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1、常微分方程习题 李立康习题1.用 Euler 方法求初值问题 0)(21ut在 时的近似解(取 ) 。1t4h2.初值问题 130u()有解 。但若用 Euler 方法求解,对一切 和 ,都32/u(t)t NT,HTh只能得到 ,试解释此现象产生的原因。Nt,.103.用 Euler 方法计算 1)0(u在 处的值,取 ,将计算结果与精确值 相比1t6和41h e)1(u较。4.设 满足定理 2.1 的条件,对改进 Euler 法(2.10 )式证明:),(utf(1)其局部截断误差为 ;)(1243hOtuh(2)当 时,其整体截断误差满足:1hL )1(22LtnlTmehRe(3)方法
2、具有二阶收敛速度且稳定。5.导出用改进 Euler 法求解 1)0(u计算公式 mmhu2取 计算 的近似值,并与习题 3 的结果比较。41h)(u6.就初值问题 0)(ubat分别导出用 Euler 方法和改进 Euler 法求近似解的表达式,并与真解相比较。btau27.证明改进 Euler 法的绝对稳定区域是整个左半平面 。0)Re(h8.对初值问题 1)0(2u用 的 Euler 方法求解,求出实际计算值 与真解 在41h tut1处的误差,并将它与定理 2.3 的估计式(2.22)式相比较。)(u9.证明:Runge-Kutta 方法中 关于 满足 Lipschitz 条件);,(h
3、utu或t的充分条件是 关于 或 满足 Lipschitz 条件。),(utf10.证明定理 2.6.11.证明定理 2.7 的推论(推论 2.1):“ 级 Runge-Kutta 方法相N容的充分必要条件是 ”。Nic112.Runge-Kutta 方法并不是导出高阶单步方法的唯一途径,如令,则可将 取为utfuftg),();,(hut,),(32),(; utfgh证明这是一个二阶的单步方法。提示:利用 Taylor 展开后比较相当项的系数的方法。13.证明三阶 Runge-Kutta 方法23 121 32143,),()49khutfkutfkkkhmm对于求解微分方程 tu与三阶
4、Taylor 级数法的计算格式的形式完全相同。14.对 Heun 二阶方法(2.10)式作出如图 2.3 那样的几何解释。15.用 Taylor 级数法求方程 1)0(u的 的近似值(取 ) ,并说明近似值精度情况。)2,0(1u4q16.求线性三步四阶显示方法的计算格式。 (取 为参数)017.求具有最高阶的三步方法的计算格式。18.设 无公因子,证明线性多步方法至少二阶相容的充)(,分必要条件是 )1(2)1(,1019.证明:与算子 相应的线性多步方法 阶相容的充分必;htuLq要条件是 ,.10,nn而 此时误差常数为.0;1htLq)!(11cqq20.讨论最高阶的两步方法(Miln
5、e 方法(2.69 )式)和最高阶的三步方法(习题 17)的稳定性。21.检验四步方法 4421883mmmhu(fff)是否收敛。22.证明:方法 mmmmm fhfhu6)42(6211 的阶为二23.推到计算格式 221212 , mmmmmm uhuhu的系数 使方法有尽可能高的阶数,并讨论它的稳定性。,124.讨论最高阶三步方法(习题 17)的绝对稳定性。25.讨论多步方法 )(32)( 12121 mmmmm fahuua当 取那些值时是稳定的;当 取那些值时有绝对稳定区域非空。aa26.在两步三阶方法 yuffhuu mmmm 5)12(4)2(55134000 中,讨论当 在什
6、么范围种变化才能使算法绝对稳定。设此时的绝0对稳定区域在实轴上的范围是 ,求 的值。,ba27.用公式(2.101)推到 和 时的 Gear 方法。3k428.用公式(2.101)求下列计算公式的截断误差阶和各项系数:(1) (向后 Euler 公式) ;11mmhfu(2) ;m2342(3) 和 时的 Adams 外插公式和内插公式。k29.证明:一步 Gear 方法(习题 28 之(1) )和两步 Gear 方法(2.102)式都是 A-稳定的。30.求一级、二级隐式 Runge-Kutta 方法(2.116)式、 (2.117 )式局部的截断误差项。31.证明:(2.116)式(2.1
7、17)均为 A-稳定的方法。计算实习1.编一个用 Euler 方法解 atuf)(,0 Tt0的程序,使之适用于任意右端函数 ,任意步长 和任意区间 。h,0Tt用 分别计算初值问题16,84h .0615)0(4,(ut在结点 上打印出问题的精确解(真解为6,.10(i) 。计算近似解、绝对误差、相对误差、先验误差界,teu6)分析输出结果(这与获得输出结果同样重要) 。2.编一个与上题同样要求的改进 Euler 法的计算程序, 的初值1mu用 Euler 方法提供,迭代步数 为输入参数。用它求解上题的问题,s并将两个结果加以比较。3.编一个程序用 Taylor 级数法求解问题.1)0(,u
