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1、1 函数值域的求法 1、常见函数的值域： (1)、一次函数y=ax+b (a 0)的值域为 R。 (2)、二次函数 y=ax 2 +bx+c (a 0),当 a0 时值域为 ； ) , 4 4 2 a ac b 当 a0 且 a 1）的值域为 R。 x y a log （5） 、反比例函数 的值域为 。 ) 0 ( k x k y R x x x 且 , 0 | (6)、分式函数 的值域为 。 c x b ax y R x a x x 且 , | 2基本方法与技巧 1）配方法：针对二次函数型 ，其关键是配成完全平方式。 c x bf x a x F f ) ( ) ( ) ( 2 例、求函数
2、， 的值域。 2 2 5 y x x 1,2 x 解：将函数配方得：y= +4， ，由二次函数的性质可知： 2 ( 1) x Q 1,2 x 当 x=1 时，y =4；当 x=1，时 =8。 min max y 故函数的值域是：4，8。 练习、求函数 （ ）的值域。 2 4 2 y x x 1,1 x 解： ， 2 2 4 2 ( 2) 6 y x x x 因为 ，所以 ，所以 1,1 x 2 3, 1 x 2 1 ( 2) 9 x 所以 ，即 2 3 ( 2) 6 5 x 3 5 y 所以函数 （ ）的值域为 。 2 4 2 y x x 1,1 x 3,5 2 2）直接观察法：对于一些比较简
3、单的函数，其值域可通过观察得到。 例、 求函数 y=1/x 的值域 解： ， 1/x0显然函数的值域是：（-，0）（0，+） 。 0 x Q 练习、求函数 的值域。 1 2 x y 解：它的图像为右图，所以值域为 ) , 1 ( ) 1 , ( 3）分离常数法（分子、分母是一次函数得有理函数， 可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数 法） 【例】求函数 的值域。 1 2 5 x y x 解：因为 ，所以 ，所以 1 7 7 (2 5) 1 1 2 2 2 2 5 2 5 2 2 5 x x y x x x 7 2 0 2 5 x ， 1 2 y 所以函数 的值域为 1 2 5 x y x
4、 1 | 2 y y 练习、 2 1 3 x y x 解： 由 ，得 2 1 3 x y x 2( 3) 7 7 2 3 3 x x x 7 0 3 x 2 y 函数的值域为（-，2）（2，+） 4）换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模 型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例：求函数y=x+ 的值域。 1 x 解：令x-1=t， （t0）则x= +1 2 t y= +t+1= + ，又t0，由二次函数的性质可知 2 t 2 ) 2 1 ( t 4 3 当t=0时，y =1，当t0时，y+。 故函数的值域
5、为1，+） 。 min 练习： 1 2 y x x 3解：令 ，则 t0 且 1 2x t 2 1 2 t x 2 1 1 ( 1) 1 2 2 y t 函数的值域为 1 ( , 2 5）有理化（包括分子有理化和分母有理化两种，有理化后利用函数单调性） 例：求函数y= - 的值域。 1 x 1 x 解：原函数可化为： y= 1 1 2 x x 令 ， = ，显然 ， 在1，+）上为无上界的增函数，所以y= y + 1 1 y x 2 y 1 x 1 y 2 y 1 在1，+）上也为无上界的增函数。 2 y 所以当x=1时，y= + 有最小值 ，原函数有最大值 = 。 1 y 2 y 2 2 2
6、 2 显然y0，故原函数的值域为(0, 。 2 6）反接法（变量有明确范围） 例：求函数 的值域。 2 2 1 1 x y x 解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为 ，对函数进行变形可得 R ，所以 2 ( 1) ( 1) y x y 1 y 所以方程 要在定义域 R 上有解， 2 1 1 y x y 必须 ，所以 ， 1 0 1 y y 1 1 y 所以函数 的值域为 2 2 1 1 x y x | 1 1 y y 练习：求 值域。 2 2 2 3 1 x y x 4 7、分段函数的值域 例：求 的值域。 1 1 3 2 ( 1) 3 2 ( 1) x x x y x 解：（1）若 x
7、1，则 x-10,01，则 1-x0, 03 1-x 1， 有-23 1-x -2-1,综上有：y|-2y-1. 练习：函数 的值域。 0 ( 0) ( 0) x y x x 8） 、指对数函数值域（此类问题一般使用单调性法） 例：求函数 的值域。 2 1 2 log ( 4 5) y x x 解：函数的定义域为 R，设 u=x 2 -4x+5=(x-2) 2 +1 则 当 xR 时， 1 2 log y u u1,+)，又 是减函数， 函数的值域是（- 1 2 log y u 1 2 log 1 0 y ，0 练习：求函数 的值域。 3 2 2 x y 解：本函数定义域为 ，即 3 x x 0 3 2 x x x 即方程 在定义域上要有解， y x 2 log 3 2 0 log 2 y 所以函数 的值域为 3 2 2 x y ) , 1 ( ) 1 , 0 ( U 9） 、判别式法 例： 2 2 3 1 x x y x x 变形得（y-1）x 2 -(y-1)x+y-3=0当 y=1 时，此方程无解当 y1 时，xR =（y-1） 2 4(y-1)(y-3) 0，解得 1y 11 3 又y1， ， 函数的值域为 11 1 3 y 11 |1 3 y y 练习：函数 的值域是（ ） 1 2 ) ( 2 x x x f5 A.1，1 B.0，1 C.1，0 D.1，2
