《2017-2018年高中数学 考点15 正弦定理和余弦定理（含2016年高考试题）新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 考点15 正弦定理和余弦定理（含2016年高考试题）新人教a版（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1考点 15 正弦定理和余弦定理1、 选 择 题1.(2016全 国 卷 高 考 文 科 T4) ABC 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c.已 知 a=5,c=2,cosA=3,则 b= ( )A. B. C.2 D.3【 解 析 】 选 D.由 余 弦 定 理 a2=b2+c2-2bccosA,得 25=b2+22-2b2cosA,即 3b2-8b-3=0,解 得 b=-13 (舍 )或 b=3.2.(2016全 国 卷 理 科 T8)在 ABC 中 ,B= 4,BC 边 上 的 高 等 于 13BC,则 cosA= ( )A. B. C.- 10 D.- 【 解
2、题 指 南 】 根 据 正 弦 定 理 求 解 .【 解 析 】 选 C.设 ABC 中 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,则 由 题 意 得 S ABC=12a3a= acsin B. c= 23a.由 余 弦 定 理 得 b2=a2+c2-2accos B=a2+9a2-2a a 2=59a2. b= 3a. cosA=251093.3.(2016全 国 卷 文 科 T9)在 ABC 中 ,B= 4,BC 边 上 的 高 等 于 13BC,则 sinA= ( )A. B. C. 5D. 10【 解 题 指 南 】 根 据 正 弦 定 理 求 解 .【 解 析 】 选
3、D.设 BC 边 上 的 高 为 AD,且 AD=m,因 为 B= 4,则 BD=m,AB= 2m,又 因 为 AD=13BC,所 以 DC=2m,AC= 5m,由 正 弦 定 理 Csini 得 sin BAC= sin310.4.(2016山 东 高 考 文 科 T8) ABC 中 ,角 A,B,C 的 对 边 分 别 是 a,b,c,已 知b=c,a2=2b2(1-sinA),则 A= ( )A. B. 3C. 4D. 6【 解 题 指 南 】 变 形 后 ,利 用 余 弦 定 理 巧 妙 求 解 .【 解 析 】 选 C.由 题 意 1-sinA=2ab,2所 以 sinA=1-2ab
4、=2ca=cosA,所 以 A= 4.5.(2016天 津 高 考 理 科 T3)在 ABC 中 ,若 AB= 13,BC=3, C=120,则 AC= ( )A.1 B.2 C.3 D.4【 解 题 指 南 】 利 用 余 弦 定 理 得 出 C 与 三 边 的 关 系 ,然 后 求 解 .【 解 析 】 选 A.设 AC=x,由 余 弦 定 理 得 :cosC=29132,得 x2+3x-4=0.解 得 x=1 或 -4(舍 ),所 以 AC=1.2、 填 空 题6.(2016全国卷文科T15)同(2016全国卷理科T13) ABC 的 内 角 A,B,C 的 对边 分 别 为 a,b,c
5、,若 cosA= 45,cosC=13,a=1,则 b= .【 解 题 指 南 】 已 知 cosA,cosC,可 求 sinB,又 a=1,可 利 用 正 弦 定 理 求 解 .【 解 析 】 因 为 cosA= ,cosC= ,所 以 sinA=35,sinC=12,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=635,由 正 弦 定 理 得 baii,解 得 b=aiB21=3.答 案 :2137.(2016全 国 卷 高 考 理 科 T17) ABC 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,已 知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求
6、C.(2)若 c= 3, ABC 的 面 积 为 32,求 ABC 的 周 长 .【 解 析 】 (1)2cosC(acosB+bcosA)=c,由 正 弦 定 理 得 :2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,2cosCsin(A+B)=sinC.因 为 A+B+C= ,A,B,C (0, ),所 以 sin(A+B)=sinC0,所 以 2cosC=1,cosC=2.因 为 C (0, ),所 以 C= 3.(2)由 余 弦 定 理 得 :c2=a2+b2-2abcosC,37=a2+b2-2ab1,(a+b)2-3ab=7,S= absinC= 4ab=32,所 以
7、ab=6,所 以 (a+b)2-18=7,a+b=5,所 以 ABC 的 周 长 为 a+b+c=5+ 7.8.(2016浙 江 高 考 文 科 T16)在 ABC 中 ,内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c.已 知b+c=2acosB.(1)证 明 :A=2B.(2)若 cosB=3,求 cosC 的 值 .【 解 题 指 南 】 (1)由 正 弦 定 理 及 两 角 和 的 正 弦 公 式 可 得 sin =sin( - ),再 判 断 - 的 取 值 范 围 ,进 而 可 证 =2 ;(2)由 cosB 的 值 可 以 求 出 A 的 三 角 函 数 值 ,又 由C
8、= -(A+B)的 关 系 求 cosC 的 值 .【 解 析 】 (1)由 正 弦 定 理 得 sinB+sinC=2sinAcosB,故 2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于 是 ,sinB=sin(A-B),又 A,B (0, ),故 00,则 sinA=241,即 cosAin= ,由 (1)可 知 cosBcosCab=1,所 以 coBita4,所 以 tanB=4.11.(2016天 津 高 考 文 科 T15)(本 小 题 满 分 13 分 )在 ABC 中 ,内 角 A,B,C 所 对 应 的 边 分 别 为 a,b
9、,c,已 知 asin2B= 3bsinA.(1)求 B.(2)若 cosA=3,求 sinC 的 值 .【 解 题 指 南 】 (1)利 用 正 弦 定 理 实 现 边 化 角 ,化 简 得 到 cosB,结 合 B 的 范 围 得 出 B.(2)利 用 三 角 形 内 角 和 为 ,将 所 求 角 化 为 两 已 知 角 的 和 ,再 根 据 两 角 和 的 正 弦 公 式 求解 .【 解 析 】 (1)在 ABC 中 ,由 absiniB可 得 asinB=bsinA,又 由 asin2B= 3bsinA 得2asinBcosB= 3bsinA,整 理 得 cosB= 32,因 为 B 为 ABC 的 内 角 ,所 以 B= 6.5(2)在 ABC 中 ,sinC=sin -(A+B)=sin(A+B),由 cosA=13得 sinA=2,所 以sinC=sin 6= 32sinA+1cosA=261.
