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1、全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设 7 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少 4 分为一个档次，不要增加其他中间档次一、填空（共 8 小题，每小题 7 分，共 56 分）1 若函数 且 ，则 21xf()nnfxffxL12391f【答案】 0【解析】 ， ，121xfxf21xfxf， 故 929f 90f2 已知直线 和圆 ，点 在直线 上，:0Lxy2:80MxyA
2、L， 为圆 上两点，在 中， ， 过圆心 ，则点 横坐标范围为 BCMABC45ABM【答案】 36，【解析】 设 ，则圆心 到直线 的距离 ，由直线9a， Csin45d与圆 相交，得 解得 AC42d 36a 3 在坐标平面上有两个区域 和 ， 为 ， 是随 变化的区域，它由MN02yx Nt不等式 所确定， 的取值范围是 ，则1txt t 1t 和 的公共面积是函数 MNf【答案】 2t【解析】 由题意知ftS阴 影 部 分 面 积 AOBCDBEFS221tt1t4 使不等式 对一切正整数 都成立的最小正整数12073annLn的值为 a【答案】 209【解析】 设 显然 单调递减，则
3、由 的最112fnnfnfn大值 ，可得 173fa09a F EDC BAOy x5 椭圆 上任意两点 ， ，若 ，则乘积 的21xyab0PQOOPQ最小值为 【答案】2【解析】 设 ， cosinPOP， cossin22 ，由 ， 在椭圆上，有Q 221cosinabO221inabOQ得 + 2221aP于是当 时， 达到最小值 2QbP2ab6 若方程 仅有一个实根，那么 的取值范围是 lgl1kxk【答案】 或04【解析】 当且仅当0kx120对由求根公式得 ， 1x224kk或 24kk 4()当 时，由得 ，所以 ， 同为负根0120x1x2又由知 ，所以原方程有一个解 12
4、x1()当 时，原方程有一个解 4k2kx()当 时，由得 ，120所以 ， 同为正根，且 ，不合题意，舍去1x21x综上可得 或 为所求0k47 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前 个正整数按从小到大排成的行，则最后一0行的数是 （可以用指数表示）【答案】 98102【解析】 易知：()该数表共有 100 行；()每一行构成一个等差数列，且公差依次为 ， ， ，1d223d982d() 为所求10a设第 行的第一个数为 ，则2n na211nn322n=2423nna32nna12nna21n故 98108 某车站每天
5、 ， 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随0 901 机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻 8 8309 8509概率 161213一旅客 到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分） 820【答案】 27【解析】 旅客候车的分布列为候车时间（分） 10 30 50 70 90概率 123161263候车时间的数学期望为 10350790272618二、解答题1 （本小题满分 14 分）设直线 （其中 ， 为整数）与椭圆:lykxmk交于不同两点 ， ，与双曲线 交于不同两点 ， ，问是否存在26xyAB214CD直线 ，使得向量 ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，
6、请说明理l 0CDur由【解析】 由 消去 化简整理得216ykxmy22348480kxm设 ， ，则1Axy， 2Bxy， 228mx 4 分2284340kk由 消去 化简整理得21mxyy22310kx设 ， ，则34C， 4Dx， 342m 8 分222 10kk因为 ，所以 ，此时 0ABur 4231x42310yy由 得 1234xx8k所以 或 由上式解得 或 当 时，由和得km223k0kmk因 是整数，所以 的值为 ， ， ， ， ， ， 当 ，m321230m由和得 因 是整数，所以 ， ， 于是满足条件的直线共有 93条14 分2 （本小题 15 分）已知 ， 是实数
