《2017-2018年高中数学 考点39 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系（含2013年高考试题）新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 考点39 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系（含2013年高考试题）新人教a版（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1考点 39 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1. （2013重庆高考文科4）设 P是圆 22(3)(1)4xy上的动点， Q是直线3x上的动点，则 PQ的最小值为 ( )A. 6 B.4 C. 3 D. 2【解题指南】 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.【解析】 选 B. P的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.圆心 )1,3(到直线3x的距离为 6,半径为 2,所以 Q的最小值为 426.2.(2013天津高考文科T5)已知过点 P(2,2)的直线与圆( x-1)2+y2=5 相切,且与直线 ax-y+1=0 垂直,则 a=()A. 12 B. 1 C. 2 D. 1
2、【解题指南】根据圆的切线的性质确定切线的斜率,再由两直线垂直求 a 的值.【解析】选 C.因为点 P(2,2)为圆( x-1)2+y2=5 上的点,由圆的切线性质可知,圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点 P(2,2)的切线垂直.因为圆心(1,0)与点 P(2,2)的连线的斜率 k=2,故过点 P(2,2)的切线斜率为- 12,所以直线 ax-y+1=0 的斜率为 2,因此 a=2.3.（2013安徽高考文科6）直线 x+2y-5+ 5=0 被圆 x2+y2-2x-4y=0 截得的弦长为（ ）A.1 B.2 C.4 D.46 【解题指南】 由圆的半径、圆心距、半弦长组成直角三角形，利用勾
3、股定理即可求得半弦长。【解析】选 C.由 22(1)()5xy-+-=得圆心（1,2） ，半径 5r=，圆心到直线 x+2y-5+5=0 的距离 |4|1d=，在半径、圆心距、半弦长组成的直角三角形中，弦长 2lr-。4. （2013重庆高考理科7）已知圆 1C： 22()(3)1xy，圆 2C：222(3)(4)9xy， M、 N分别是圆 1C、 2上的动点， P为 x轴上的动点，则 PN的最小值为 ( )A. 25 B. 17 C.6 D. 17 【解题指南】根据圆的定义可知 421PCNP,然后利用对称性求解.【解析】选 A.由题意知,圆 1C： 22()(3)xy，圆 ： 22(3)(
4、4)9xy的圆心分别为 4,3)2(1,且 21M,点 ,1关于 x轴的对称点为 ,所以 5221 CPP,即 45CNPM.5.（2013广东高考文科7）垂直于直线 1yx且与圆 21y相切于第一象限的直线方程是（ ）A 20xy B 0C 1 D 2xy【解析】选 A. 由题意知直线方程可设为 c（ 0） ，则圆心到直线的距离等于半径 1，即 2|0|1c， 2，所求方程为 2xy.6. （2013陕西高考文科8）已知点 M(a,b)在圆 21:O外, 则直线 ax + by = 1 与圆 O 的位置关系是 ( )A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定【解题指南】 利用点与圆的位
5、置关系，直线与圆的位置关系中的半径与距离，列出关系式，解之即可判断直线 ax + by = 1 与圆 O 的位置关系.【解析】选 B.点 M(a, b)在圆 .122bayx外 2O(0)ab1d圆 心 ， 到 直 线 距 离 =圆的半径，故直线与圆相交.7. （2013江西高考理科9）过点（ ，0）引直线 l 与曲线 2y1x相交于A、B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于（ ）3A. 3B. 3C. 3D. 3【解题指南】圆心到直线的距离与直线的斜率有关,AOB 为等腰三角形,所以 AB 的长度也可用圆心到直线的距离表示,进而AOB 的面积可表示为圆心到
6、直线的距离 d 的函数,借助二次函数思想可以求解出当AOB 的面积取最大值时的 d 值,进而可以求出直线的斜率.【解析】选 B. 曲线 2y1x表示以 (0,)为圆心，以 1为半径的上半圆.设直线 l的方程为 yk(x2)，即 k，若直线与半圆相交，则 k0，圆心到直线的距离为 2d1（ d） ，弦长为 2AB1d，AOB 的面积为sAB2(1)，易知当 2时 s最大，解 2k1()得21k3，故 3.8. （2013山东高考理科9）过点（3，1）作圆（x-1） 2+y2=1 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为 （ ）A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y
7、-3=0 D.4x+y-3=0【解题指南】本题考查了直线与圆的位置关系，利用圆的几何性质解题即可.【解析】选 A. 由图象可知， (1,)A是一个切点，根据切线的特点可知过点 A.B 的直线与过点（3,1） 、 （1、0）的直线互相垂直， 2130ABk，所以直线 AB 的方程为2xy，即 2x+y-3=0.二、填空题9. （2013山东高考文科13）过点(3，1)作圆 22()()4xy的弦，其中最短的弦长为_【解题指南】过圆内一点的弦，最长的为直径，最短的为垂直于直径的弦.这样圆心到点1,3的距离，与弦长的一半，半径长构成一个直角三角形.【解析】 半径为 2r，圆心为 2,，圆心到点 1,
