《数学新设计北师大选修11课件：第三章 变化率与导数 3.1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新设计北师大选修11课件：第三章 变化率与导数 3.1（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率(1)自变量的改变量为x2-x1,记作x.(2)函数值的改变量为f(x2)-f(x1),记作y.(4)平均变化率的意义:刻画函数值在区间x1,x2上变化的快慢.名师点拨对函数平均变化率的两点说明(1)函数的平均变化率是通过实际问题中的平均速度、气球的膨胀率、曲线的割线斜率等问题抽象出来的一个数学概念.定义为函数值的改变量y与自变量的改变量x的比值.(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,或者说,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.2.瞬时变化率对于函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中, (1)
2、函数值的改变量与自变量的改变量的比值为平均变化率,记作: (2)在x0点的瞬时变化率:当x趋于0时,平均变化率趋于函数在x0点的瞬时变化率.特别提醒1.平均变化率与瞬时变化率的关系(1)区别:平均变化率不是瞬时变化率.平均变化率刻画函数值在区间x1,x2上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢.(2)联系:当x趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个固定值.2.对瞬时变化率的两点说明(1)平均变化率随着自变量区间的变化而变化,在某一点处的瞬时变化率是一个固定值.(2)用平均变化率估计瞬时变化率不一定是精确值,但在一定精确度的情况下,不影响其
3、取值的严谨性.答案:3g m/s 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)自变量的改变量x是一个较小的量,x可正可负但不能为零.()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间x0,x1上变化的快慢.()(3)函数f(x)=x在x=0处的瞬时变化率为0.()答案:(1)(2)(3)探究一探究二思维辨析【例1】已知函数f(x)=3x+1和g(x)=2x2+1,分别计算f(x)与g(x)在-3到-1之间和在1到1+x之间的平均变化率.探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析反思感悟求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄清自变量的增量x与函数值的增量y,
4、求平均变化率的主要步骤是:(1)计算函数值的改变量y=f(x1)-f(x0);(2)计算自变量的改变量x=x1-x0;探究一探究二思维辨析变式训练1已知质点运动规律s(t)=t2+3,则在时间(3,3+t)中,相应的平均速度等于()答案:A探究一探究二思维辨析【例2】柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的,铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成粘稠液体状.如果开始加热后第x小时的沥青温度(单位:)为探究一探究二思维辨析解0x1时,f(x)=80x2+20,15分钟=0.25小时,30分钟=0.5小时,沥青温度在15分钟时的瞬时变化率为所以沥青温度在15分钟时的瞬时变化率为40,同理可得
5、,沥青温度在30分钟时的瞬时变化率为80.探究一探究二思维辨析反思感悟估计瞬时变化率的四个步骤第一步:定点,明确求哪个点处的瞬时变化率;第二步:定区间,以此点为端点取一个区间计算平均变化率;第三步:缩区间,逐步缩小区间长度;第四步:估计值,据平均变化率逼近的情况估计瞬时变化率.探究一探究二思维辨析变式训练2若物体做s(t)=2(1-t)2的直线运动,则其在t=4 s时的瞬时速度为()A.12 B.-12 C.4D.-4答案:A探究一探究二思维辨析因不能正确理解平均变化率的概念而致误【典例】函数y=2x+5在0,2内的平均变化率为.易错分析(1)误认为平均变化率没有顺序,而导致错误,要注意自变量
6、的改变量为x=x2-x1,函数值的改变量为y=y2-y1.解析:当x=0时,y=5,当x=2时,y=9,函数在0,2内的平均变化率为2.答案:2纠错心得正确理解平均变化率的概念对于函数y=f(x),当自变量由x1变化到x2时,相应的函数值也从y1变化到y2,此时自变量的改变量为x=x2-x1,函数值的改变量为y=y2-y1.探究一探究二思维辨析变式训练函数y=x2-2x+1在x=-2附近的平均变化率为()A.-6B.x-6C.-2D.x-2解析:设y=f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,y=f(-2+x)-f(-2)=(-2+x-1)2-(-2-1)2=(-3+x)2-9=(x)2-6x,
7、 =x-6,函数y=x2-2x+1在x=-2附近的平均变化率为x-6.答案:B1234 51.函数y=f(x)的自变量x由x0改变到x0+x时,函数值的改变量y等于()A.f(x0+x)B.f(x0)+xC.f(x0)xD.f(x0+x)-f(x0)解析:写出自变量x0和x0+x对应的函数值f(x0)和f(x0+x),两式相减,就得到了函数值的改变量.答案:D1234 52.函数f(x)=x2-1在x0到x0+x之间的平均变化率为()A.2x0-1B.2x0+xC.2x0x+(x)2D.(x)2-x+1答案:B1234 53.在x=1附近,取x=0.3,在四个函数y=x;y=x2;y=x3;y=中,平均变化率最大的是()A.B.C.D.解析:的平均变化率为1,的平均变化率为2.3,的平均变化率为3.99,的平均变化率约为-0.77.答案:B1234 5答案:x+5 1234 55.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.
