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1、1D IBAC浙江省数学竞赛模拟题（十五）班级_ 姓名_一、选择题(共 50 分)1. 中， 则比式 等于（ D ABC,aAbBc:bcabac） . sin:sin .os:os2222BCtatactct解析：如图易知， ctAbcDr，2otBr2oCb因此选 D2.由方程 确定的函数 y=f(x)在( ，+) 上是 （ D 3|yx）A、奇函数 B、偶函数 C、增函数 D、减函数3.已知数列a n是各项均为正数的等比数列，公比 q1，那么 （ A）A.a32+a72a42+a62 B.a32+a72a42+a62；取数列 64，32，16，8，4，2，1(0q1，易证 a32+a72
2、a42+a62，故选 A. 答案：A4.当 取遍全体实数时，直线 所围成图形的面积为( D )cosinsin)xyA. B. C. D. 915.已知 都是质数，并且 有唯一的值和它对应，则 只能取 （ A,14,pqpq）A.40 B.44 C.74 D.86 7.在数列 中，相邻两项 是方程 的两根，已知 ，则 的值na1,na230nxb107a51b为 ( B )A.5800 B.5840 C.5860 D.600028.在ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别记为 a、b、c(b1)，且 ， 都是方程ACBsinlog x=logb(4x-4)的根，则ABC （ B ）A是等腰三
3、角形，但不是直角三角形 B是直角三角形，但不是等腰三角形C是等腰直角三角形 D不是等腰三角形，也不是直角三角形解：由 log x=logb(4x-4)得：x 2-4x+4=0，所以 x1=x2=2，故 C=2A，sinB=2sinA，A+B+C=180，所以 3A+B=180，因此 sinB=sin3A，3sinA-4sin 3A=2sinA，sinA(1-4sin 2A)=0，又 sinA0，所以 sin2A= ，而 sinA0，sinA= 。因此 A=30,B=90,C=60。故选 B。419.已知双曲线 的右焦点为 F,右准线为 ,一直线交双曲线两支于 P、Q2byax)0,(bal两点
4、，交 于 R,则 （Cl）A B QFRP QFRPC D 的 大 小 定与解：分别做 由相似三角形的性质，得 ，又有,ll 垂 足 分 别 为 QRP双曲线的第二定义，得 故 平分 所以选 C.,FRQeP则 R.F10.若（1 2） 1000 的展开式为 2000 2000，则 3 6 9 1998 的值为 （C）3 333 3666 3 999 3 2001解析：由于要求的是展开式中每间降两项系数的和，所以联想到 1 的单位根，用特殊值法取 （1 2）（ 2），则 1， 10令1，得 31000 2000；令，得 0 1 2 20002000； 令 ，得 0 20004000三个式子相加
5、得3 10003（ 1998） 19983 999，选2、填空题（共 49 分）11.边长为整数，且面积（数值）等于周长的直角三角形有_个。312.已知两点 M(1，0)， N(1 , 0)，且点 P 使 ， ， 成公差小于零MNPN的等差数列，则点 P 的轨迹方程为 。 23(0)xyx13.如果关于 的不等式 的解集为一切实数，那么实数 的取值范围是_.x|1|axa0a14.过椭圆 的一个焦点 作弦 ，若 ，则 _.21364yFAB|,|FmBn115.设 ，则关于 的方程 的所有实数解的和为_.125()()36xxt(1)2(3)0tt16.已知 ,并且 ，则 的最大值0,zyx
6、21122zyx 22211zyx是 。解析： 。令 为锐角，则由已知条件可得：2 ,tan,t,tancoscossiisin 2222由柯西不等式，得 )cos)(ii(1 22（ ， ，2)icoiciini1即 11222zyx17.对一切实数 ，所有的二次函数 的值均为非负实数，则bacxaf 2的最大值是 cba解析：设 ，则 kbak依题意有 ， ，即 ，即 024c24akc24ak4故 229324bakkkacca111932424kkaa当且仅当 即 时取等号24kcabc三、解答题（共 51 分）18.设定义在 上的函数 ，当 时， 取得极大值 ，Redxcbxf 23
