[工学]导数知识

《[工学]导数知识》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[工学]导数知识（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、导数一、导数的概念1导数概念的实际背景是曲线上一点切线斜率与质点作变速直线运动在某时刻的瞬时速度. 设函数 y=f(x)在点 x0 的某邻域 U(x0)内有定义，若极限存在，则称 f(x)在点 x0 可导，并称此极限值为 f(x)在点 x0 处的导数（或微商），记作f(x0)或 y|x=x0 或 ，即若极限不存在，则称函数 y=f(x)在点 x0 不可导注 1： 用于涉及已知抽象函数可导，证明其它结论或已知其它条件，证明函数可导注 2： 用于利用定义求函数的导函数注 3： 用于求函数在一点的导数特别反之若 （常数）且 f(x)在 x=0 处连续，则 f(0)=A，事实上，由 知 ，利用上面结果

2、知结论正确。注 4：要弄清导数定义的本质。即（1）若 （a 可以是常数，可以是 ）时，且，则 f(x)在 x=x0 处可导且 f(x0)=A。证 。（2）若 （a 可以是常数，可以是 ）时，且，则 f(x)在 x=x0 处可导且 f(x0)=A.证。2定义若称为 f(x)在 x=x0 处的左导数，若称为 f(x)在 x=x0 处的左导数，定理 .这个定理是判断在分界点 x0 两侧表达式不同的分段函数在 x0 处是否可导的一种方法。例若（1）（2）两式的极限存在且相等，则 f(x)在x=x0 处可导，否则 f(x)在 x=x0 处不可导若研究 f(x)在 x=x0 处是否可导就不必用左右导数的定

3、义，只须用导数定义，即如果（3）式极限存在，则 f(x)在 x=x0 处可导，否则 f(x)在 x=x0 处不可导。3几何意义若 f(x0)存在，则 f(x0)表示曲线 y=f(x)上点 处切线的斜率 且切线方程为 ；法线方程为 。若 f(x0)=0，此时切线方程为 y=f(x0)，法线方程为 x=x0。可导与连续关系若 f(x)在 x0 处可导，则 f(x)在 x0 处连续，反之不一定。例如 f(x)=|x|在 x=0 处连续，但在 x=0 处不可导。逆否定理 若 f(x)在 x0 处不连续，则 f(x)在 x0 处不可导。这个定理为判断 f(x)在 x0 处是否可导提供了一个简便方法：如果

4、 f(x)在x=x0 处极限不存在或不连续，则 f(x)在 x=x0 处不可导，就不必用导数定义去验证了。4若 f(x)在区间 X 上每一点都可导，即 ，按函数定义知 f(x)是区间 X 上的函数，称为 f(x)在区间 X 上的导函数或简称为导数。如果求出了区间 X 上的导函数，则 .证由由此可知求 f(x)在 x=x0 处的导数有两种方法：（1）用定义（2）若能求出 f(x)或 f(x)已知且 f(x)在 x=x0 处有意义，则 f(x0)=f(x)| x=x0。根据具体情况选用一种方法。二、有关的定理与公式1导数的四则运算设 u=u(x)，v=v(x)在点 x 处可导，则 uv ，在点 x

5、 处可导，且（1） ；（2） ；特别地 v=c（常数）， ；（3） ,特别地2反函数求导法则设 y=f(x)为函数 的反函数，若 在点y0 的某邻域内连续，严格单调且 ，则 f(x)在点 可导，且 。推论设 y=f(x)为函数 的反函数，若 严格单调且存在且 。3复合函数求导法则设函数 在 x=x0 处可导，y=f(u)在 处可导，则复合函数 处可导且推论：若 可导，y=f(u)可导，则 可导且.导数是解决问题的工具，复合函数的求导特别重要，要真正理解并掌握，因为我们遇到的函数大多数是复合函数，只有掌握复合函数求导，才能准确求出导函数，大家要学会所谓的“层层剥皮”法，即把所给复合函数写成 ，要

