《随机变量及其分布列[1].版块三.离散型随机变量的期望与方差1.学生版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机变量及其分布列[1].版块三.离散型随机变量的期望与方差1.学生版（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、智康高中数学.板块三. 离散型随机变量的期望与方差. 题库 1知识内容1 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量 来表示，并且 是随着试验的XX结果的不同而变化的，我们把这样的变量 叫做一个随机变量随机变量常用大写字母 表示,XYL如果随机变量 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称 为离散型随机变量离散型随机变量的分布列将离散型随机变量 所有可能的取值 与该取值对应的概率 列表表示：ixip(1,2,)nLX12 ix nxPp i我们称这个表为离散型随机变量 的概率分布，或称为离散型随机变量 的分布列X2几类典型的随机分布两点分布如果随机变量
2、的分布列为XX10Ppq其中 ， ，则称离散型随机变量 服从参数为 的二点分布01pqpXp二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为 ，不合格记为 ，已知产品的合格率10为 ，随机变量 为任意抽取一件产品得到的结果，则 的分布列满足二点分布8%X10P.82两点分布又称 分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分01布又称为伯努利分布超几何分布一般地，设有总数为 件的两类物品，其中一类有 件，从所有物品中任取 件NMn，这 件中所含这类物品件数 是一个离散型随机变量，它取值为 时的概率()nN nXm为， 为 和 中较小的一个 C()mMNnPX(0l n)我们称离散
3、型随机变量 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称 服从参数为 ，X XN， 的超几何分布在超几何分布中，只要知道 ， 和 ，就可以根据公式求出Nn数学期望智康高中数学.板块三. 离散型随机变量的期望与方差. 题库 2取不同值时的概率 ，从而列出 的分布列X()PXmX二项分布1独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果 及 ，并且事件 发生的概率相同在相AA同的条件下，重复地做 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为 次n n独立重复试验 次独立重复试验中，事件 恰好发生 次的概率为k()C(1)kknnPp(0,12,)nL2二项分布若将事件 发生的次数设为 ，事件 不发
4、生的概率为 ，那么在 次独立重复AXA1qpn试验中，事件 恰好发生 次的概率是 ，其中 于k()CknkP0,12,L是得到 的分布列X01 PCnpqn knkpq 0Cnpq由于表中的第二行恰好是二项展开式 01 0() CnnnknknqpqLL各对应项的值，所以称这样的散型随机变量 服从参数为 ， 的二项分布，X记作 ,XBp二项分布的均值与方差：若离散型随机变量 服从参数为 和 的二项分布，则np， ()En()Dxnq(1)正态分布1 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量 ，则这
5、条曲线称为 的概率密度曲线XX曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是 ，而随机变量 落在指定的两1X个数 之间的概率就是对应的曲边梯形的面积ab乙2正态分布定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量正态变量概率密度曲线的函数表达式为 ，2()1()xfxe，其中 ， 是参数，且 ， xR0式中的参数 和 分别为正态变量的数学期望和标准差期望为 、标准差为 的正态分布通常记作 2(,)N正态变量的概率密度函数的
6、图象叫做正态曲线标准正态分布：我们把数学期望为 ，标准差为 的正态分布叫做标准正态分布01重要结论：正态变量在区间 ， ， 内，取值的概率(,)(2,)(3,)分别是 ， ， 68.3%95.4.7正态变量在 内的取值的概率为 ，在区间 之外的取值的概()乙 1()乙x=Oyx智康高中数学.板块三. 离散型随机变量的期望与方差. 题库 3率是 ，故正态变量的取值几乎都在距 三倍标准差之内，这就是正态分布的0.3%x原则若 ， 为其概率密度函数，则称 为概率分2()N， (fx()()xFxPftd布函数，特别的， ，称 为标准正态分布函数201)N， 21()txed()()xP标准正态分布的
7、值可以通过标准正态分布表查得分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可3离散型随机变量的期望与方差1离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量 所有可能的取的值是 ， ， ，这些X1x2nx值对应的概率是 ， ， ，则 ，叫做这个离散型随1p2np12()nExppL机变量 的均值或数学期望（简称期望） X离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平2离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量 所有可能取的值是 ， ， ，这些值对应的X1x2nx概率是 ， ， ，则 叫1p2np2 21()()()()nDxEpEpEpL做这个离散型随机
8、变量 的方差离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度） 的算术平方根 叫做离散型随机变量 的标准差，它也是一个衡量离散型随()DX()xX机变量波动大小的量3 为随机变量， 为常数，则 ；ab， 2()()()()EabbDaX，4 典型分布的期望与方差：二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量 的期望取值为 ，在 次二pn点分布试验中，离散型随机变量 的期望取值为 Xnp二项分布：若离散型随机变量 服从参数为 和 的二项分布，则 ，()E()Dxnpq(1)超几何分布：若离散型随机变量 服从参数为 的超几何分布，NM乙则 ， ()MEXN2()1