7、，方程 有两个实根 ，p0q20xpq，数列 满足 ， ，na1p2aq1234nnapqL， ，()求数列 的通项公式（用 ， 表示） ；()若 ， ，求 的前 项和4qn【解析】 方法一：()由韦达定理知 ，又 ，所以0qp，1212nnnnapxa345L， ， ，整理得 1令 ，则 所以 是公比为 的等比数列nnb 1nb， ， nb数列 的首项为： 22 221apq所以 ，即 21n 1nnL， ，所以 1naL， ，当 时， ， ，240pq012ap11nna变为 整理得，L， ， 11nna2， ， 所以，数列 成公差为 的等差数列，其首项为1n， ， n所以 2a21n于是
8、数列 的通项公式为 ；5 分anna当 时， ，240pq11nn 1nn11nnn2L， ，整理得 ， 2aa2L， ，所以，数列 成公比为 的等比数列，其首项为1n所以 2221a121nna于是数列 的通项公式为 10 分n1na()若 ， ，则 ，此时 由第 ()步的结果得，数列1p4q240pq12的通项公式为 ，所以， 的前 项和为na1nnana2312nsL411n 以上两式相减，整理得 3nns所以 15 分32nns方法二：()由韦达定理知 ，又 ，所以 ， 0qp1a2a特征方程 的两个根为 ， 20pq当 时，通项 由 ， 得1212nnaAL， ， 12a23， 解得
9、 故 5 分1223A nn当 时，通项 由 ，12na， ， 1a得2a， 解得 ， 故122A 1A210 分11nna()同方法一3 （本小题满分 15 分）求函数 的最大和最小值2713yxx【解析】 函数的定义域为 .因为013， 2713yxx2713 13当 时等号成立故 的最小值为 5 分0y又由柯西不等式得222713yxx1273123xx所以 10 分1由柯西不等式等号成立的条件，得 ，解得 故当 时等499号成立因此 的最大值为 15 分y1全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分2如果考生的解答方法
10、和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不要增加其他中间档次一、如图， ， 分别为锐角三角形 （ ）的外接圆 上弧 、 的中MNABCBC AC 点过点 作 交圆 于 点， 为 的内心，连接 并延长交圆 于 CP PIPIT求证： ；T在弧 （不含点 ）上任取一点 （ ， ， ） ，记 ， 的内心AB Q TBQ分别为 ， ，1I2ITQPN MCBA求证： ， ， ， 四点共圆Q1I2T【解析】 连 ， 由于 ， ， ， ， 共圆，故 是等NIMPCN MNPCN腰梯形因此 ， PCABCMNPTI连 ， ，则 与 交于 ，因为AM
11、CIAI，所以 同理 MCBICIMINCI于是 ， NPN故四边形 为平行四边形因此 （同底，等高） I PMTNS 又 ， ， ， 四点共圆，故 ，由三角形面积公式T1801sin2PMSPT sin2NTT sin2PT于是 N因为 ，1111CIACIQCII2I1ABCMNPQTI所以 ，同理 由 得 1NCI2MCIPNMPN由所证 ， ，故 PN12TMI又因 ，有 1 2ITQ12IT故 ，从而 2I1 1IQ因此 ， ， ， 四点共圆Q1I2T二、求证不等式： ， ，2，211lnnk 【解析】 证明：首先证明一个不等式： ， ln()1xx0事实上，令 ， l(1)h(ln
12、1)xgx则对 ， ， 0x() 220(1) 于是 ， 在中取 得()h()0gxxn 11ln令 ，则 ，21lnkx12xn1n20()n因此 112nxxL又因为从而1ln(l)(l)ln()(ln2)llnkL121lnnkkx1221lkk 21kk()k1()k n三、设 ， 是给定的两个正整数证明：有无穷多个正整数 ，使得 与 互素l m Ckml【解析】 证法一：对任意正整数 ，令 我们证明 t(!)ktl1，设 是 的任一素因子，只要证明：p l Cm若 p k!，则由 1!C()kmii1(!)kitl1ki1!odp及 ，且 p+1 k!，知 且 从而 p | |!kmp km Ckm证法二：对任意正整数 ，令 ，我们证明 t 2(!)tll，设 是 的任一素因子，只要证明：p 若 p k!，则由l Ck 1!C()kmii21(!)kitl1iod即 不整除上式，故 p km若 ，设 使 ，但 故由|!pk |!1!k12|(!)pk,及 ，且 p+1 k!，知1!()mii