7、4 1xf32并且函数 的图象关于点 对称1xy01， （）求 的表达式；f（）试在函数 的图像上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间 上；2,（）若 ， ，求证： 1tx3tyR43fxfy解：（）因 的图象关于点 对称，fy01， 故 的图象关于原点 对称， 故 ，易得 ，0fxface因为 时， 有极值，所以 时， 也有极值1xxxf故 3fbd ，2 213xb 于是 又由 得 ，13f2由此解得 ， ，b1d 3fx（）设这两个切点分别为 ，并且 ，12,xy12x，2f依题意有 (*) 1212f因 且 ，12,x,x 故 5由(*)式得 ，即 212x2
8、10x故 ，解得 或 20同理可得 或 1x1又因为当 与 同时成立时与(*)式矛盾，22所以 或 10故 ， 或 ， 1xy2312xy0xy即所求的两点为 或 0,2,3（） ，故当 或 时， ；21fx1x0fx当 时， f所以 的单调递增区间为 和 ， 的单调递减区间为 f ,f 1,因 ，故 210,ttx10fx即 ，故 ；3f23fx因 ，21,0tty， ， ，故 ，故 3f0f23f23fy23fy故 4xfyxy19.已知正项数列 na的前 项和2nas， 1(*)2nanbN（）求数列 的通项公式；（）定理：若函数 )(xf在区间 D 上是凹函数，且 ()fx存在，则当
9、12(,)xD 时，总有 121ff请根据上述定理，且已知函数 (*)nyN是 ),0(上的凹函数，判断 nb与 1的大小；（）求证： 32nb解：（） 1时， 110as或 1a由于 na是正项数列，所以 1a6当 2n时，2211nnnaaas，整理，得 1由于 n是正项数列， 1na数列 n是以 1 为首项，1 为公差的等差数列 从而 a，当 时也满足 na（ *N） 4 分（）由（）知 2nb对于 ),0(上的凹函数 1nxy，有 1nyx根据定理，得112()nxx6 分整理，得 112n令 2,()x，得 21()x 8 分 112n，即 nn 1nb10 分（）11C.2r rr
10、rn rn，1 11 .2.22r nnrnb 12 分又由（） ，得 13nbbL（或 2C.2rnrn） 2nb 14 分20.在平面直角坐标系 xoy 中，给定三点 ，点 P 到直线 BC 的距离是该点4(0,)1,(,0)3ABC到直线 AB，AC 距离的等比中项。（）求点 P 的轨迹方程；（）若直线 L 经过 的内心（设为 D） ，且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点，求 L 的斜B率 k 的取值范围。解：（）直线 AB、AC、BC 的方程依次为 。点 到44(1),(1),03yxyxy(,)PxyAB、AC、BC 的距离依次为 。依设，123|,|55dxdd，即222213,
11、|6(34)dxy得，化简得点 P 的轨迹方程为6(4)0,6(34)0xyy或圆 S： .5 分2178y与 双 曲 线 T:8（）由前知，点 P 的轨迹包含两部分圆 S： 232与双曲线 T： 170y8x7因为 B（1，0）和 C（1，0）是适合题设条件的点，所以点 B 和点 C 在点 P 的轨迹上，且点 P的轨迹曲线 S 与 T 的公共点只有 B、C 两点。的内心 D 也是适合题设条件的点，由 ，解得 ，且知它在圆 S 上。直A123d1(0,)2D线 L 经过 D，且与点 P 的轨迹有 3 个公共点，所以，L 的斜率存在，设 L 的方程为 12ykx（i）当 k=0 时， L 与圆 S 相切，有唯一的公共点 D；此时，直线 平行于 x 轴，表明 L 与双y曲线有不同于 D 的两个公共
