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1、1,第一章,二、 极限的四则运算法则,三、 复合函数的极限运算法则,一 、无穷小与无穷大,第四节,极限运算法则,2,利用极限的定义可以验证一个函数在某一极限过程,是否以常数A为极限,一般来说是比较繁琐的。但今后遇,到的最多的问题是判断一极限过程中函数有没有极限?,如果有如何求出极限.这往往是通过一些已知的简单极,限去寻求比较复杂的函数的极限,这就要用到极限的运,算法则。,本节介绍的几个定理,不仅可以用来求一些函数的,极限,也可以用来判断某些函数的极限是否存在,并可以,导出其他一些运算法则.学习时注意结论和结论的条件.,极限运算法则,3,一、无穷大与无穷小,无穷小：,注意：无穷小与很小的数的区别
2、。,定义：如果当 （或 ）时函数的极限为零，那么 叫做 （或 ）时的无穷小.以0为极限的数列 也称为 时的无穷小.,4,在 的变化过程中是否为无,穷小量，与 x 的变化趋势有关。,如当,5,其中 (x) 为,时的无穷小量 .,定理 . ( 无穷小与函数极限的关系 ),证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证 .,6,时, 有,无穷小的性质,定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .,证: 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,7,说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !,例如，,类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小
3、.,（P57,题3）,8,定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,证: 设,又设,即,当,时, 有,取,则当,时 , 就有,故,即,是,时的无穷小 .,推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .,9,例1. 求下列无穷小的和的极限,解:,10,例2. 求,解:,利用定理 2 可知,说明 : y = 0 是,的渐近线 .,11,12,13,14,15,16,17,18,19,二、 无穷大,20,定义2 .,若任给 M 0 ,一切满足不等式,的 x , 总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将 式改为,则记作,(正数 X ) ,记作
4、,总存在,21,注意,1）无穷大是变量, 它是描述函数的一种状态,它不是很大的数,不能与很大的数混淆.,3) 无穷大是一种特殊的无界变量, 但,2）不可认为 极限存在；,是无界变量未必是无穷大.,有界,无界,无穷大,存在某“时刻” ,那时刻后,一切 x，均满足,概念回放,22,故函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !,例如, 函数,当,故函数为无界,但,不是无穷大 !,23,4）若,则直线,为曲线,的铅直渐近线 .,24,例2 . 证明,证: 任给正数 M ,要使,即,只要取,则对满足,的一切 x , 有,所以,直线,为曲线,的铅直渐近线 .,渐近线,说明:,25,例3,研究 x0 时
5、，,函数,是否为无穷小.,解,因 x 0+ 时，,当 x 0 - 时，,26,因 x0 时，函数的左右极限不等, 极限不,存在, 故不是无穷小，,但 时为无穷小.,27,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;,证,定理4,恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,三、无穷小与无穷大的关系(证明),此时对,使得当,28,关于无穷大的讨论,意义,无穷小的讨论.,都可归结为关于,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;,定理4,恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,此时对,使得当,29,二、 极限的四则运算法则,则有,证: 因,则有,(其中,为无穷小),于是,由定理 1 可知,也是无穷小,再利用极限与无穷小,的关系定
6、理 , 知定理结论成立 .,定理 3(1).若,30,推论: 若,且,则,利用保号性定理证明 .,说明: 定理可推广到有限个函数相加、减的情形 .,提示: 令,31,定理 3(2) .若,则有,提示: 利用极限与无穷小关系定理及无穷小乘法性质证明 .,说明: 定理 2可推广到有限个函数相乘的情形 .,推论 1 .,( C 为常数 ),推论 2 .,( n 为正整数 ),例2. 设 n 次多项式,试证,证:,32,为无穷小,定理 3(3). 若,且 B0 , 则有,证: 因,有,其中,设,无穷小,有界,因此,由极限与无穷小关系定理 , 得,为无穷小,33,定理4:若,则有,提示: 因为数列是一种
7、特殊的函数 ,故此结论可由,定理1 , 2, 3直接得出 .,34,x = 3 时分母为 0 !,例3. 设有分式函数,其中,都是,多项式 ,试证:,证:,说明: 若,不能直接用商的运算法则 .,例4.,若,35,例5 . 求,解: x = 1 时,分母 = 0 , 分子0 ,但因,36,例6 . 求下列函数的极限,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“ 抓大头”,解:,37,例7. 求,解:,分子分母同除以,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“ 抓大头”,原式,3 . 求,38,一般有如下结果：,为非负常数 ),39,定理6. 设,且 x 满足,时,又,则有,2. 若定理中,则
8、类似可得,三、 复合函数的极限运算法则,说明:1.公式表明，在相应条件下求复合函数的极限，可通过代换化复合函数为简单函数.,40,3. 复合函数的极限运算法则(证明),定理. 设,且 x 满足,时,又,则有,证:,当,时, 有,当,时, 有,对上述,取,则当,时,故,因此式成立.,41,例7. 求,解: 令,已知, 原式 =,42,例8 . 求,解: 方法 1,则,令, 原式,方法 2,43,例9*,分析函数复合的层次：,解,首先改写,44,例10：求下列函数的极限,（分子有理化）,45,例11. 求,解法 1,原式 =,解法 2,令,则,原式 =,46,例12. 试确定常数 a 使,解 :,
9、令,则,故,因此,47,解:,利用前一极限式,可令,再利用后一极限式 , 得,可见,是多项式 , 且,求,故,例13,48,内容小结,1. 极限运算法则,(1) 无穷小运算法则,(2) 极限四则运算法则,(3) 复合函数极限运算法则,注意使用条件,2. 求函数极限的方法,(1) 分式函数极限求法,时, 用代入法,( 分母不为 0 ),时, 对,型 , 约去公因子,时 , 分子分母同除最高次幂,“ 抓大头”,(2) 复合函数极限求法,设中间变量,Th1,Th2,Th3,Th4,Th5,Th7,49,3. 极限求法小结, 多项式与分式函数代入法求极限;, 因式分解消去零因子法求极限;, 无穷小因子分出法求极限;, 利用左右极限求分段函数极限；, 利用极限四则运算性质求极限;, 利用复合函数求极限法。,50,思考及练习,1.,是否存在 ? 为什么 ?,答: 不存在 .,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在 ,与已知条件,矛盾.,解:,原式,2.,问,
