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1、1.1锐角三角函数 课时安排2课时 从容说课直角三角形中边角之间的关系是现实世界中应用广泛的关系之.锐角三角函数在解决 现实问题中有着重要的作用.如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、 高度、角度的计算问题，一般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边 与角的关系问题.本节首光从梯子的倾斜程度谈起。引入了第个锐角三角函数正切.因为相比之下， 正切是生活当中用的最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度，山的坡度等都往往用 正切，而正弦、余弦的概念是类比正切的概念得到的.所以本节从现实情境出发，让学生在 经历探索直角：三角形边角关系的过程中，理解锐角三角函数的意义，并能
2、够举例说明； 能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进 行计算.本节的重点就是理解tanA、sinA、cosA的数学含义.并能够根据它们的数学意义进行 直角三角形边角关系的计算，难点是从现实情境中理解tanA、sim4、cosA的数学含义.所 以在教学中要注重创设符合学生实际的问题情境，引出锐角三角函数的概念，使学生感受 到数学与现实世界的联系，鼓励他们有条理地进行表达和思考，特别关注他们对概念的理 解. 第一课时 课 题 1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一) 教学目标(一)教学知识点1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与
3、现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外 能够用正切进行简单的计算.(二)能力训练要求1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自 己的观点.2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决 实际问题的能力.3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯. 教学重点1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活
4、的联系. 教学难点 理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 教学方法引导探索法.教具准备FLASH演示 教学过程1.创设问题情境，引入新课用FLASH课件动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右分层次出现：问题1在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?问题2随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而 起.70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展， “上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字 吗?你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗?通过本章的学习，相信大家一定
5、能够解决.这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起.(板书课题1.1.1从梯子的倾斜程度谈起).讲授新课 用多媒体演示如下内容：师梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡” ，那个 梯子放的“平缓” ，人们是如何判断的?“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的?请同学们 看下图，并回答问题(用多媒体演示) (1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?生梯子AB比梯子EF更陡. 师你是如何判断的?生从图中很容易发现ABCEFD，所以梯子AB比梯子EF陡.生我觉得是因为ACED，所以只要比较BC、FD的长度即可知哪个梯子陡.BCFD， 所以梯子AB比梯子
6、EF陡.师我们再来看一个问题(用多媒体演示) (2)在下图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?师我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了.能不能从 第(1)问中得到什么启示呢?生在第(1)问的图形中梯子的垂直高度即AC和ED是相等的，而水平宽度BC和FD不 一样长，由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大，梯子应该越陡.师这位同学的想法很好，的确如此，在第(2)问的图中，哪个梯子更陡，应该从梯子 AB和EF 的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.那么请同学们算一下梯子AB和EF哪一 个更陡呢？ 生 , 3 8 5 . 1 4 BC AC . 13 35 3 .
7、 1 5 . 3 FD ED , 13 35 3 8 梯子EF比梯子AB更陡.多媒体演示： 想一想 如图，小明想通过测量B 1 C 1 ：及AC 1 ，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认 为，通过测量B 2 C 2 及AC 2 ，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗? (1)直角三角形AB 1 C 1 和直角三角形AB 2 C 2 有什么关系? (2) 和有什么关系? 和 1 1 1 AC C B 2 2 2 AC C B(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?师我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度，即用 倾斜角的对
