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1、共 13 页 第 1 页二次函数知识点总结题型分类总结一、二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为 0，且二次函数的表达式必须为整式）1、下列函数中，是二次函数的是 . ； ； ； 142xy2xyxy42 ；3 ； ； ； 。pnm2,xy52、在一定条件下，若物体运动的路程 （米）与时间 （秒）的关系式为st，则 4 秒时，该物体所经过的路程为 _ 。ts253、若函数 是关于 的二次函数，则 的取值572xy xm范围为 。4、若函数 是关于 的二次函数，则 的值为 1xm。6、已知函数 是二次函数，求 的值。352y二、二次函数的对称轴、顶点、最值记忆：如果解析式为顶点式： ，则
2、对称轴为： _ , khxay2最值为： ；如果解析式为一般式： ，则对称轴为： _ cb，最值为： ；如果解析式为交点式： , 则对称轴为： 21xay，最值为： 。1抛物线 经过坐标原点，则 的值为 。mxy224m2抛物线 的顶点坐标为（1，3） ，则 b ，c .cb3抛物线 的顶点在( )2A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4若抛物线 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离xay6为( )A. B. C. D.131054共 13 页 第 2 页5若直线 不经过二、四象限，则抛物线 ( )baxy cbxay2A.开口向上，对称轴是 y 轴 B.开口向下，
3、对称轴是 y 轴C.开口向下，对称轴平行于 y 轴 D.开口向上，对称轴平行于 y 轴6已知抛物线 的顶点的横坐标是 2，则 的值是 .412xmm7抛物线 的对称轴是 。3xy8若二次函数 的对称轴是直线 1，则 。2 x9当 _， _时，函数 的图象是n xnyn抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口_.10已知二次函数 ，当 = 时，该函数 的最小32axy y值为 0.11已知二次函数 有最小值为 0，则 1mm_。12已知二次函数 的最小值为 3，则 m 。342xy三、函数 的图象和性质cbxay21抛物线 的对称轴是 。942抛物线 的开口方向是 _ (填“向上”或“向51下”)
4、 ，顶点坐标是 。3试写出一个开口方向向上，对称轴为直线 2，且与 轴的交点坐xy标为（0，3）的抛物线的解析式 。4通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1） ； （2） ； （3）12xy 832y425把抛物线 的图象向右平移 3 个单位，在向下平移 2 个单cbxy2共 13 页 第 3 页位，所得图象的解析式是 ，试求 的值。532xycb,6把抛物线 沿坐标轴先向左平移 2 个单位，再向上平移142xy3 个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。7某商场以每台 2500 元进口一批彩电。如每台售价定为 2700 元，可卖出 400
5、台，以每 100 元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出 50 台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？共 13 页 第 4 页四、函数 的图象与性质khxay21填表：抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标132xy2已知函数 。5424, 22 xyxy和（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。（2）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线 得到抛物线2xy和 ？24xy542xy3试写出抛物线 经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对23xy称轴和顶点坐标。（1）右移 2 个单位；（2）左移 个单位；23（3）先左移 1 个单位，再右移 4 个
6、单位。共 13 页 第 5 页4试说明函数 的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、231xy增减性、最值） 。5二次函数 y=a(xh) 2的图象如图：已知 a= ，OAOC，试求该抛物线12的解析式。五、二次函数的增减性1.二次函数 y=3x26x+5，当 x1 时，y 随 x 的增大而 ；当x 2 时,y 随 x 的增大而增大；当 x0,b0,c0 B.a0,b0,c=0C.a0,b0,b 0 Bb -2aCa-b+c 0 Dc0； a+b+c 0 a-b+c 0 b 2-4acbc，且 abc0，则它的图象可能是图所示的( )1xAyO1 xByO1xCyO1 xDyO共 13 页
7、第 8 页6二次函数 yax 2bxc 的图象如图所示，那么abc，b 24ac， 2ab，abc 四个代数式中，值为正数的有( )A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个7.在同一坐标系中，函数 y= ax2+c 与 y= (a 0 时，y 随 x 的增大而增大，则二次函数 ykx 2+2kx 的图象大致为图kx中的（ ）A B C D 10.已知抛物线 yax 2bxc(a0)的图象如图所示，则下列结论中：正确的个数是（ ）a，b 同号； 当 x1 和 x3 时，函数值相同；4ab0; 当y2 时，x 的值只能取 0；A1 B2 C3 D411.已知二次函数 yax 2bxc 经过一