8、的距离42123d,所求最短弦长为 22【答案】 .10.(2013浙江高考文科T13)直线 y=2x+3 被圆 x2+y2-6x-8y=0 所截得的弦长等于.【解题指南】由直线方程与圆的方程联立方程组,求两个交点的坐标,再求弦长.【解析】由 23,680yx，解得 1y或 39，所以两交点坐标为 1,和 3,9，所以弦长 22(1)(9)45l .【答案】 45.11. （2013江西高考文科14）若圆 C 经过坐标原点和点（4，0） ，且与直线 y=1 相切，则圆 C 的方程是 .【解题指南】设出圆的标准方程，得出圆心坐标和半径的关系，再代入已知点.【解析】设圆的方程为 22(xa)(yb
9、)r，因为圆 C 经过点（0,0）和点（4，0） ，所以 a=2，又圆与直线 y=1 相切，可得 1，故圆的方程为222(x)(yb)(b)，将（0,0）代入解得3b2，5r，所以圆的方程为 2235()()4.【答案】 22(x)(y).12. （2013湖北高考文科14）已知圆 O： 25xy，直线 l：cosin1xy（02）.设圆 O上到直线 l的距离等于 1 的点的个数为 k，则 k .【解题指南】根据直线与圆的位置关系,求圆心到直线的距离,同半径的一半相比较.【解析】半径为 R= 5,圆心到直线 l 的距离 d= 2215.sinco故数形结合k=4.5【答案】4.三、解答题13.
10、(2013江苏高考数学科T17) 如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 )3,0(A，直线42:xyl。设圆 C的半径为 1，圆心在 l上。（1）若圆心 也在直线 xy上，过点 A作圆 C的切线，求切线的方程；（2）若圆 上存在点 M，使 O2，求圆心 的横坐标 a的取值范围。【解题指南】(1)先利用题设中的条件确定圆心坐标,再利用直线与圆相切的几何条件找出等量关系,求出直线的斜率.(2)利用 MA=2MO 确定点 M 的轨迹方程,再利用题设中条件分析出两圆的位置关系,求出 a 的取值范围.【解析】(1)由题设知,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解得点 C(3,2),于
11、是切线的斜率必存在.设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3,由题意, 2|31|k= 1, 解得 k=0 或- 34,故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,所以圆 C 的方程为(x-a)2+y-2(a-2)2=1.设点 M(x,y),因为 MA=2MO,所以 222)3(yxyx,化简得 41,所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上.由题意知,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点,6则 2-1CD2+1,即 1 22(3)a3.由 5a2-12a+80,得 aR;由 5a2-12a0
12、,得 0 a .125所以圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为0, .12514.（2013新课标全国高考文科20）在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 P在 x轴上截得线段长为 2，在 y轴上截得线段长为 23。（1）求圆心 P的轨迹方程；（2）若 点到直线 yx的距离为 2，求圆 P的方程。【解题指南】(1)设出点 P 的坐标与圆 P 半径，利用弦长、圆心距、半径之间的关系求得点P 的轨迹方程；（2）利用已知条件求得点 P 的坐标，从而求出半径，写出圆的方程.【解析】 （1）设 ,xy，圆 P 的半径为 r.由题设 222,3.yrr从而 223yx.故 P 点的轨迹方程为 1yx.(2)设
13、 00 2(,).px由 已 知 得 又 P 点在双曲线 21yx上，从而得201,yx020,.1yy得此时圆的半径 r= 3 .0021,.xyxy得此时，圆的半径 r= 3 .7故圆 P 的方程为 222213-13xyxy或 ，15.（2013四川高考文科20）已知圆 C的方程为 22(4)，点 O是坐标原点。直线 :lykx与圆 C交于,MN两点。（1）求 k的取值范围；（2）设 (,)Qmn是线段 MN上的点，且 2221|QMN。请将 n表示为 m的函数。【解题指南】本题求解时要抓住直线与圆有两个交点，所以在求解 k的取值范围时可以利用判别式进行求解，在第二问的处理上要注意 22
14、21|O的使用，从而寻找到 ,mn的关系.【解析】 （1）将 ykx代入 22(4)y中，得2()80)kx由 24(1，得 23k所以 的取值范围是 ,3)(,)U.（2）因为 M、N 在直线 l上，可设点 M、N 的坐标分别为 12(,),)xkx则 2221(),()OkxOkx，又 2()Qmn.由 222|N，得2221(1)()()kkxkx，即 1122mx，由 ()式可知， 8k， 12xk，所以 2365mk因为点 Q 在直线 yx上，所以 n，代入 2中并化简，得2536nm.由 2k及 23，可知 203m，即 (3,0)(,)U.8根据题意，点 Q 在圆 C 内，则 0n，所以22361580m.于是 n与 m的函数关系为2158m(,0)(,3)U.
