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1、高等几何试题（）1. 试确定仿射变换，使 轴， 轴的象分别为直线 ， ，且点（1，1）的象为原点.(yx01yx0yx)512. 利用仿射变换求椭圆的面积.( )013. 写出直线 + - =0, 轴, 轴,无穷远直线的齐次线坐标.( )12x3xy014. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.( )55. 已知 (1,2,3), (5,-1,2), (11,0,7), (6,1,5),验证它们共线,并求( )的值.( )ABCDCDAB,86. 设 (1,1,1), (1,-1,1), (1,0,1)为共线三点,且( )=2,求 的坐标.( )1P24P4321P3217. 叙述并证明帕普斯(P
2、appus)定理.( )018.一维射影对应使直线 上三点 (-1), (0), (1)顺次对应直线 上三点 (0), (1), (3),求这个对应lQRlQR的代数表达式.( )019.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.( )01高等几何试题（）1.求仿射变换 的不变点和不变直线. ( )42,17 yxyx 512. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.( )53.求证 (1,2,-1) , (-1,1,2), (3,0,-5)共线,并求 的值,使abcl( ) .3,21(imlcii 04.已知直线 的方程分别为 ， ，421, 321x0321x，且 ，求 的方程.( )0x),
3、(431ll55.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( )06.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底的交点自对应. ( )017.求两对对应元素,其参数为 1 ,0 2,所确定对合的参数方2程. ( )8.两个重叠一维基本形 成为对合的充要条件是对应点的参数 与 满足以下方程: BA, ( )0()(2 badba51高等几何试题（）1. 求仿射变换 的不变点和不变直线. ( )42,17 yxyx 512. 求椭圆的面积.( )03. 写出直线 + - =0, 轴, 轴,无穷远直线的齐次线坐123标.( )4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.( )515. 已知直线 的方
4、程分别为 ， ，421,l 023x0321x，且 ，求 的方程.( )0x),(431l2l56. 在一维射影变换中，若有一对对应元素符合对合条件，则这个射影变换一定是对合. ( ) 517. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系, 试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( )0220052006 第二学期期末考试试题高等几何试题（A）一、 填空题（每题 3 分共 15 分）1、 是仿射不变量， 是射影不变量2、 直线 上的无穷远点坐标为 0xy3、 过点（1,i,0）的实直线方程为 4、 二重元素参数为 2 与 3 的对合方程为 5、 二次曲线 过点 的切线方程 6140xy(1,2)P
5、二、 判断题（每题 2 分共 10 分）1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形 （ ）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变 （ ）3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边 （ ）4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集 （ ）5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线 （ ）三、(7 分) 求一仿射变换，它使直线 上的每个点都不变，且使点（ 1,-1）210xy变为（-1，2）四、 （8 分）求证:点 三点共线，并求(1,)(,)(3,5)ABC,ts使 23iiictasb五、(10 分) 设一直线上的点的射影变换是 证明变换有两个自对应点，且这两自对应点
6、与任一/24x对对应点的交比为常数。六、 （10 分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。七、 （10 分）（1）求点（5，1，7）关于二阶曲线 的极线2213132640xxx（2）已知二阶曲线外一点 求作其极线。 （写出作法，并画图）P八、 （10 分）叙述并证明德萨格定理的逆定理九、 （10 分）求通过两直线 交点且属于二级曲线1,3,51ab的直线221340u十、 （10 分）已知 是共线不同点，,ABPQR如果 ()1()1,(,)PAB求高等几何试题（B）一、 填空题（每题 3 分共 15 分）1、 仿射变换 的不变点为 /7142xy2、 两点决定一条直线的对偶命题为 3、
7、直线i ,2,1-i 上的实点为 4、 若交比 则 (,)ABCD(,)ABC5、 二次曲线中的配极原则 二、判断题（每题 2 分共 10 分）1、不变直线上的点都是不变点 （ ）2、在一复直线上有唯一一个实点 （ ）3、两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应 （ ） 4、射影群 仿射群 正交群 （ ）5、二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数 （ ） 三、(7 分)经过 的直线 与直线 相交于 ，求 (3,2)(6,1AB和 A360xyP()AB四、 （8 分）试证：欧氏平面上的所有平移变换的集合构成一个变换群五、 （10 分）已知直线 的方程1234,L分别为：
8、00,7,510xyxyxy求证四直线共点，并求 1234(,)六、(10 分)利用德萨格定理证明：任意四边形各对对边中点的连线与二对角线中点的连线相交于一点七、 （10 分）求（1）二阶曲线 的切线方程221310,1)xx5过 点 P(2（2）二级曲线 在直线 L1，4，1 上的切点方程221370u八、 （10 分）叙述并证明德萨格定理定理（可用代数法）九、 （10 分）已知二阶曲线（C）： 2211360xx（1） 求点 关于曲线的极线(1,2)P（2） 求直线 关于曲线的极点360x十、 （10 分）试证：圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束高等几何试题（C）一、填空题
9、（每题 3 分共 15 分）6、 直线 在仿射变换 下的像直线 20xy/213xy7、 轴 轴上的无穷远点坐标分别为 XY8、 过点（1,-i ,2）的实直线方程为 9、 射影变换 自对应元素的参数为 23010、 二级曲线 在直线上1,4,1的切点方程 2137u三、 判断题（每题 2 分共 10 分）1、仿射变换保持平行性不变 （ ）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变 （ ）3、线段中点与无穷远点调和分离两端点 （ ）4、 如果 点的极线过 点，则 点的极线也过 点 （ ）PQP5、不共线五点可以确定一条二阶曲线 （ ）三、(7 分)已知 轴上的射影变换 ，求坐标原点，无穷远点的对
10、应点 OX213x四、 （8 分）已知直线 的方程分别为 且 求,acd12312310,0xxx， 2(,)3abcd直线 的方程。b五、 （10 分）已知同一直线上的三点 求一射影变换使此三点顺次变为 并判断变换的类型，,ABC,BCA六、 （10 分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。七、 （10 分）求射影变换 的不变点坐标123x八、 （10 分）叙述并证明帕斯卡定理九、 （10 分）求通过两直线 交点且属于二级曲线1,51ab的直线221340u十、 （10 分）试证:双曲型对合的任何一对对应元素 ,与其两个二重元素 E,F 调和共轭即( )P,PEF=-1 参考答案高等几何标
11、准答案（ A）一、 填空题：（每空 3 分共 15 分）1、单比，交比 2、 （1,-3,0） 3、 4、0x 25()1205、 3760xx二、判断题（每题 2 分共 10 分）1、错，2、错，3、对，4、错，5、对三、解：在直线 上任取两点 2 分1xy(1,0),AB由 (,0)(,),)AB设仿射变换为 将点的坐标代入可解得1213xayy7 分23yx四、证明：因为 所以三点共线 4 分12035由： 解得 ,tstts1,2ts所以 8 分12()iicabi五、证明：令 解得 2304xxx由 得 12,x即有两个 自对应点 4 分设 k 与 对应，有 为常数 10 分 25(1),)k注：结果 有 也对，不过顺序有别。5六、证明：设两直线为： 12:,:aykxbykxb相似变换为
