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1、Cartan 型李代数的量子化和限制 B 型双参数量子群【摘要】：本文主要包含两部分内容：第一部分研究了 Cartan 型单李代数中 W 型和 S 型的李双代数结构的量子化问题，具体确定了它们对应的各种新的量子群结构；第二部分通过 B 型双参数量子群构造并研究一类有限维点 Hopf 代数，即限制 B 型双参数量子群。1Cartan 型单李代数 W 型和 S 型的量子化问题在第二章中我们首先构造了具体的 Drinfeld 扭，它依赖于经典的 Yang-Baxterr 矩阵。利用 Drinfeld 扭的一般量子化方法给出特征 0 域上广义 Witt 代数W 上李双代数的具体的量子化。为了研究特征
2、p 域的 Cartan 型限制单李代数 W 型的量子化，我们首先研究了广义 Witt 代数 W 的“正部分”W+(它是特征 0 域上的无限维单李代数)的 Z-形式 W_Z+在特征 0 域上的整形式的量子化。在特征 p 域上，W+商去其极大理想J_(?)(定义见文中引理 222)恰好为 Jacobson-Witt 代数 W(n；(?)(即 Cartan 型限制单李代数 W 型)。我们对 W_Z+在特征 0 域的整形式的量子化采用模约化技术：模 p 约化和模“限制” 约化，就得到Jacobson-Witt 代数 W(n；(?) 的限制包络代数的有限维量子化，即W(n；(?)的限制包络代数的截断的
3、p 多项式变形 u_(t，q)(W(n；(?)，这是特征 p 域上的非交换、非余交换的有限维 Hopf 代数，其维数为p(1+npn)(视 t 为未定元)或 p(npn)(t 为某 p 多项式的根)。我们的结果包含了 CGrunspan(39，JAlgebra280(2004)，145-161)给出的特征 0 域上 n=1 的情形。处理特征 p 域的情形，我们用到模李代数理论的一些技巧，与 CGrunspan 的处理39 是不同的( 事实上，CGrunspan 对特征 p 域的处理是有根本性错误的)。我们发现两两不同的基本 Drinfeld 扭的合成仍然是 Drinfeld 扭，以及水平方向的
4、 Drinfeld 扭，这些扭给出更多的 W_Z+在特征 0 域上的整形式的量子化，通过约化得到更多的 Cartan 型单李代数 W 型的量子化。第三章我们用相似的方法通过比较复杂的讨论解决了特征 0 域上广义 Cartan 型 S 李代数及特征 p 域上特殊李代数 S(n；(?)的量子化问题。我们还得到一般性结论，即具有不同长度的扭给出的量子化结果是不同的。特别值得指出的是，我们所得到的这些量子群结构均包含了著名的 RadfordHopf 代数(DERadford 于七十年代中期提出，见76)作为其子 Hopf 代数。2限制 B 型双参数量子群第四章我们研究了 Bergeron-Gao-Hu
5、12定义的双参数量子群 U_(r，s)(so_(2n+1)在参数 r、 s 均为 e 次单位根时的 e 次齐次中心元生成的Hopf 理想 I_n，并进而构造 (有限维)限制型双参数量子群 u_(r，s)(so_(2n+1)，其维数是 e(2n2+2n)。我们证明了这类 Hopf 代数是点的，利用 u_(r，s)(so_(2n+1)中的斜本原元性质，确定了两个限制双参数量子群同构的充分必要条件，进一步证明了 u_(r，s)(so_(2n+1)关于其 Borel 子代数 b 具有 DrinfeldDouble 结构。我们还完全确定了 b 的左右积分元。通过左右积分元及 LHKauffman和 DE
6、 Radford51的结论给出了这类点 Hopf 代数存在 ribbon 元的充分必要条件，即 u_(r，s)(so_(2n+1)有 ribbon 元当且仅当 e 是奇数。这类新的点 Hopf 代数给出的新的 ribbon 元可以提供重要的扭结不变量。代数闭域上有限维 Hopf 代数的分类问题至今尚未解决，那么通过各种途径构造有限维 Hopf 代数的例子是很有意义的。Cartan 型李代数的量子化结果和限制 B 型双参数量子群为我们提供了新的有限维 Hopf 代数的例子。 【关键词】：Hopf 代数广义 Witt 代数 Jacobson-Witt 代数广义 Cartan 型 S 李代数特殊李代
7、数李双代数Drinfeld 扭量子化双参数量子群 DrinfeldDouble 积分元 ribbon 元【学位授予单位】：华东师范大学【学位级别】：博士【学位授予年份】：2007【分类号】：O152.5【目录】：摘要 6-8Abstract8-12 第一章引言 12-221.1 研究背景12-151.2 本文的主要结果和内容安排 15-161.3 基础知识 16-22 第二章 Cartan 型李代数 W 系列的量子化 22-542.1 背景介绍 22-232.2基础知识 23-312.3 广义 Witt 型李双代数的量子化 31-402.4Jacobson-Witt 型模李代数 W(n;(?)
8、的量子化 40-512.5 水平方向的量子化 51-54 第三章 Cartan 型李代数 S 系列的量子化 54-803.1 广义Cartan 型 S 李代数的量子化 54-603.2 特殊代数 S(n;(?)的量子化 60-663.3 基本 Drinfeld 扭的合成 66-743.4 水平方向的量子化 74-80第四章限制 B 型双参数量子群 80-1324.1 基础知识 80-854.2 限制B 型双参数量子群 85-1154.3 限制双参数量子群间的同构 115-1194.4Drinfelddouble 结构 119-1244.5 积分元 124-1294.6Ribbon 元129-132 参考文献 132-140 论文目录 140-142 后记 142-143 本论文购买请联系页眉网站。
