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1、第 2 章习题解答(2.1,2.3,2.5,2.16,2.19)2.1 求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为 a,所对的圆心角为 2，并证半圆片的质心离圆心的距离为 a34。2.1 解 均匀扇形薄片，取对称轴为 x轴，由对称性可知质心一定在 x轴上。dr2题 2 . 1 . 1 图有质心公式 dmxc设均匀扇形薄片密度为 ，任意取一小面元 S， r又因为 cosx所以对于半圆片的质心，即 2代入，有aaxc 342sini322.3 重为 W的人，手里拿着一个重为 w的物体。此人用与地平线成 角的速度 0v向前跳去，当他到达最高点时，将物体以相对速度 u 水平向后抛出，跳的距离增加了多少？2.
2、3 解 建立如题 2.3.1 图所示的直角坐标，原来 人W与 共同作一个斜抛运动。yx0vO题 2 . 3 . 1 图220=cos2in3Caxdmrdrddr当达到最高点人把物体水平抛出后，人的速度改变，设为 xv，此人即以 xv的速度作平抛运动。由此可知，两次运动过程中，在达到最高点时两次运动的水平距离是一致的（因为两次运动水平方向上均以 cosv0水 平作匀速直线运动，运动的时间也相同） 。所以我们只要比较人把物抛出后水平距离的变化即可。第一次运动：从最高点运动到落地，水平距离 1stavsco01gins201s第二次运动:在最高点人抛出物体，水平方向上不受外力，水平方向上动量守恒，
3、有 )(cos)(0 uvwWvwxx可知道 ax0水平距离sin)(cosin0202 uvgWwgvtsx 跳的距离增加了 12sssi)(0=2.5 半径为 a，质量为 M的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速 转动，求绕此轴的动量矩。解 因为质点组队对一固定点的动量矩n1iimvrJ所以对于连续物体对某一定点或定轴，我们就应该把上式中的求和变为积分。如图 2.5.1 图所示薄圆盘，任取一微质量元， Odr题 2 . 5 . 1 图drm 2aM所以圆盘绕此轴的动量矩 J rdr)vrd(=21a2.16 雨滴落下时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比例，求雨滴速度与时间的关系
4、。2.16 解 这是一个质量增加的问题。雨滴是本题 m。导致雨滴 变化的微元 m的速度 0u。所以我们用书上 p.138 的（2.7.4）式分析 Fvdt)(雨滴的质量变化是一类比较特殊的变质量问题。我们知道处理这类问题常常理想化模型的几何形状。对于雨滴我们常看成球形，设其半径为 r，则雨滴质量 m是与半径 r的三次方成正比（密度看成一致不变的） 。 31rkm有题目可知质量增加率与表面积成正比。即24rkdt21,k为常数。我们对式两边求导 trktm213由于=，所以123kdtr对式两边积分 trad0t 31)(km以雨滴下降方向为正方向，对式分析 gatvatd3131)()(tv dtkk00 34131 )()( atgatk（ k为常数）当 0t时， v，所以 413gak344attgv2.19 试以行星绕太阳的运动为例，验证维里定理。计算时可利用 1.9 中所有的关系和公式，即认为太阳是固定不动的。2.19 证 假设该行星做 2.19 证 假设该行星做椭圆运动，质量为 m，周期为 。某一时刻位置为 r，速度为 v，则又因为 rGMdtva2于是 02trGMT= 0trm012dtrmrGM21200000011111()22vmTvdtt ddvrdv
