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1、高一上半期关于数学学习的总结（II）必修二“圆与方程”一章的重要题型作者：高 448 班 彭斐然注意：本篇总结选取本章中比较重要的题型进行分析讨论和总结。 问题皆出自平常做 过的习题、例题。本章重要的计算公式：直线方程的各种表达方式：名称 方程 使用要求点斜式 00()ykx直线有斜率斜截式 b直线有斜率两点式 1122yx直线的斜率存在且不为零截距式 ab直线在坐标轴上都有截距一般式 0AxByC适用于任何直线斜率的计算公式 21ykx两点间的距离公式 2211d点到直线的距离公式 02AxByC两平行线间的距离公式 12d圆的方程的表达方式：标准方程 22xaybr一般方程 0DEF两条直
2、线的位置关系应满足的条件关系 条件平行 1210ABC重合 1210垂直 121AB-问题：求出满足下列条件的直线方程：（1）经过点 ，且与直线 平行。3,2A420xy（2）经过点 ，且与直线 垂直。0B5解析：（1）与直线 平行的直线可设为 ，再将4xy40xya点 带入即可得出所求。3,A（2）与直线 垂直的直线可设为 ，再将点50xy2xyb带入即可得出所求。,0B答案：（1） ；（2） 。41xy3xy建模：已知直线 10ABC与之平行的直线为 20xy与之垂直的直线为 3A总结：做题贵在思考和总结，将学过的知识作出总结，那么到下次做到同样的题时便可事半功倍了。-问题：按要求解题：（
3、1）求直线 关于点 的对称直线 的方程。1:8740lxy1,0M2l（2）求直线 关于直线 的对称的直:2axy:34lxy线的方程。（3）若两平行直线 与 关于直线 对称，3410xy680xyl求 的方程。l解析：（1）设 为直线 上的任意一点，则点 关于点 对,Pxy2l P1,0M称的点 在直线 上，所以 ，即218()74xy。故直 线 的方程为870xy2l 20（2）设直线 上任意一点 关于直线 的对b,Pxy:310lxy称点为 ，则 ，解得0,Qxy0003412yx 0724658xyy因为点 在直线 上，所以有0,:4a724678525xyy化简，得 ，即为直线 的方
4、程。1b（3）所求直线与两直线平行且距离相等，设 ，则:680lxyc，所以 ，即 。2268c12c1:6802lxy答案：（1） ；（2） ；（3） 。70xy 16802xy建模：（一）直线关于点的对称直线设点 ，直线 ， ，直线 关于点,Pmn:0lAxByCPll的对称直线为 1l求法：由几何性质知直线 与 平行，故可设直线的方程1l为 ，则点 到直线 的距离等于点 到 的距离，由10AxByCPPl点到直线的距离公式即可求得 ，从而得到直线的方程。1C（二）直线关于直线的对称直线设直线 ，直线 ，直线 关于11:+0lAxBy:0lAxByC1l直线 的对称直线为 。l2l（1）若
5、 ，则 ，故可设直线 的方程为11lP且 2lP2l。20AxByC因为直线 到直线 ， 的距离相等，所以 ，l1l2 12C化简，得 。21（2）若 ，则 ，且直线 上的点到直线 ， 的距lPI2ll1l2离相等。设出直线的方程，在直线上任取一点（异于点 ），利P用点到直线的距离公式，求的直线 的方程。2l总结：对于此类型的题目应该建立好模型，以便于节省做题时间。-问题：如图，已知定点 ，点 是圆 上的动点，2,0AQ24xy的平分线交 于 ，当点 在圆上移动时，求动点 的AOQMM轨迹方程。（图）解析：设点 ， ，则可知 ，即,Qxy,Mab2xayb2xayb又 在圆 上24ab化简得，
6、 21点的运动轨迹方程为M220ay答案： 220ay建模：代入法解决有关轨迹方程问题总结：如果动点的轨迹方程依赖另一动点的轨迹，而又在已知曲线上，则可先列出关于的方程组，利用表示出，把代入已知曲线方程便可得动点的轨迹方程，但需要注意，有些不符合的点在最后结论中应表示舍去。-问题：如图，已知过点 的直线 被圆 所3,Ml2410xy截得得弦长为 ，求直线的方程。45（图）解析：将圆的方程写成标准式： 225xy由此可知，圆的圆心坐标是 ，半径长是0,5r由题设条件可求出圆心到所截弦的距离，即弦心距为。圆心到直线 的距离为 。2245l5若直线无斜率，则直线的方程为 ，由题设条件可3x求出此时直
7、线被圆所截得的弦长为 ，故直线有斜率。845设直线的斜率为 ，则直线的方程为 。kykx根据点到直线的距离公式可得： 解得231d或12k故直线的方程为 或132yx32yx化为一般式，得 或 。90x0答案：直线方程为 或 。2yy建模：熟练运用点到直线的距离公式，解决此类题目。总结：关于直线与圆的位置关系，不外乎有三种，直线与圆相离、相切、相交。而其中相交一类的题目最多，常弦长等来出题，解决这类问题的时候可以考虑圆心到直线的距离，利用公式，来列出关系式，得出所求。解题中还需注意的是，若直线的方程未知，则需对直线的斜率进行讨论，不可贸然设出斜率，这样容易丢失答案。-问题：已知圆 ，圆 ，21
8、:80Cxy2:420Cxy试判断圆 与圆 的位置关系。2解析：把圆 的方程化为标准方程，得: ，可知圆1 2215xy的圆心是点 ，半径长 。1C,415r把圆 的方程化为标准方程，得: ，可知2 2210xy圆 的圆心是点，半径长 。2 20r圆 与圆 的连心线长为1C2221435又由题设条件知 ， 。125r210r12125030rQ圆 与圆 相交。C答案:圆 与圆 相交。12建模：半径和、半径差与圆心距比较大小判断两圆的位置关系。总结：解决此类问题还可以建立方程求解，但计算量相对而言较大，致使解题过慢。应建立以上模型，加快解题速度。-问题：求经过点 ，以及圆 与圆 交点的2,M26
9、0xy24xy圆的方程。解析：设所求圆的方程为 22640xyxy即 2140将 代入上式得 ，,M12解得 412故所求圆的方程为 2640xy即 230xy答案：圆的方程为 2x建模：若圆 与圆2111: 0CxyDEyF相交于 、 两点，则过这两点的圆系方222: AB程为 。当两圆2112201xyyxyxEyF相切时，方程表示过切点且与两圆都相切的圆系方程，若 ，则表示公共弦所在直线的方程。总结：建立圆系方程的模型，对解题大有益处，免去了列三个方程解题的麻烦。-问题：某圆拱桥的水面跨度是 20m,拱高 4m,现有一船，宽 10m,水面以上高 3m,这条船能否从桥下通过？解析:可画出简图如下：由题意，设 ， ， ， ， 。10,A,B0,4P5,0D,E设所求方程为 ，于是22xaybr有 ；解得222104abr01.54r所以圆拱桥的圆的方程为 220.4.0xyy把 D 点的横坐标 代入上式，得 。531由于船在水面上高 3m，而 ，3.所以船可以从桥下通过。答案：可以通过。建模：利用圆的方程解决此类问题总结：这类型的题在考试中较为常见，比较简单，掌握方法即可。-（完）
