量子力学讲义第11、12章

《量子力学讲义第11、12章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量子力学讲义第11、12章（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、83第四篇 跃迁问题和散射问题量子跃迁 初态 末态：几率？ H)弹性散射 初态 末态：散射截面（几率）？ )(rU第十一章 量子跃迁量子态的两类问题： 体系的可能状态问题，即力学量的本征态和本征值问题。 体系状态随时间演化问题。Hti)h11.1 跃迁与跃迁几率设 )0().)(),()( 0()00 tHrErtt nn 定态波函数 。,.21,)0()0()( etrtinnnh将 作微扰，t=0 时加入。本节讨论在 作用下，)(H t由初态 末态 的几率)0(k H)0(m?mkW一、体系由 的几率)()(m将 按 展开： 。,(tr)0(n )(),0rtCtrnn由 的定态波函数知，

2、 引起的变化由 反映，0H)0HtEine)0(h故可令，tEinnetatC)0()(h引起的变化由 反映。)(t 。),()()(),( 00)( trtaretatr nnntEinh称为几率幅。2ttWmmk84二、 的运动方程)(tan利用含时 S-方程，有 nnnn trHtatrHtaidti ),()(),()(, 00 )()0( hh由 nnnn trHtadtittrti ),()(, 0)0()0()0( 用 左乘，并积分得),()*0mr，ntimnmeHtadti )()(h式中 玻尔频率。)(1,)( 0()0(*0 nnmn ErHhr三、用含时微扰求 tan1

3、、初条件： 。,.21,)0()(0)()0,( ararr nknnnk 2、各级近似方程：将 按 展开H)(tam。.)( 2)1()0( tatamm代入方程得 )(:00dtimhntimmneaHtai )0()1(1:.3、解零级方程：因 t=0 时加入微扰，不可能马上影响体系状态，故所有修正项 )0()(kakm，由“1” 知 。于是有)(mamkmkaa)0()0(。mkt)(:0)0(854、解一级方程： n timktikmmneHdtai )(1h。ttikmeHim0)1(:。ttimkkdeitatta0)1()( h跃迁过程，一般 ，故 。k2021)(ttikmk

4、 HtaWm定义跃迁速率 单位时间内的跃迁几率： dtwmkk对 的几点讨论：mkw 当 具有某种对称性，使 ，)(tH 0mkmkwH则说 k 态到 m 态的跃迁是禁戒的（一级下） 相应的选择定则。 量子跃迁，由于能量往往是简并的，并不意味着一定有 （如弹性散kmE射 ）。fifi pprr:量子跃迁是“态”“态”，而非“能量”“能量”。 由于 的厄米性， 。)(tH )(*kwHmkkm 但由于简并，一般地讲， 不一定成立。kkEEw而应考虑诸简并态的量子跃迁几率，逐一计算，再平均之。 对初始能级诸简并态求平均，对终止能级诸简并态求和。例如，对中心力场， 简并度为 ，nl ),.1()12

5、( lll 的跃迁几率为 。nlEl mnllW,例题：教材 P378 例 1， 初态 求 txeqH0)0?:0t解：。 ttimttimkm dexiqdita0)1(0)1( 0hh)(2ax)Q8612020)(20 maamx h)hh) 即谐振子只能跃迁到 m=1 态 选择定则。由此可得，)(10()0Eh，ieiqtati12)( )(01。)(lim2022)1(10 hqWt作业：11.1，2，3，4。11.2 三种微扰 能级-时间测不准关系 （本节有关计算可只讲思路和要点）一、常微扰 费米黄金规则与时间无关。0)(tHt H)，mktittimkm kedeitak hh)

6、1(1)(:022222 )(sin)cos1( )() mkkmkmk titikk tHtHetWkkhh当 t 足够长时，t， 有 。(1),inl2 xaxtt 。)(2mkkmkHWh跃迁速率 。 )(2)( 0()20()2 kmkkkkmkkmk EHEdtw h87可见有两个特点：与时间无关； 跃迁遵守能量守恒 对 近似等于 的末态才能实现。)0(mE)0(k费米黄金规则：上式中出现 -函数，表明 连续变化才有意义。)0(m设末态的态密度为 ，即 + 内的末态数为)(0mE)()(dE)0()(m则，初态 附近一系列可能末态的跃迁速率为)0(mk)0()(2(mkkdEHwh即

7、 黄金规则。)(0mk我们将在第十二章应用它导出波恩近似公式(12.3)。二、周期性微扰与 t 无关。00)(cos)( teFtAtHtiti) A)。2)()(2 11mktimktikmk kkeWh分析 的行为：k 当 时，上式第一项可以忽略，仅保留第二项， 此时 )(10()kmE。h)()(若外来微扰为光波 吸收 ，由低 高 。)0(kE)0(m 当 时，第二项可以忽略，保留第一项， 此时)(10()kmkEh。h)()(高能级 低能级 ，辐射光子 。)0(k)0(m 共振跃迁 ：m88。222)(2 )(sin1mkkmktikmk tFeFWkhh当 t 时，利用 -函数，有

