《信号检测与估计》简明讲义

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1、1信号检测与估计讲义一、课程目的：了解随机信号分析基本手段，掌握信号检测与参数估计的基本概念、方法及其应用。二、主要内容：第一部分： 随机信号分析1、随机信号处理基础信号分类、信号的频谱分析、随机变量及其数字特征、随机变量的特征函数、信号处理新方法2、随机信号分析随机过程及其相关概念、随机过程的数字特征、线性系统与非线性系统对随机信号的作用、随机信号的高阶谱第二部分： 信号检测1、信号检测的基本理论假设检验的基本概念、判决法则、M 择一假设检测、序列检测 瓦尔德检测2、确知信号检测匹配滤波器、卡享南洛维修展开、高斯白噪声中的信号检测3、随机参量信号检测复合假设检测、随机相位信号的非相检测、最优

2、接收机、随机相位和振幅信号检测、随机频率信号检测、随机到达信号检测、随机频率和随机到达信号检测4、脉冲串信号检测确知脉冲串信号检测、随机参数脉冲串信号的检测5、非参量检测6、鲁棒性检测第三部分：信号估计1、参数估计贝叶斯估计、最大似然估计、伪贝叶斯估计、线性均方估计、最小二乘估计2、信号波形估计2维纳滤波、离散线性系统模型、正交投影、卡尔曼滤波3、功率谱估计经典谱估计方法4、随机信号的双谱估计三、学习方法和方式：课堂讲授与课后讨论相结合，注意从内容学习到方法学习和思想学习的升华四、考核方式：开卷书面考试3第一部分：随机信号分析第一章 信号处理基础 1.1 信号处理概述一、信号及其分类信号是承载

3、信息的物理量，信息是指消息中所包含的有效内容，或者说受信者预先不知而待知的内容。音频，视频，语音，图像，地震波，通信信号，雷达信号，声纳信号，医学图像和音乐信号等都是常见的信号。根据不同的标准，信号可以分为以下几种:1、确定性： 确定信号：是指其取值在任何时间都是确知的或可预知的信号，通常可用数学表达式表示它在任何时间的取值。例如，振幅、频率和相位都是确定的一段正弦波，它就是一个确知信号。随机信号：是一类随时间作随机变化的信号。例如，噪声，电磁波的传输路径。虽无法用数学表达式表示它在某时刻的取值,但其具有一定的统计特性。2、时间特性：信号自变量取值特性连续信号（模拟）：自变量、取值均连续的信号

4、。离散信号（数字）：自变量离散，取值有可能连续。3、周期性：连续周期信号： 为 整 数nTnts,0离散周期信号： 为 周 期为 整 数 ， Nk4、能量信号与功率信号能量信号：若 平方可积，即 ,则其是能量信号；st 2limTWstd如数字信号的一个码元就是一个能量信号。功率信号：若 不能平方可积，令 ,若 P 为不等t 21liTPt于零的常数，则其是功率信号。若一个信号的能量有界则为能量信号；若一个信号的功率有界则为功率信号；一个信号不可能既是能量信号又是功率信号，但少数信号既不是能量信号也不是功率信号，如 .te例 1-1 试问 是什么信号？01其 他Ast4解： 因为 ，所以是能量

5、信号。1122200WstdAt例 1-2 是什么信号？co,stA解：因为 20limcsTtdt221lio0TT APtt所以是功率信号。例 1-3 是什么信号？14()0其 他ts解： 因为 12limTWtd1li 0TPt所以是其他信号。二、信号的频谱分析任一实信号，只要符合 Dirichlet 条件:（1）如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；（2）极大值和极小值的数目应是有限个；（3）信号是绝对可积的都可以分解为一系列不同频率的正弦（或余弦）分量的线性叠加；每一个特定频率的正弦分量都有它相应的幅度和相位, 即其幅度和相位分别是频率的函数,也即其复数幅度是频率的函数。这种幅

6、度（或相位）关于频率的函数，就称为信号的频谱。当把信号频谱，即幅度（或相位）关于频率的变化关系用图来表示，就形成频谱图。从频谱图上，我们既可以看到这个周期信号由哪些频率的谐波分量（正弦分量）组成；也可以看到，对应各个谐波分量的幅度，它们的相对大小就反映了各谐波分量对信号贡献的大小或所占比重的大小。这样，信号一方面可用一时间函数来表示，另一方面又可以用频率函数来表示。前者称为信号的时域表示法，后者称为信号的频域表示法。无论是时域（时变函数） ，还是频域（频谱） ，都可以全面的描述一个信号。因此，经常需要把信号的表述从时域变换到频域，或者频域变换到时域，以及两者之间的关系。这种转换关系可以通过傅立

7、叶级数和傅立叶变换实现。 dweStsjt)(21)(5dtetswSjw)()(三、实信号的复数表示物理可实现的信号都是时间的实函数，其在各时刻的函数值都是实数。如正弦信号，信号噪声。实信号的频谱是复共轭对称的: *()()()()() ()jwtjwt jwt jwtSsedsedsedtdS 从上式可以看出: Sarg)(argrS2、解析信号和 Hilbert 变换 为 s(t)的解析信号)js(t)s(t)s(twU2S ）（对dtstst)(1)(显然，由 x(t)求其 Hilbert 变换相当于对 x(t)作一次滤波，滤波因子为 h(t)= 1t设相应的频率响应即 Hilbert