9、nN4事件的独立性如果事件 是否发生对事件 发生的概率没有影响，即 ，AB(|)(PBA这时，我们称两个事件 ， 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件如果事件 ， ， 相互独立，那么这 个事件都发生的概率，等于每个事件发12nAn生的概率的积，即 ，并且上式中任意多个1212()()()n nPPAILI L事件 换成其对立事件后等式仍成立i5条件概率对于任何两个事件 和 ，在已知事件 发生的条件下，事件 发生的概率叫做条件ABAB智康高中数学.板块三. 离散型随机变量的期望与方差. 题库 4概率，用符号“ ”来表示把由事件 与 的交（或积） ，记做 （或(|)PBAABDABI） DA典
10、例分析【例 1】 投掷 1 枚骰子的点数为 ，则 的数学期望为（ ）A B C D33.544.5【例 2】 同时抛掷 枚均匀硬币 次，设 枚硬币正好出现 枚正面向上， 枚反面向480422上的次数为 ，则 的数学期望是（ ）A B C D0253040【例 3】 从 这 6 个数中任取两个，则两数之积的数学期望为 1245， ， ， ， ，【例 4】 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率为 ，现共有 颗子弹，0.64命中后尚余子弹数目 的期望为（ ）A B C D2.3.762.3762.4【例 5】 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 ，得 2 分的概率为 ，不得分的概ab
11、率为 （ 、 、 ） ，已知他投篮一次得分的数学期望为 2（不计其它cab01c，得分情况） ，则 的最大值为（ ）A B C D148241216【例 6】 一家保险公司在投保的 50 万元的人寿保险的保单中，估计每一千保单每年有15 个理赔，若每一保单每年的营运成本及利润的期望值为 200 元，试求每一保单的保费【例 7】 甲乙两人独立解出某一道数学题的概率依次为 ，已知该题被甲12()P，或乙解出的概率为 ，甲乙两人同时解出该题的概率为 ，求：0.8 0.3智康高中数学.板块三. 离散型随机变量的期望与方差. 题库 5 ；12P，解出该题的人数 的分布列及 XEX【例 8】 甲、乙、丙三
12、人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影12响求签约人数 的数学期望【例 9】 某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近 周的统计10结果如下表所示：周销售量 2 3 4频数 20 50 30根据上面统计结果，求周销售量分别为 2 吨，3 吨和 4 吨的频率；已知每吨该商品的销售利润为 千元， 表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元） 若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 的分布列和数学期望【例 10】 某项考试按科目 、科目
13、依次进行，只有当科目 成绩合格时，才可继ABA续参加科目 的考试已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩B均合格方可获得证书现某人参加这项考试，科目 每次考试成绩合格的概智康高中数学.板块三. 离散型随机变量的期望与方差. 题库 6率均为 ，科目 每次考试成绩合格的概率均为 假设各次考试成绩合格23B12与否均互不影响在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 ，求 的数学期望 E【例 11】 某同学如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外（环数记为 0）的概率为 ，飞镖落在靶内的各个点是椭机的已知圆形靶中三个圆为同心圆，半0.1径分别为 、 、 ，飞镖落在不同区域
14、的环数如图中标示设这3cm201c位同学投掷一次一次得到的环数这个随机变量 ，求 的分布列及数学期X望1098【例 12】 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为 12345智康高中数学.板块三. 离散型随机变量的期望与方差. 题库 7P0.4.20.10.商场经销一件该商品，采用 期付款，其利润为 元；分 期或 期付款，其利123润为 元；分 期或 期付款，其利润为 元 表示经销一件该商品的利2553润 求事件 ：“购买该商品的 位顾客中，至少有 位采用 期付款” 的概率 ；A31()PA 求 的分布列及期望 E【例 13】 学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一
15、项，已知会唱歌的有 人，会2跳舞的有 人，现从中选 人设 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，52且 7(0)1P求文娱队的人数；写出 的概率分布列并计算期望【例 14】 一接待中心有 、 、 、 四部热线电话已知某一时刻电话 、ABCDA智康高中数学.板块三. 离散型随机变量的期望与方差. 题库 8占线的概率为 ，电话 、 占线的概率为 ，各部电话是否占线相互B0.5CD0.4之间没有影响假设该时刻有 部电话占线，试求随机变量 的概率分布和XX它的期望【例 15】 某城市有甲、乙、丙 个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别3是 ，且客人是否游览哪个景点互不影响，设 表示客人离开该城0.45.6， ， X市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值求 的分布及数学期望【例 16】 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为