8、)(2)(2)( )0()2 hhh kmkmkkmkkkmk EFFdtwt 遵从能量守恒。对于 t 时， 的贡献均不明显 与 比较。kk我们只讨论共振跃迁： mk三、非周期微扰（自学）四、能量-时间测不准关系首先通过例子说明。例 1： tAHcos)由前讨论已知 右图曲线。mkW可见：除 处，其它各处能量守0恒均不成立，但 （有跃迁）。mk尤其是主峰范围内跃迁明显： 的不确定范围： mkmktt22微扰作用时间。tmk,14注意， 是确定的 不确定： ，)0(kE)0(E)0()0()(11mkmk EEhh记 。,)( tm如何理解这一结果？将微扰过程视为测量末态能量 的过程，测量时间

9、与能量不确定范围 )0(mEt之积为 ， 。Eht tt,;,量子力学允许能量有偏差 能量-时间测不准关系。例 2：设原子处于激发态，寿命 。激发态要衰变，不是稳定态能量不确定度 称能量宽度。E由于寿命限制，辐射光子波列长度 。cx89由 和 。cxphhpcEp即 测量粒子寿命的一种方法。,;,*例 3： 介子质量的估计。电磁作用通过光子传递 “虚光子”（不可观测），由长程力要求 。中子和中子如何相互作用？0m1935 年汤川秀树提出一个大胆设想：核力是通过一个未知粒子 传递的，并计算出 （所用数学复杂）。e2我们用 来估计：存在 体系能量增加。htEm若 ，则是不可观测的虚过程（不破坏能量

10、守恒）。t这要求 介子存在的时间 。2/cEth即使 以光速传播，力程 （由此可见 ）。mcr 0mr已知力程 segr 271013 105.,02。eeggm.975. 28 Q普遍情况的描述：设 为不含时间的力学量，由测不准关系 ，F) ,21HFE)而 ， 或 。dtFEiHdt 2/,h) hdt令 其含义为改变 所需要的时间间隔 表征 变化快慢dtFtF/ F的周期。则 。2/hE每个力学量都有 取最小的一个记 ，则有Ft t 能量-时间测不准关系。2/htE注意：t 只是参量，不是力学量，对此式的解释不同于 。如前各2/hpx例均有不同解释 可参见有关文献。90作业： 习题 11

11、.2、2，3。11.3 光的吸收与辐射 选择定则（半经典处理）三种跃迁：吸收、受激辐射、自发辐射：光谱分析：谱线频率 能级差；谱线（相对）强度 跃迁几率。研究方法：1、严格讨论 QED。2、半经典方法 量子力学方法。把光子产生和湮灭问题转化成能级跃迁问题： 把原子作为量子体系； 辐射场按经典电磁场描述 作“微扰”引人。这种方法只适用于光的吸收和辐射。3、爱因斯坦自发辐射理论 基于热力学和统计物理学中平衡概念（半唯象理论）。一、光吸收与受激辐射 电偶极跃迁的选择定则设入射光是平面单色光： )cos(0rktrnB,1我们采用电偶极近似计算。1、电偶极近似： 只考虑电场作用， v c 下，电场主导

12、。原子内部电场均匀， trkcos10r2、跃迁几率： 为电偶极矩。eDreH) ,。)(21cos0 tititDr)与前面讨论的周期微扰比较： ，)(20 mkkmkFwFhr)91其中 。20241rmkkDF一般 为复矢量： 为实数。r mkmkkmDei,r。22kDr如果入射是单色非偏振光，由于偏振方向完全无规，即 与 的夹角完全无0re,规对方向平均：，31cos41cos22d。)(6120202 mkkmkmkmk DwDFhrr推广到非单色光（自然光），须考虑各种频率成分的贡献。设 为频率 的电磁场的能量密度，由电动力学知)( ddtBT )(2)(21)(1)(21 00

13、0200 ，)(342mkksmkrewh受激辐射，0)(1()0kkkE吸收。)()()( mm讨论：由 受激辐射与吸收的跃迁速率相等。2kr 若入射光中没有这种频率成分，则 。)(mkw 0mkw问题：若 ， 是否一定不为零呢？0kmkw3、电偶极跃迁的选择定则：，涉及到初、末态的性质。2mkkrw设原子初态 ，宇称 ，nllP)1(末态 ，宇称 。l92 宇称选择定则：为奇宇称算符只有 时， 才可能不为零宇称改变。rPmkr（被积函数为偶不为零） 角动量选择定则：利用教材 P392 所列数学关系可证明。1,0,1l 主量子数 n 没有选择定则：取任何 都不会导致 =0。,mkr注意：以上

14、选择定则是对电偶极近似而言的。二、自发辐射的爱因斯坦理论量子力学：无外界作用，原子的 是守恒量不会跃迁，无法解释自发辐射。H)爱因斯坦半唯象理论：借助物体与辐射场达到平衡时的热力学关系，指出自发辐射必然存在，并引人三个系数建立了相应的关系式。1、自发辐射的引人，三个系数的定义： 高能级， 低能级)0(mE)0(kE如前，吸收 ， 吸收系数，mkmkBw受激辐射 ， 受激辐射系数，)(mkB已知 。mkk设平衡下，体系温度 T ， 个粒子， 个粒子。NE)0( mNE)0(按玻尔兹馒分布：，kTkTEmk meeN/)(0() h对 。)()()0()( kmkkkkm BNBE即，只有受激辐射时，无法与吸收过程