8、边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度.下面请同学们思考上面的三个问题，再来 讨论小明和小亮的做法.生在上图中，我们可以知道RtAB 1 C 1 ，和RtAB 2 C 2 是相似的.因为 B 2 C 2 AB 1 C 1 A90，B 2 AC 2 B 1 AC 1 ，根据相似的条件，得RtAB 1 C 1 RtAB 2 C 2 .生由图还可知：B 2 C 2 AC 2 ，B 1 C 1 AC 1 ，得 B 2 C 2 /B 1 C 1 ，RtAB 1 C 1 RtAB 2 C 2 . 生相似三角形的对应边成比例，得 . 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 , AC C B C A C
9、 B C A AC C B C B 即如果改变B 2 在梯子上的位置，总可以得到RtB 2 C 2 ARtRtB 1 C 1 A，仍能得到 因此，无论B 2 在梯子的什么位置(除A外)， 总成立. 2 2 2 1 1 1 AC C B AC C B 2 2 2 1 1 1 AC C B AC C B 师也就是说无论B 2 在梯子的什么位置(A除外)，A的对边与邻边的比值是不会改 变的.现在如果改变A的大小，A的对边与邻边的比值会改变吗?生A的大小改变，A的对边与邻边的比值会改变.师你又能得出什么结论呢?生A的对边与邻边的比只与A的大小有关系，而与它所在直角三角形的大小无关.也 就是说，当直角三
10、角形中的一个锐角确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定.师这位同学回答得很棒，现在我们再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何评价?生小明和小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度，因为图中直角三角形中的锐角A 是确定的，因此它的对边与邻边的比值也是唯一确定的，与B 1 、B 2 在梯子上的位置无 关，即与直角三角形的大小无关.生但我觉得小亮的做法更实际，因为要测量B 1 C 1 的长度，需攀到梯子的最高端，危 险并且复杂，而小亮只需站在地面就可以完成.师这位同学能将数学和实际生活紧密地联系在一起，值得提倡.我们学习数学就是为 了更好地应用数学.由于直角三角形中的锐角A确定以后，它的对边与邻边之比也随
11、之确定，因此我们有 如下定义：(多媒体演示)如图，在RtABC中，如果锐角A确定，那么A的对边与邻边之比便随之确定， 这个比叫做A的正切(tangent)，记作tanA，即tanA= . 的邻边 的对边 A A 注意：1.tanA是一个完整的符号，它表示A的正切，记号里习惯省去角的符号“”.2.tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻边的比.3.tanA不表示“tan”乘以“A”.4.初中阶段，我们只学习直角三角形中，A是锐角的正切.思考：1.B的正切如何表示?它的数学意义是什么?2.前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图13，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗?生1.B的正切
12、记作tanB，表示B的对边与邻边的比值，即tanB= . 的邻边 的对边 B B 2.我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，因此，在图13 中，梯子越陡，tanA的值越大；反过来，tanA的值越大，梯子越陡. 师正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等.正切经常用来描述山 坡的坡度、堤坝的坡度.如图，有一山坡在 水平方向上每前进100 m，就升高60 m，那么山 坡的坡度(即坡角的正 切tan就是 tan= . 5 3 100 60 这里要注意区分坡度和坡角.坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度. 坡度越大，坡面就越陡.例题讲解多媒体演示 例1如图是甲
13、，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tan、tan的值，比较大 小，越大，扶梯就越陡.解：甲梯中，tan= . 12 5 5 13 5 2 2 的邻边 的对边 乙梯中，tan= . 4 3 8 6 的邻边 的对边 因为tantan，所以乙梯更陡. 例2在ABC中，C=90，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值. 分析：要求tanA，tanB的值，根据勾股定理先求出直角边AC的长度.解：在ABC中，C90， 所以AC= 2 2 2 2 12 20 BC AB =16(cm), tanA= , 4 3 16 12 AC BC
14、 A A 的邻边 的对边 tanB= . 3 4 12 16 BC AC B B 的邻边 的对边 所以tanA= ，tanB= . 4 3 3 4，随堂练习1.如图，ABC 是等腰直角三角形， 你能根据图中所给 数据求出tanC吗?分析：要求tanC.需从图中找到C所在的直角三角形，因为BDAC，所以C在 RtBDC 中.然后求出C的对边与邻边的比，即 的值. DC BD解：ABC是等腰直角三角形，BDAC，CD AC 31.5. 2 1 2 1在RtBDC中，tanC = 1. DC BD 5 . 1 5 . 12.如图，某人从山 脚下的点A走了200m后 到达山顶的点B，已知点 B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001)分析：由图可知，A是坡角，A的正切即tanA为山的坡度.解：根据题意：在RtABC中，AB=200 m，BC55 m， AC= =192.30(m). 46 . 38 5 1479 5 55 200 2 2 TanA= . 286 . 0 30 . 192 55 AC BC 所以山的坡度为0.286.课时小结本节课从梯子的倾斜程度谈起，经历了探索直角三角形中的边角关系，得出了在直角 三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，并以此为基础，在“Rt” 中定义了tanA . 的邻边 的对边 A A