8、t取 Taylor 级数法的截断误差为 ,即要用 的2hO )(),.(20tutu值。提示:可用一个简单的地推公式来获得 。31)(n4.用四阶古典 Runge-Kutta 方法(或其他精度不低于四阶的方法) ,对 时的标准正态分布函数:0xrtxdex020,11)(产生一张在0,5 之间的 80 个等距结点(即 )处的函数值表。16h提示:寻找一个以 为解的初值问题。 )(x5.(一个“ 刚性”的微分方程)用四阶古典 Runge-Kutta 方法阶初值问题: ,0)(,301512utt取 每隔 8 步打印出数值解与真解的值 ,画出它.1h tu2)(们的大致图像,并对产生的结果做出解释
9、。提示:当初值 时,方程的真解变为 。)0(u ttu2)(6.分别用 Adams 三步和四步外插公式,用 求解16h1)0(30,7482utt将计算结果与真解 t 进行比较,并对所产生的现象进20et行理论分析。7.用 Adams 三步内插公式预测、 Adams 四步外插公式校正 次的预- 校算法重新求解上题的方程,将结果与上题作比较,并解释产生差异的原因。8.对(1.3 )式所示的 Lotka-Volterra“弱肉强食”模型,令即,53,503,12,4 0 yxtkdlekr .5)0(,324yxtx50x(1)取 ,用任意一种精度不低于三阶的方法求解,要求结41h果至少有三位有效
10、数字。作出 的图像及 关于 的图像。)(,tyxyx(2)对 解这同一个模型,分别画出 关于 的函5.2,1)0(y数图像。(3)讨论所获得的结果并分析原因。提示:注意 平面上的点(3,2) ,它被称为平衡点。xy习题 抛物方程习题1.推导扩散方程的三层差分格式: u)1(的截断误差,并证明当 时,截断误差的阶达到最高,为r2。)(42hO2.求 Richardson 格式的改进形式 Dufort Frankel 格式:huua2的截断误差。3.讨论双向加权对称格式: 22126512 huhuauu 的截断误差。4.用分离变量法求古典隐格式(5.36)的差分真解。5.用分离变量法对六点对称格
11、式(3.38)推导其差分方程的真解。6.利用题 4 和题 5 的结果,用分离变量法证明古典隐格式和六点对称格式是绝对稳定的。7.列出求解: .0),1(0 ,0()1,)(102tuox Ttxaaa的古典显格式,并证明当 时格式是稳定的。21ha8.用直接法证明求解扩散方程的两层加权平均格式(5.25):(1)当 时,是绝对稳定的。12(2)当 时,稳定条件为 。0)21(r9.证明:题 3 所给出的双向加权对称格式是绝对稳定的。10.证明:题 1 所给出的三层差分格式是绝对稳定的。11.证明:用最大模方法和传播因子法证明题 8 的结论。12.证明半隐格式: 是 偶 数是 奇 数jhuuau
12、ijijijijiji jijijijijiji ,2111 1是绝对稳定的。13.证明( Von Neumann 条件为充分条件的)定理 5.14 中的情况(6)的情况(7) 。14.证明: DuFort-Frankel 格式(5.86)绝对稳定。提示:利用上题的结果15.用分离变量法证明求解波动方程的三层加权格式(5.123)(1)当 ,格式是绝对稳定的。214(2)当 ,格式稳定的条件是 。041r16.将“ 跳蛙”格式(5.118)推广到求解线性双曲型方程组(5.136) ,请写出相应的计算格式,并讨论其稳定性。提示:利用定理 5.14 中的情况(6 )17.导出 F-L 格式(5.1
13、40 )和 L-W 格式(5.141)的增长矩阵,从而说明 4.4 中所给出的稳定性条件是正确的。18.建立求解二维扩散方程的 DuFort-Frankel 格式,并证明其绝对稳定性。19.用直接法证明:阶二维扩散方程的六点对称格式是绝对稳定的。20.将局部一维格式推广到三维情形,并证明他的绝对稳定性。提示:此时,延拓后的 的特解可取为 这里),(zyxu ea)(。,),(321x21.写出空间变量时三维情形时对应于格式(5.158)的计算格式。22.对格式(5.158)和(5.159)导出类似于题 8 的稳定性条件。计算实习1. 对定解问题: 0),(,1,0()2xutT若在 处有一个扰
14、动 ,取 分别用古典显格式和)0,21(u102,216rhRichardson 格式计算 8 层:(1)打印出第 8 层上个结点处的计算值。(2)预测继续算下去计算值的变化趋势。(3)分析上述趋势产生的原因。2.用古典显格式求解定解问题: .)12sin()0,0,(,2xkxutT分别取 和 ,取 ,计算 1020 层:52t316h(1)对固定的 ,比较 和 时计算值的差别;k52r3(2) 分别取 观测稳定和不稳定格式的计算值随初始函,4321数变化的情况。3.改用 DuFort-Frankel 格式(5.86)算出实习题 1 在第 8 层上的值,并与 Richardson 格式的计算值作比较。4.任选一种差分方法求自由振动问题).,2(0,sin0022tuxxut的周期解,求出 处一个周期的计算值。1t5.对定解问题: 0),1(01,2,0()1,02tuxx Ttxuatu分别用表 5.13 的左偏显式和中心显式,取 分别为 和rh,1653分别为 计算 10 层,并分析所得到的计算结果,说a,52)3,210(4n说从中可获得什么规律性的东西。6.用 分别为 和 的古典显格式计算rh,165460),1(0,)12sin(22tuxkxxTu,比较计算结果间的差别。)5,4321(k习题 椭圆型1.用二阶 Gear 公式导出