8、 滤波器的频谱为 H(f):12,0()()1()fiHftiHf所以 其中(),()0ififfe,02()ff可见，一个信号经 Hilbert 变换后相位谱要做 90 度的相移，故称 Hilbert 变换为90 度相移滤波器，或垂直滤波。Hilbert 逆变换由于 2()1,()()HfXfHf所 以即 Hilbert 逆变换为： %+-()()*(=txxtxtd）注：x(t)的 Hilbert 逆变换为 ，而 的 Hilbert 变换为-x(t) 。%()xt3、实信号复数表示的必要性h(t) H(w)th1)(0)(wjH 对6证明：Fsgn(t)= 根据对称性得到 ，所以 。其中2

9、jw2sgn()jtw1sgn()jwtsgn(t)为门函数。7 1.2 随机变量与特征函数一、随机变量1、随机变量的定义设 E 是一随机试验， 是其样本空间， 是定义在 上的随)(X机变量, 或 具有确定概率，则 是随机变量。根据xXx的连续性，将其分为连续/离散随机变量。2、分布函数及概率密度函数离散型：设离散型随机变量分布律为 ()kkPXxp1,2.由概率的可列可加性得 X 的分布函数为 xiiF连续型： 表示概率密度xPF)()( )(分布函数的特性：连续型： ，非负有界性，单调非递减1离散型： ，非负性 单调非递减ixp3、常见的随机变量 二项式分布二项分布即重复 n 次的伯努利试

10、验。每次试验只有两种可能的结果，实验间相互独立，且结果事件发生的概率在整个试验中保持不变，则这一系列试验称为伯努利试验。当 n=1 时，这个特殊二项分布就会变成两点分布,即两点分布是一种特殊的二项分布。设随机变量 取零和正整数： 。其概率为：)(Xnm,210L， 其中nPCpq .1qp(),()()EDX证明:由二项式分布的定义知，随机变量 X 是 n 重伯努利实验中事件 A 发生的次数，且在每次试验中 A 发生的概率为 p.因此，可以将二项式分布分解成 n 个相互独立且以 p 为参数的（ 0-1）分布随机变量之和.设随机变量 X（k）(k=1,2,3.n) 服从（0-1）分布，则 X=X

11、(1)+X(2)+.+X(n).因 X(k)相互独立,所以期望：E(X)=EX(1)+X(2)+.+X(n)=np.8方差：D(X)=DX(1)+X(2)+.+X(n)=np(1-p). 泊松分布泊松分布是1819 世纪的法国数学家 Simon Denis Poisson 在1838年时发现，但是这个分布却在更早些时候由贝努里家族描述过。泊松分布的参数 是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率，泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数，如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。设随机变量 取零和一切

12、正整数： 。其概率为：)(XL,210m， 为正实数emP!,EX= ;DX= 均匀分布随机变量 取值在 ，且在其间处处有相同的分布密度，记为XbaXUa,b： 其 他 xbxp0a1)(EX= ;a2bdxDX=2a1()()b ba设连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x)=(x-a)/(b-a)，axb。 高斯分布高斯分布又称正态分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家 Moivre 于 1733 年首次提出的，但由于德国数学家Gauss 率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布。9若随机变量 X 服从一个数学期望为 、

13、方差为 的高斯分布，记为 N(， )。22期望值 决定了其位置，其标准差 决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是 = 0, = 1 的正态分布。 其概率密度函数为 EX= ;DX=21)(xexp2服从正态分布的随机变量的概率规律为取与 邻近的值的概率大，而取离 越远的值的概率越小； 越小，分布越集中在 附近， 越大，分布越分散。正态分布的密度函数关于 对称，并在 处取最大值，在正（负）无穷远处取值为 0，在 处有 拐点，形状呈现中间高两边低。 越大，正态曲线越扁平； 越小，正态曲线越尖陡。在正态曲线下方和 x 轴上方范围内区域面积为 1。

14、3 原则：P（- 0PF0增加PDd0 8图4.7 接收机工作特性 图4.8 在P F一定时，P D与d的关系574.4.2. 一般二元检测问题对于一般的二元信号波形检测中，观测信号数学模型为 TttnstzH0)()(0011：定义：接收信号中 s1(t)和 s0(t)的能量分别为TTdtsEdtsE02021)()(，归一化信号分别为 )(1)(,)( 0011 tststtsnn 波形的相关系数为 TdtstE01)(假设：噪声 n(t)是均值为零、功率谱密度为 的高斯白噪声 2)(0NGn。（1）正交级数展开法利用卡享南-洛维展开公式 NkkNk tfnstfztzH111 )(lim)(li)(：其中： NkdtftnszTkkkk ,.21)(,.,01， ， kkNk tfnstfzzH101 )(lim)(li：其中：58NkdtftnszTkkkk ,.21)(00， ，zk 是高斯随机变量，其均值和方差分别为 2020 2121| | kkkk kkkk nEHszEHzVars当 2=N0/2 时，前 N 个系数 zk 的联合概率密度函数（似然函数）为 Nk kk kNszHzp10221001021210exp|似然比函数为 Nk kkkNk kkNk kk kNNszszszHzpztz1