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1、数学建模作业(实验 2 微分方程实验)基本实验1微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随 t 增加的运动方向，确定平衡点，并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类： ,+1,(1)(2)(3)(4);2;2.dxxdxdxyttttyy y解答解：（1）由平衡点的定义可得，f（x）=x=0，f （y）=y=0，因此平衡点为（0,0） ，微分方程组的系数矩阵为 ，显然其特征值为 ；由根10A12=，与系数的关系可得：且 ，由平衡点与稳定性的各种1212()00pq， 24pq情况可知，平衡点（0，0）是不稳定的。自治系统相应轨线为：xy（2）由平衡点的定义可得，f（x）=-x=0
2、 ，f（y）=2y=0，因此平衡点为（0,0） ，微分方程组的系数矩阵为 ，显然其特征值为 ；由根与系数-102A12=-，的关系可得：，平衡点（0，0）是不稳定的。12120-( fx0x应用上述近似判别法，所以有当 Efxf0x1x当 Er 时， 是不是稳定平衡点， 是； 01(),()r ）时，渔场产量将减至 ，破坏性捕捞，1从而是不可持续的。令 0()1)EhxNr求导可得：*2(1)02dhErNxr所以，最优捕捞率为 。*rE4Gompertz 模型设渔场鱼量自然增长服从 Gompertz 模型： xNrdtln其中 r 为固有增长率，N 为最大种群数量。若单位时间捕捞量为 讨论h
3、Ex渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量 及获得最大产量的捕捞强度mh和渔场鱼量水平 。mE*0x解答解：令 ()lnNfxrEx由 ， ，解得该方程的平衡点为 ， 0fx0lnExNr rEe001x， ，lf 01,frfx可得平衡点 是稳定的，而平衡点 不稳定.ox最大持续产量的数学模型为： .0,ln.maxxENrtsh 由前面的结果可得 rENeh，rErEedh令 可得最大产量的捕捞强度 ，从而得到最大持续产量 ，0dhEm erNhm/此时，渔场鱼量水平 。eNx*05有限资源竞争模型微分方程 111222()dxacbxt是两个物种为了共同的有限资源而竞争的模型，假设
4、c1a1，c 2a2。试用微分方程稳定性理论分析：（1）如果 ，则 （2）如果12ac1()0);xt则 （3）用图形分析方法来说明上述两种情况。12ac()0);xtt解答解：（1）令111222()()0dxfacbxt得方程的平衡点为 P0（0,0 ） ，P 1（ ,0） ，P 2（0, ）.1cab2cab对平衡点 P0（ 0,0） ，系数矩阵 12caA又 c1a1，c 2a2 则 p=-(c1-a1)+(c2-a2) a1，c 2a2，则 q0，且 q0 稳定，此时 说明物种 12cab1()0);xt最终要灭亡。(2)如果 的情况下，方程在 P1（ ,0）稳定，其他点不稳定，此时
5、12c1cab说明物种 2 最终会灭亡。2()0);xtt(3)对于线性方程组，1212120xlN直 线直 线其中， 直线 将第一象限分成三个区域。1211-,.cabNbc2l和 当 时，P 2 点稳定，通过分析 的单调性可得下图： 1c2x，此时 说明物种 1 最终要灭亡。1()0);xt 当 时，P 1 点稳定，通过分析 的单调性可得下图：21ac12x，此时 说明物种 2 最终要灭亡。2()0);xtt6蝴蝶效应与混沌解考虑 Lorenz 模型1123231223()()()()()()xtxttxtttt其中 ，且初值为, ， 为一个小08/， ， 12300xx） ） （， ）（
6、 （常数，假设 ，且 。10t（1）用函数 ode45 求解，并画出 x2x1,x2x3,x3x1 的平面图；（2）适当地调整参数 ， 值，和初始值 x1（0） ，x 2（0）=0 ，x 3（0） ，重复一的工作，看有什么现象发生。解答解： （1）分别创建 lorenzeq.m 和 huatu26.m 两个文件，在 lorenzeq.m 文件中编写下面的语句：f=(t,x)-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3);在 huatu26.m 文件中，编写下面的语句：t_final=100;x0=0;0;1e-10;t,
7、x=ode45(f,0,t_final,x0);subplot(2,2,1),plot(x(:,2),x(:,1)xlabel(x_2);ylabel(x_1);subplot(2,2,2),plot(x(:,2),x(:,3)xlabel(x_2);ylabel(x_3);subplot(2,2,3),plot(x(:,3),x(:,1)xlabel(x_3);ylabel(x_1);运行程序，可得下面的图形：（2）修改此题的参数，令 ，且初值为，514/3， ， ，其中 保持不变，运行上面的程序，可得下1205x（ ） （ ） 30x（ ） 0面的图形：可以发现，修改参数和初始值，图形会发
