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1、成才之路 数学 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 人教 选修 2 推理与证明 第二章 情推理与演绎推理 第二章 情推理 第 2课时 类比推理 典例探究学案 2 课 时 作 业 3 自主预习学案 1 自主预习学案 理解类比推理概念 ， 能利用类比推理的方法进行简单的推理 ， 体会并认识合情推理在数学发现中的作用 重点： 类比推理 难点： 类比推理的特点及应用 类比推理 思维导航 在学习数列一章时，我们由等差数列 a n 具有性质： “ 已知 n 、 m N*，若 n m 2 p ，则 a n a m 2 a p ” ，作出猜想： “ 对于等 比数列 a n ，若 n 、 m N*， n m 2 p
2、 ，则 a m a n ，这种猜想方法是否具有一般性？这样猜想出的结论是否一定是正确的？它在数学发现中具有什么作用？ 1 类比推理 由两类对象具有某些 _特征和其中一类对象的某些_， 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 (简称类比 ) 简言之 ， 类比推理是由 _到_的推理 (1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性 ， 推测正在研究中的事物的属性 ， 它以旧有认识作基础 ， 类比出新的结果； (2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性； (3)类比的结果不一定可靠 ， 但它却具有发现的功能 新知导学 类似 已知特征 特殊 特殊 2 合情推理 归纳推理和类比推理都是根据
3、已有的事实 ， 经过_ 、 _ 、 _ ， 再 进 行 _ 、_， 然后提出 _的推理 ， 我们把它们统称为合情推理 3 归纳推理是由部分到 _， 由具体到 _，由特殊到 _， 从个别事实中概括出 _的思维模式 类比推理是在 _的事物之间进行对比 ， 找出若干相同或相似之处之后 ， 推测在其他方面也可能存在_之处的一种推理模式 观察 分析 比较 联想 归纳 猜想 整体 抽象 一般 一般结论 两类不同 相同或相似 1 鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿 ， “ 锯子 ” 能 “ 锯 ” 开木材 ， 它们在功能上是类似的 因此 ， 它们在形状上也应该类似 ， “ 锯子 ” 应该是齿
4、形的 该过程体现了 ( ) A 归纳推理 B 类比推理 C 没有推理 D 以上说法都不对 答案 B 解析 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程 ， 上述过程是推理 ， 由性质类比可知是类比推理 牛刀小试 2 已知扇形的弧长为 l ，半径为 r ，类比三角形的面积公式 S 底 高2，可推知扇形面积 S 扇 等于 ( ) 不可类比 答案 C 解析 三角形的高对应扇形的半径，三角形的底对应扇形的弧长，所以可猜测 S 扇 12 故应选 C. 3 等差数列 ， ， 公差 d0， 则有 a4a6a3比上述性质 ， 在等比数列 ， 若 ， q1， 写出 b5，_ 答案 b8解析 将乘积
5、与和对应 ， 再注意下标的对应 ， 有 b4b8典例探究学案 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合；球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 这两个定义很相似 于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质 试将平面上的圆与空间中的球进行类比 事物的相似性与类比 解析 圆与球在它们的生成 、 形状 、 定义等方面都具有相似的属性 据此 ， 在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系： 弦 截面圆 ， 直径 大圆 ， 周长 表面积 ， 圆面积 球体积 ， 等等 于是 ， 根据圆的性质 ， 可以猜测球的性质如下表所示： 圆的性质 球的性质 圆心与弦 (不是直径 )的中点的连线垂直于弦 球心与截面圆 (
6、不是大圆 )的圆心的连线垂直于截面 与圆心距离相等的两弦相等； 与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长 与球心距离相等的两截面圆是等圆； 与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大 圆的切线垂直于经过切点的半径； 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 球的切面垂直于经过切点的半径； 经过球心且垂直于切面的直线必经过切点 圆的性质 球的性质 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 经过切点且垂直于切面的直线必经过球心 圆的周长 c d 球的表面积 S 43 方法规律总结 运用类比推理要在合适的类比对象之间进行 ， 可以从其形式 、 结构 、 维数等不同方向进行 例如相等与不等的类比
7、 (解一元二次方程与解一元二次不等式的类比 )，升维类比 (圆与球 、 三角形与四面体 )， 概念与性质 (分解因式与分解因数 、 等差数列与等比数列 )等等 将平面图形与空间图形作类比 ， 按可作类比的属性填空 . 平面图形 空间图形 点 线 线 面 圆 球 三角形 _ 线线角 _ 边长 _ 周长 _ 面积 _ 答案 四面体 二面角 面积 表面积 体积 类比推理 如图，已知 O 是 A 任意一点，连结 延长交对边分别于 A 、B 、 C ，则 1. 这是平面几何中的一道题，其证明常采用 “ 面积法 ” S 1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体 V ，存在什么类似的结论？并用 “ 体积法
8、” 证明 分析 考虑到用 “ 面积法 ” 证明结论时把 把三角形分成三个三角形 ， 利用面积相等来证明相应的结论 在证明四面体中类似结论时 ， 可考虑利用体积相等的方法证明相应的结论 解析 在四面体 V 中，任取一点 O ，连结 延长分别交四个面于 E 、 F 、 G 、 H 点，则1. 证明：在四面体 O B V 中，设底面 的高分别为 h ， h ，则 13S h 同理有：O O O O V 1. 方法规律总结 1. 类比推理的思维过程大致为： 观察、比较 相似性一致性联想、类推 猜测新的结论2 类比推理的一般步骤： (1) 通过观察、分析，找出两类事物之间的相似性或一致性 (2) 通过类
9、比、联想，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题 ( 猜想 ) (3)通过推理论证 ， 证明结论或推翻结论 一般情况下 ， 如果类比的两类事物的相似性越多 ， 相似的性质与推测的性质之间越相关 ， 那么类比得出的结论就越可靠 类比推理的结论既可能真 ， 也可能假 ， 它是一种由特殊到特殊的认识过程 ， 具有十分重要的实用价值 3 合情推理的思维过程大致为： 从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 提出猜想 合情推理是指 “ 合乎情理 ” 的推理数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论 ；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证
10、明的思路和方向 在 若 C 90 ， 则 1， 则在空间中 ， 给出四面体性质的猜想 解析 如图，在 R t ， 1. 于是把结论类比到四面体 P ABC中 ， 我们猜想 ， 三棱锥P ABC中 ， 若三个侧面 ， ， 两两互相垂直 ，且分别与底面所成的角为 ， ， ， 则 1. 如图，点 P 为斜三棱柱 ， . 在任意 中有余弦定理： 2 EF . 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明 分析 由 可知 平面 从而可知 将斜三角形与斜三棱柱类比：三角形的边 斜三棱柱的侧面 ， 三角形的两边夹角 斜三棱柱两侧面夹角 ， 边长关系式 面积关系式 结合条件可取三棱柱的直截面 解答时先下结论 ， 然后利用直截面作出证明 解析 在斜三棱柱 有 2为平面 平面 平面 二面角 P 在 2C C C 2(C1) 由于