6、求f(u)是基本初等函数，即 f(u)可求出，从而若 直接能求出，从而就求出了复合函数的导数，若 又是复合函数，又可把 ，要求 g(u)是基本初等函数，即 g(u)可求出，从而若 h(x)直接能求出，从而求就出了 ，也求出 ，若 h(x)又是复合函数，再如此下去直到最后一个内函数或者是基本初等函数或者是简单函数（由基本初等函数经过四则运算得到的函数），就是最后一个内函数导数可求出来，从而就求出原函数的导数。即反复利用两个函数复合的求导，这就是“层层剥皮法”4 基本初等函数的求导公式(略)注 1：由三解函数的导数有时是“+”号，有时是“-”号，用下面的方法记，带有“正”字的三角函数或反三角函数导

7、数前面取“+”号，带有“余”字的三角函数与反三角函数导数前面取“-”号。注 2：y=arc sinx, y=arc cosx 在定义域中 x=1 处不可导。若 在 x=0 处有定义（此时 0 且 f(0)=0），由知 f(x)=x 当 01 时，在 x=0 处不可导，其余的所有的基本初等函数在其定义域内的每一点都可导。注 3：由于初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算及复合运算所得的函数，因此，有了上述求导公式及求导法则，就可按部就班地计算出初等函数的导数，但求导之前尽量的化简，最好能化成加减，因为函数越简单，求导越容易，函数加减求导数比函数乘除的导数要容易。注 4：而分段函数是在 x 不

8、同取范围内用不同的初等函数表达式，因此，不在分界点时，可直接利用求导公式，在分界点需用左、右导数的定义。关于求分界点左、右导数还有下面的定理定理若 上连续，在 内可导且。证由于同理有定理若 上连续，在 内可导且。推论若 上连续，在 内可导且1.3 解题基本方法与技巧一、利用导数定义求一点导数和导数定义的应用例 1 设 f(x)是偶函数，且 f(0)存在，证明 f(0)=0。证由于得 2f(0)=0, 所以 f(0)=0。典型错误：由 f(x)是偶函数，得 f(-x)=-f(x)等式两边对 x 求导得 f(-x)(-1)=-f(x), x=0 代入有-f(0)=f(0),得 f(0)=0.错误的

9、原因是等式两边同时对 x 求导，表明有 f(x)的导函数存在，而 f(x)在 x=0 处可导，推不出在 x=0 的某邻域内可导，因此，等式两边对 x 求导是错误的。注：此题可作为一个结论用例 2 设 .解法一 。解法二 ，例 3 .解 .例 4 讨论 a,b 为何值时，才能使函数 。解由 f(x)在 x=0 处可导 f(x)在 x=0 处连续，又 f(x)在 x=0 处左连续，只要 ，得 b=0，由于，且 f(x)在 x=0 处可导，所以 a=2 且 b=0。例 5 在什么条件下，（1）在 x=0 处连续；（2）在 x=0 处可导。解 （1）由 。（2）由 。例 6 若 y=2x+b 与 y=

10、x2 在某点处的法线相同，求 b.解由 y=x2 上某点（x0,x02 ）处的法线方程为。例 7 设 。解由 ，由条件知 f(u)在 处可导，根据复合函数求导法则知。典型错误: 设 ，由于而 ，故错误的原因是在分子、分母同乘以 时，要求 ，当 时，。实际做不到，因为 时，都有。例 8 设 。解由当 x0 时，f(x)显然连续，当 x=0 时， 。知 f(x)在 x=0 处连续，故 f(x)在 R 上连续。例 9 设（1）求 上连续性。解（1）当 时当 x=0 时所以（2）在 x=0 处所以 f(x)在 x=0 处连续，显然 f(x)在 x0 处连续，故 f(x)在 上连续。例 10 设又 .证

11、法一由 。而故 。证法二由条件 。当 时，上式两边取极限，得 。例 11 设 。解。例 12 已知 f(x)的二阶导数存在，证明 .分析根据题设条件，本题可先对原式左边运用一次洛必达法则，再将所得的结果进行变形后，应用二阶导数定义即可得证证法一。典型错误: 。这里出现二个错误，一个并没有给出 f(x)在 x 的领域内存在二阶导数，仅给 f(x)在x 处存在二阶导数，第二个错误是没有给出 f(x)在 x 处连续，这里用到了这个条件，即 ，因此，在应用洛必达法则时，应注意条件。证法二根据所给条件 f(x)存在，利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式有注：。例 13 设 f(x),g(x)都是定义在 上的

