概率论答案 - 李贤平版 - 第四章

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1、 概率论计算与证明题 113第四章 数字特征与特征函数1、设 是事件 A 在 n 次独立试验中的出现次数，在每次试验中 ，再设随机变量 视 取偶 pAP)(数或奇数而取数值 0 及 1，试求 及 。ED2、袋中有 k 号的球 k 只， ，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。n,2L3、随机变量 取非负整数值 的概率为 ，已知 ，试决定 A 与 B。!/nABpnaE4、袋中有 n 张卡片，记号码 1,2,n,从中有放回地抽出 k 张卡片来，求所得号码之和 的数学期望及方差。5、试证：若取非负整数值的随机变量 的数学期望存在，则 。1kP6、若随机变量 服从拉普拉斯分布，其密度函数为 。试求 ,

2、2)(| xexpx0， 。ED7、若 相互独立，均服从 ，试证 。21,),(2aNaE),max(218、甲袋中有 只白球 只黑球，乙袋中装有 只白球 只黑球，现从甲袋中摸出 只球放ab()cab入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。9、现有 n 个袋子，各装有 只白球 只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第 n 个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这 n 次摸球中所摸得的白球总数为 ，nS求 。nS10、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测

3、量记录的平均值作为该体质重量，试说明这样做的道理。11、若 的密度函数是偶函数，且 ，试证 与 不相关，但它们不相互独立。2E12、若 的密度函数为 ，试证： 与 不相关，但它们不独立。,21,1(,)0xypxy13、若 与 都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。14、若 ，试证 的相关系数等于 的相关系数。,UaXbVcYd,UV,XY 概率论计算与证明题 11415、若 是三个随机变量，试讨论（1） 两两不相关；23,123,（2） ；（3） 之间的关系。312()DD1123EE16、若 服从二元正态分布， 。证明： 与 的相关系数,EabD，其中 。cosrq()0

4、P17、设 服从二元正态分布， ，试证：(,),1,r。(1)max,rE18、设 与 独立，具有相同分布 ，试求 与 的相关系数。2(,)Napquv19、若 服从 ，试求 。2(,)Na|kE20、若 及 分别记二进制信道的输入及输出，已知 1,01,Ppp， ，试1Pq 01,PqrPr求输出中含有输入的信息量。21、在 12 只金属球中混有一只假球，并且不知道它比真球轻还是重，用没有砝码的天平来称这些球，试问至少需要称多少次才能查出这个假球，并确定它比真球轻或重。22、试用母函数法求巴斯卡分布的数学期望及方差。23、在贝努里试验中，若试验次数 是随机变量，试证成功的次数与失败的次数这两

5、个变量独立的充v要条件，是 服从普阿松分布。v24、设 是一串独立的整值随机变量序列，具有相同概率分布，考虑和 ，其中k 12vL是随机变量，它与 相互独立，试用（1）母函数法， （2）直接计算证明k。2, ()kkkEvDEv25、若分布函数 成立，则称它是对称的。试证分布函数对称的充要条件，是它()(0)Fxx的特征函数是实的偶函数。26、试求 均匀分布的特征函数。0,127、一般柯西分布的密度函数为 。证它的特征函数为221(),0()pxx，利用这个结果证明柯西分布的再生性。exp|it 概率论计算与证明题 11528、若随机变量 服从柯西分布， ，而 ，试证关于特征函数成立着0,1，

6、但是 与 并不独立。()()ftft29、试求指数分布与 分布的特征函数，并证明对于具有相同 值的 分布，关于参数 有再生r性。30、求证：对于任何实值特征函数 ，以下两个不等式成立：()ft。2124(),1()()ftftft31、求证：如果 是相应于分布函数 的特征函数，则对于任何 值恒成立：()ftFxx。lim()(0)()2TitTfedxF32、随机变量的特征函数为 ，且它的 阶矩存在，令 ，称()ftn01log(),kktdXfknit为随机变量的 k 阶半不变量，试证 （ 是常数）的 阶半不变量等于 。kXbkX33、试求出半不变量与原点矩之间的关系式。34、设 相互独立，

7、具有相同分布 试求 的分布，并写出它的数学期望及12,nL2(,)Na1nM协方差阵，再求 的分布密度。1ni35、若 服从二元正态分布 ，其中 ，试找出矩阵 ，使 ，且要求 服从(0,)N421A非退化的正态分布，并求 的密度函数。36、证明：在正交变换下，多元正态分布的独立、同方差性不变。37、若 为 (,)中 121212 1212!(,) ()()knkinpkppk 0ip， （1）求随机变量 的边际分布；（2）求 。 0kni n12,i E(|38、若 的取值是非负数，且 ,又 ，求,rv()!nABp8E?,AB39、设 且二者独立，求 , 的相关系数(2,1)(,4)NU2V

