《2017-2018年高中数学 第一讲 坐标系 三 简单曲线的极坐标方程 1 圆的极坐标方程学案（含解析）新人教a版选修4-4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第一讲 坐标系 三 简单曲线的极坐标方程 1 圆的极坐标方程学案（含解析）新人教a版选修4-4（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11圆的极坐标方程1曲线的极坐标方程(1)在极坐标系中，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f( ， )0，并且坐标适合方程 f( ， )0 的点都在曲线 C 上，那么方程 f( ， )0 叫做曲线 C 的极坐标方程(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤：建立适当的极坐标系，设 P( ， )是曲线上任意一点列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式将列出的关系式整理、化简证明所得方程就是曲线的极坐标方程2圆的极坐标方程(1)圆心在 C(a,0)(a0)，半径为 a 的圆的极坐标方程为 2 acos .(2)圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程为 r.(3)圆心在点 处且过
2、极点的圆的方程为 2 asin_ (0 )(a， 2)圆的极坐标方程求圆心在( 0， 0)，半径为 r 的圆的方程结合圆的定义求其极坐标方程如图，在圆周上任取一点 P，设其极坐标为( ， )由余弦定理知：CP2 OP2 OC22 OPOCcos COP，故其极坐标方程为 r2 22 0cos( 0)20几种特殊情形下的圆的极坐标方程当圆心在极轴上即 00 时，方程为 r2 22 0cos ，若再有 0 r，20则其方程为 2 0cos 2 rcos ，若 0 r， 00，则方程为2 2 rcos( 0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置1在极坐标系中，以 为圆心， 为半径的圆的方程是_(
3、a2， 2) a2解析：即在直角坐标系中以 为圆心， 为半径的圆，(0，a2) a2方程为 x2 2 .(ya2) a24即： x2 y2 ay0，化为极坐标方程为： asin .答案： asin 2求圆心在 A 处并且过极点的圆的极坐标方程(2，32)解：设 M( ， )为圆上除 O， B 外的任意一点，连接 OM， MB，则有OB4， OM ， MOB . BMO ，32 2从而 BOM 为直角三角形| OM| OB|cos MOB，即 4cos 4sin .( 32 )极坐标方程与直角坐标方程的互化进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：(1)y24 x；(2) x2 y22 x10；(3)
4、 .12 cos 将方程的互化转化为点的互化：Error!Error!(1)将 x cos ， y sin 代入 y24 x，得( sin )24 cos .化简，得 sin2 4cos .(2)将 x cos ， y sin 代入 x2 y22 x10，得( cos )2( sin )22 cos 10，3化简，得 22 cos 10.(3) ，12 cos 2 cos 1.2 x1.x2 y2化简，得 3x24 y22 x10.在进行两种坐标方程间的互化时，要注意(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同(2
5、)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在 0 2 范围内求值(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用 去乘方程的两端应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形；否则，不是等价变形3把下列直角坐标方程化为极坐标方程(1)y x；3(2)x2 y21.解：(1)将 x cos ， y sin 代入 y x，得3 sin cos ，从而 .3 3(2)将 x cos ， y sin 代入 x2 y21，得 2cos2 2sin2 1，化简，得 2 .1cos 24把下列极坐标方程化为直角坐标方程(1) 2co
6、s 2 1；(2) 2cos .( 4)解：(1)因为 2cos 2 1，所以 2cos2 2sin2 1.所以化为直角坐标方程为 x2 y21.(2)因为 2cos cos 2sin sin cos sin ， 4 4 2 2所以 2 cos sin .2 24所以化为直角坐标方程为 x2 y2 x y0.2 2课时跟踪检测(三)一、选择题1极坐标方程 1 表示()A直线 B射线 C圆 D半圆解析：选 C 1， 21， x2 y21.表示圆2极坐标方程 sin 2cos 表示的曲线为()A直线 B圆 C椭圆 D双曲线解析：选 B由 sin 2cos ，得 2 sin 2 cos ， x2 y
7、2 y2 x，即 x2 y22 x y0，表示圆3在极坐标系中，方程 6cos 表示的曲线是()A以点(3,0)为圆心，3 为半径的圆B以点(3，)为圆心，3 为半径的圆C以点(3,0)为圆心，3 为半径的圆D以点 为圆心，3 为半径的圆(3， 2)解析：选 C由 6cos 得 26 cos ，即 x2 y26 x0，表示以(3,0)为圆心，半径为 3 的圆4以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1 为半径的圆的方程是()A 2cos B 2sin( 4) ( 4)C 2cos( 1) D 2sin( 1)解析：选 C在极坐标系中，圆心在( 0， 0)，半径为 r 的圆的方程为：r2 22 0co
8、s( 0)，所以可得 2cos( 1)20二、填空题5把圆的普通方程 x2( y2) 24 化为极坐标方程为_解析：将 x cos ， y sin 代入，得 2cos2 2sin2 4 sin 0，即 4sin .答案： 4sin 6已知圆的极坐标方程为 2cos 2 sin ， ，则圆心的极坐标3 0， 2 )是_解析：设圆心为( a， )(a0)，半径为 a 的圆的极坐标方程为 2 acos( )因为 2cos 2 sin 4cos3 ( 3)54cos 4cos ，( 3 2 ) ( 53)所以此圆的圆心的极坐标为 .(2，53)答案： (2，53)7已知圆的极坐标方程为 4cos ，圆
9、心为 C，点 P 的极坐标为 ，则(4， 3)|CP|_.解析：由 4cos 得 24 cos ，即 x2 y24 x，即( x2) 2 y24，圆心 C(2,0)，又由点 P 的极坐标为 可得点 P 的直角坐标为(2,2 )，(4， 3) 3| CP| 2 . 2 2 2 23 0 2 3答案：2 3三、解答题8求极坐标方程 所对应的直角坐标方程2 2cos sin2解： 可化为 ，2 2cos sin2 2 1 cos 1 cos2即 .21 cos 化简，得 2 cos .将互化公式代入，得 x2 y2(2 x)2.整理可得 y24( x1)9从极点 O 引定圆 2cos 的弦 OP，延
10、长 OP 到 Q 使 ，求点 Q 的轨迹方程，OPPQ 23并说明所求轨迹是什么图形解：设 Q( ， )， P( 0， 0)，则 0， ， 0 0 23 0 .25 02cos 0， 2cos ，即 5cos ，256它表示一个圆10 O1和 O2的极坐标方程分别为 4cos ， 4sin .(1)把 O1和 O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过 O1， O2交点的直线的直角坐标方程解：(1)因为 x cos ， y sin ，由 4cos 得 24 cos .所以 x2 y24 x.即 x2 y24 x0 为 O1的直角坐标方程同理 x2 y24 y0 为 O2的直角坐标方程(2)由Error! 解得Error! Error!即 O1， O2交于点(0,0)和(2，2)则过交点的直线的直角坐标方程为 y x.