12、函数，且有（1） （2）（3） ，证明 f(x) 对所有 x 可导，且 f(x)=g(x).证由于,所以 f(x)对所有 x 可导且 f(x)=g(x).二、初等函数的导数首先要熟练记住基本初等函数的导数公式、导数的四则运算，理解并掌握复合函数的求导法则、反函数的求导法则，在求导之前尽可能的化简，把函数的乘除尽量化成加减，利用对数微分法转化为方程确定隐函数的求导等等，从而简化求导过程.例 14 设 。解由 而 。注：f(2x)与f(2x)的区别：f(2x)是外函数 f(u)对 u 求导，得 f(u)，令u=2x,得 f(2x)。f(2x)是复合函数 f(2x)对 x 求导，且f(2x)=f(2

13、x)(2x)=2f(2x)。从这里可以得出“”的位置不同，意义完全不同。希望大家要真正理解不同位置“”的意义。例 15 设 .解先化简 .注：在这里读者可以看到化简的重要性.例 16 设 .解例 17 设解例 18 设解例 19 设 .解注：上面几题，我们写的过程比较详细，目的是论读者体会复合函数求导“层层剥皮法”的过程，并且在利用复合函数求导的过程中，还可以及时地利用导数的四则运算，以后求导时的中间过程就不必这样详细了。例 20 设解法一解法二两边取对数得 ，等式两边同时对 x 求导，注意 lny 是 x的复合函数，得 ，解得 .例 21 设分析如果直接求导，可以利用分式的求导及幂指函数的求

14、导，但过程复杂，化简也不容易，所以，我们应采用对数微分法。解,等式两边同时对 x 求导，得 ,化简得例 22 设解 ,等式两边同时对 x 求导，得化简得例 23 设 .解等式两边同时对 x 求导得化简得注：可能有的读者会产生一些疑问，即取对数后，定义域缩小了，比如 中x 为一切实数，而 中的 ，会不会影响求导数的结果，其实不会的，因为一般来说初等函数的导数仍是初等函数，而初等函数在定义域上是一个数学表达式，即在定义域上的表达式与在定义域部分区间上的表达式完全相同，故不会影响导数的结果，其实我们也可以两边取绝对值，再取对数，这时函数的定义域扩大了，然后再求导，结果仍然相同。，利用 ，等式两边同时

15、对 x 求导，有。以下结果完全相同，因此，定义域扩大、缩小不影响导数的结果。例 24 设 。分析这两个复合函数乘积的导数，如果直接求导比较麻烦，可令 u=cos2x解设 。利用复合函数的求导，有。三、分段函数的导数求分段函数导数不在分界点可直接利用求导公式。在分界点（1）若在分界点两侧的表达式不同，求分界点的导数有下述两种方法：（i）利用左右导数的定义。（ii）利用两侧导函数的极限。（2）若在分界点两侧的表达式相同，求分界点的导数有下述两种方法：（i）利用导数定义。（ii）利用导函数的极限。例 25 设 。解由 得 ，由 f(x)在 上连续，在 内可导， ，又 f(x)在-1，1)上连续，在（-1，1）内可导， 知同理可得 f(1)=0，故例 26 设 。解由 时，故注：有的读者可能用下面方法求在 x=0 处的导数。x=0 时，f(0)=1，而(1)=0，所以 f(0)=0 显然与结果不相符，原因是错误地理解了（c）=0，这里的 c 是常值函数而 f(x)仅在 x=0 处的值为 1，在 0 的小邻域内，所以 f(x)在 x0 处的导数，不能对 f(x0)求导。例 27 .解由由 知 处不可导，同理可得 处不可导。例 28 设 。解 故注：带有绝对值的函数求导，需化成分段函数求导。例 29 设 .解由典型错误