8、、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线 yaxbc不经过（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限十、二次函数与 x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）1. 如果二次函数 yx 24xc 图象与 x 轴没有交点，其中 c 为整数，则 c （写一个即可）2. 二次函数 yx 2-2x-3 图象与 x 轴交点之间的距离为 3. 抛物线 y3x 22x1 的图象与 x 轴交点的个数是( )A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点4. 如图所示，二次函数 yx 24x3 的图象交 x 轴于 A、B 两点， 交 y 轴于点 C， 则ABC 的面积为( )
9、A.6 B.4 C.3 D.15. 已知抛物线 y5x 2(m1)xm 与 x 轴的两个交点在 y 轴同侧，它们的 距离平方等于为 ，则 m 的值为( )4925A.2 B.12 C.24 D.486. 若二次函数 y(m+5)x 2+2(m+1)x+m 的图象全部在 x 轴的上方，则 m 的取值范围是 7. 已知抛物线 yx 2-2x-8，（1）求证：该抛物线与 x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，且它的顶点为 P，求ABP 的面积。十一、函数解析式的求法（一） 、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式 y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；共
10、13 页 第 10 页1已知二次函数的图象经过 A（0，3） 、B（1，3） 、C（1，1）三点，求该二次函数的解析式。2已知抛物线过 A（1，0）和 B（4，0）两点，交 y 轴于 C 点且 BC5，求该二次函数的解析式。（二） 、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式：y=a(xh) 2+k 求解。3已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，6） ，且经过点（2，8） ，求该二次函数的解析式。4已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，3） ，且经过点 P（2，0）点，求二次函数的解析式。（三） 、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式 y
11、=a(xx 1)(xx 2)。5二次函数的图象经过 A（1，0） ，B（3，0） ，函数有最小值8，求该二次函数的解析式。6已知 x1 时，函数有最大值 5，且图形经过点（0，3） ，则该二次函数的解析式 。7抛物线 y=2x2+bx+c 与 x 轴交于（2，0） 、 （3，0） ，则该二次函数的解析式 。8若抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标为（1，3） ，且与 y=2x2的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式 。9抛物线 y=2x2+bx+c 与 x 轴交于（1,0） 、 （3,0） ，则 b ，c .10若抛物线与 x 轴交于(2，0)、 （3，0） ，与 y 轴交于(0，
12、4)，则该二次函数的解析式 。11根据下列条件求关于 x 的二次函数的解析式（1） 当 x=3 时，y 最小值 =1，且图象过（0，7）共 13 页 第 11 页（2） 图象过点（0，2） （1，2）且对称轴为直线 x=32（3） 图象经过（0，1） （1，0） （3，0）（4） 当 x=1 时，y=0; x=0 时,y= 2，x=2 时，y=3（5） 抛物线顶点坐标为（1，2）且通过点（1，10）11当二次函数图象与 x 轴交点的横坐标分别是 x1= 3，x 2=1 时，且与 y 轴交点为（0，2） ，求这个二次函数的解析式12已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于(2，0
13、)、 （4，0） ，顶点到 x 轴的距离为 3，求函数的解析式。13知二次函数图象顶点坐标（3，）且图象过点（2， ） ，求二次函数解析式及图象与 y 轴的交12 112点坐标。14已知二次函数图象与 x 轴交点(2,0)， (1,0) 与 y 轴交点是(0,1)求解析式及顶点坐标。共 13 页 第 12 页15若二次函数 y=ax2+bx+c 经过（1，0）且图象关于直线 x= 对称，那么图象还必定经过哪一点？1216y= x 2+2(k1)x+2kk 2，它的图象经过原点，求解析式 与 x 轴交点 O、A 及顶点 C 组成的OAC 面积。17抛物线 y= (k22)x 2+m4kx 的对称轴是直线 x=2，且它的最低点在直线 y= x+2 上，求函12数解析式。十二、二次函数应用(一）经济策略性1.某商店购进一批单价为 16 元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件 20 元的价格销售时，每月能卖 360 件若按每件 25 元的价格销售时，每月能卖 210 件。假定每月销售件数 y(件）是价格 X 的一次函数.(1)试求 y 与 x 的之间的关系式.(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下
