 是 A 的全部特征值，它们 都是实数 定义7 若对于 C n ，且 0，都 有 H A0， (14) 则称 X H AX 是一个正定Hermite 型 一个 正定 Hermite 型 X H AX 的矩阵 A 称为正定 Hermite 矩阵 正定 Hermite 矩阵与第五章4 所说的 实正定矩阵有相平行的结果，即 定理8 设 A 是一个 n 阶 Hermit
12、e 矩阵， 则下列陈述彼此等价： 1)A 是正定 Hermite 矩阵； 2)对于任意 n 阶复可逆矩阵 P，P H AP 是正定 Hermite 矩阵； 3)A 的特征值全大于零； 4)存在 n 阶可逆复矩阵 P，使 P H AP=I n ； 5)A 可以分解成 Q H Q，其中 Q 是 n 阶 可逆复矩阵；6)A 的所有顺序主子式全大于零 证 1)2) 任取 C n ，且 0， 则 P0因为 A 是正定 Hermite 矩阵， 所以 H(P H AP)=(P) H A(P)0 因此 P H AP 是正定 Hermite 矩阵 2) 3) 由假设，A 是 Hermite 矩 阵于是存在酉矩阵
13、 U，使 U 1 AU=diag( )D n ， ， L 1 其中 i 是实数，i=1，n由假设， U 1 AU 是正定 Hermite 矩阵，由此推出 e i H De i 0，即 i 0，i=1，n 3) 4) 因为 A 是 Hermite 矩阵，所 以存在酉矩阵 U，使得 U 1 AU=diag( ) n ， ， L 1 其中 i 0，i=1，n令 Q=diag( ) n , , 1 L 则 U 1 AU=QQ，从而 Q 1 U 1 AUQ 1 =I n 令 P=UQ 1 ，则 P H =(UQ 1 ) H = Q 1 U H= Q 1 U 1 于是 P H AP=I n 4) 5) 由假设 P H AP=I n ，于是 A=(P H )1 P 1 令 Q=P 1 ，则1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( H H H P P P P P Q 所以