8、uv40、某汽车站在时间 t 内发车的概率为 P(t)=1- ，求某人等候发车的平均匀时间。et8 概率论计算与证明题 11641、某厂生产的园盘的直径服从 内的均匀分布，求园盘面积的数学期望。(,)ab42、搜索沉船， 在时间 t 内发现沉船的概率为 ， 求为了发现沉船所需要的平Ptet()()10均搜索时间。43、从数字 中按有放回方式取数，设随机变量 表示第一次选取的数字，随机变量 表示第二1,234次选取的不小于 的数字. (1)写出 的联合分布列; (2)求 .(,)E44、如果 互不相关,且方差分别为 ,求 的相关系数 .136,uvuv45、将三个球随机地放入三个盒子中去，设随机

9、变量 分别表示放入第一个、第二个盒子中的球的,个数。1)求二维随机变量 的联合分布列; 2)求(,)E46、设 相互独立，且 ，求 的相关, RV2, 1, , 4ED-2 ,- UV系数 。uvp47、民航机场一送客汽车载有 20 个旅客从机场开出，旅客可从 10 个站下车，如果到站没人下车就不停车，假定乘客在每个车站下车是等可能的，求平均停车次数。48、据统计，一个 40 岁的健康者在 5 年内死亡的概率为 ，保险公司开办五年人寿保险，条件是1-p参加者需要交保险费 元，若五年内死亡，公司赔偿 元 ，问 应如何确定才能使公司可ab()ab望受益？若有 个人参加保险，公司可望收益多少?m49

10、、对敌人防御地段进行 100 次轰炸，每次命中目标的炸弹数是一个随机变量，其期望值是 2，方差是 1.69，求 100 次轰炸中有 180220 颗命中目标的概率。50、若有 把看上去样子相同的钥匙，其中只有 1 把打开门上的锁。用它们去试开门上的锁，设取得n每把钥匙是等可能的。若每把钥匙试开后除去，求试开次数 的期望。X51、对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间 上。求球的体积的期望。,ab52、设 服从几何分布，它的概率分布列为： ，其中 ，求X 1,2iPqpnL1qp， 。()ED53、设离散随机变量 的分布列为 ，求 的期望。1,2,XiiLsin2YX54、有 3 只球，4 只

11、盒子，盒子的编号为 。将球随机地放入 4 只盒子中去。记 为其中至少,34有 1 只球的盒子的最小号码。求 。()E55、随机地掷 6 个骰子，利用切比雪夫不等式估计 6 个骰子出现点数之和在 15 点到 27 点之间的概率。 概率论计算与证明题 11756、已知正常成人血液中，每亳升白细胞数平均是 7300，标准差是 700。利用切比雪夫不等式估计每亳升男性成人血液中含白细胞数在 5200 至 9400 之间的概率 。p57、一部件包括 10 部分，每部分的长度是一个随机变量，相互独立且服从同一分布、其期望是2 ，标准差是 0.05 。规定总长度为 时产品合格，求产品合格的概率。mm(20.

12、1)m58、根据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100 小时的指数分布，现随机取 16 只，设它们的寿命是相互独立的，求这 16 只元件的寿命的总和大于 1920 小时的概率。59、证明 Cuchy-Swchz 不等式，若 存在 ,则E2E2260、设 r0，则当 E 存在时， ,有 。|r0Pr(|)|61、若 则 。-1() ,2 1kPpqpqL1Ep62、设 与 都只取两个数值，且 与 不相关，则 与 独立。63、叙述并证明契比雪夫大数定律。64、若 是取非负整数的随机变量， 均存在，则 。,EDEPii1()65、设 的联合密度函数是 ，求证: , fxyRexRy(,)(

13、)1222ERmax(,)166、证明：对取值于区间 中的随机变量 恒成立， 。,ab2,()baaED67、设随机变量 的方差 存在， 为任一实数，证明：Dc2c68、设随机变量 的密度函数为： ， 其中 为正整数， 证明：0()!nxepnn()02169、若 相互独立且同分布， ，试证： 对任意的12,nRVL, , 2,3iiEDnL有(,) k1(1)02kikP 概率论计算与证明题 11870、如果随机变量序列 ，当 时有 ，证明： 服从大数定律.n21()0nkDn71、设 的密度函数是 ，证明 与 不相关，且不独立。(,)21(.)0xyPxy72、设连续型 的密度函数为 (其

14、中 为正整数)，试利用契贝晓夫不,RV(0)()!mxeXm等式证明 .(02(1)P73、设 是独立随机变量序列， 的分布列为12,nXLiX证明： 1lim0ninipX74、若 的密度函数是偶函数，且 ，试证 与 不相关，但它们不相互独立。2E75、若 的密度函数为 ，试证： 与 不相关，但它们不独立。,2,1(,)0xypxy76、若 与 都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。77、若 ，试证 的相关系数等于 的相关系数。,UaXbVcYd,UV,XY78、Pareto 分布的为密度函数为 ，这里 ，试指出这分布具有 阶矩，1,()0rAxpx0,rAp当且仅当 。pr79、若 的密度函数为 ，试证对于任何 ， 。21,|2|(log|)()0,xex中 0a|aE