8、生很大变化。7血液中的药物浓度测定考虑口服某种药物后，该药物在血液中的浓度，以便更好地确定治疗方案。假定给测试者口服某种药物，并每隔一段时间，测试该药物在血液中的浓度，用这种方法得到药物在血液中浓度的变化曲线。所述的生物系统可看成两个房室肠道和血液，其模型可以描述如下药 物 在 肠 道 中 的 浓 度 药 物 在 肠 道 中 的 浓 度设 和 分别是 t 时刻药物在肠道和血液中的浓度， 是药物从肠道转移到血液的1()t2t 1速率， 是药物从血液向外界转移的速率。并且在初始时刻（t=0） ，肠道中的药物浓度为，血液中的药物浓度为 0。3（1）试建立相应的微分方程模型。（2）假定测得某测试者血液
9、中的药物浓度如下：测试时刻 t1 2 3 4 6 8 10 12 16血液中药物浓度 20.7 1.2 1.4 1.4 1.1 0.8 0.6 0.5 0.3试确定参数 的估计值。123和提示：可先求出微分方程的表达式，再选择优化参数，求参数的最小二乘解。解答解： （1）由题意可得微分方程为： 1122132(0)dt（2）首先求解微分方程的解在 d27 的.m 文件中编写下面的语句：x,y=dsolve(Dx=-a*x,Dy=a*x-b*y,x(0)=c,y(0)=0)可以得到下面的结果： d27x =c*exp(-a*t)y =exp(-a*t)*exp(-b*t)*(a*c*exp(a*
10、t)/(a - b) - (a*c*exp(b*t)/(a - b)最后采用最小二乘曲线拟合的方法求解参数：在 d272 的.m 文件中编写下面的语句：t=1 2 3 4 6 8 10 12 16;y=0.7 1.2 1.4 1.4 1.1 0.8 0.6 0.5 0.3;f=(a,t)exp(-a(1)*t).*exp(-a(2)*t).*(a(1)*a(3).*exp(a(1)*t)/(a(1)-a(2) - (a(1)*a(3).*exp(a(2)*t)/(a(1)-a(2);a=1;2;3;a,b,c=lsqcurvefit(f,a,t,y)可以得到下面的结果： d272Local m
11、inimum possible.lsqcurvefit stopped because the final change in the sum of squares relative to its initial value is less than the default value of the function tolerance.a =0.18300.43475.9981b =0.0356c =0.1080 -0.0039 -0.0652 -0.0691 0.0333 0.0741 0.0432 -0.0384 -0.0707所以：参数的估计值为： 1230.83,.45.9817=,
12、2.3 加分实验（餐厅废物的堆肥优化问题）一家环保餐厅用微生物将剩余的食物变成肥料。餐厅每天将剩余的食物制成桨状物并与蔬菜下脚及少量纸片混合成原料，加入真菌菌种后放入容器内。真菌消化这此混合原料，变成肥料，由于原料充足，肥料需求旺盛，餐厅希望增加肥料产量。由于无力购置新设备，餐厅希望用增加真菌活力的办法来加速肥料生产.试通过分析以前肥料生产的记录(如表 2.1 所示)，建立反映肥料生成机理的数学模型，提出改善肥料生产的建议。解答解： 1.问题假设1) 每次堆肥的质量不同2) 所给的几次堆肥混合物的比例仅由当天的实际情况决定3) 所有分离堆肥仓工作条件相同4）每磅蔬菜所提供的氧气量相同5）细菌消
13、耗的溶解氧完全由蔬菜叶提供6）每天提供的废料混合物中的化学成分大致相同7）废料混合物在喂给细菌前混合均匀并保持良好的通气环境。2.问题分析堆肥是利用微生物的分解作用将有机废物转化成无害稳定形式的生物化学过程，要提高堆肥常量方法之一是通过强细菌的生长繁殖能力提高分解率细菌群体的增长一般要经历延滞期，加速生长期，对数生长期，减速生长期，稳定期，加速死亡期和对数死亡期，其它典型生长曲线如图 1 所示：细菌数目的对数 倍增速率579+0-时间a bcd efg图 1其中对数生长期培养基中所有养分都过剩，细菌可以充分繁殖，其倍增速率恒定，取决于底物浓度，温度，水活度，供养量。对于当前该餐厅来说底物浓度由
14、每天的剩余食物，蔬菜叶和碎纸屑决定。碎纸屑是吸收水分的调理剂，微菌呼吸所需要的溶解氧由蔬菜叶提供，水活度可以通过测定相对湿度来决定，其关系式是相对湿度B=P/P0 100%水活度aw =p/po其中 P 为该溶液蒸气压；P o 为纯水蒸气压在这个堆肥系统中，可供微菌消耗营养底物和溶解氧都是有限的，它们的消耗会对微菌生长率产生重要影响。一种微菌消耗营养底物的速率和底物浓度之间的关系曲线如图 2 所示：比生长速率 am/底物浓度sK底物浓度和微菌浓度的关系为ds/dt=(-kmsx)/(ks+s)式中 ds/dt 表示为底物的有效消耗率：x 表示为微菌浓度； km 表示最大有效系数，在高浓度营养底
15、物中最大的物料消耗率（物质质量/微菌天的质量） ；k s 表示半速系数（质量/体积） ；S 表示为有限底物的浓度（质量/体积）微菌生长过程是一个生物化学反应过程。其生长率和温度之间满足公式：K=Ae-Ea/RT式中 K 表示为反应速度常数；T 表示反应的绝对温度； R 表示气体常数；E a 表示反应活化能；A 表示频率因子。对于大多数微菌来说，如果以比生长速度常数（dx/Xdt ）的对数对 1/T 作图，可得下面的曲线图（图 3）40 30 20 10 Co02460.0032 0.0033 0.0034 0.0035 0.0036 0.0037线形低温高温1 n1/T（K）因此各种微菌都有一格最适圣战个 we 浓度。如温度控制在最适值时微菌生长速率最高微菌生长对水湿度也有一定的要求，与微菌最高生长速率相对的有一最适水活度。优化堆肥意味着尽可能短的时间内生常出高质量的肥料，参数的优化依赖于所应用的系统。3.模型的建立模型 1假设每天投入的肥
