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1、1高中数学探究性试题汇编课堂教学改革的目的，一是要打破传统教学束缚学生手脚的陈旧做法；二是要遵循现代教育以人为本的的观念，给学生发展以最大的空间；三是能根据教材提供的基本知识，把培养学生创新精神和实践能力作为教学的重点。数学探究性学习是以学生探究为基本牲的一种教学活动形式。具体是指在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以学生已有知识经验和生活经验为基础，以现行教材为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的一种教学活动形式。它可使学生学会学习和掌握科学方法，为
2、学生终身学习和发展奠定基础。探究性试题有助于数学思维的提高。1已知集合 是满足下列性质的函数 的全体：在定义域内存在 ，使得 成立。Mxf 0x1100fxff（）函数 是否属于集合 ？说明理由；xf1M（）设函数 ，求 的取值范围；alg2a（）设函数 图象与函数 的图象有交点，证明：函数 。xyxyMxf2解：（）若 ，在定义域内存在 ，则 ，f10 01100x方程 无解， 。020xxf1M（） ， 0122lgllg1lg 2222 axaaaMaf时， ； 时，由 ，得 。x053,53046 。 53,a（） ， 12)1(221211 01000100 000 xxxxfxff
3、又函数 图象与函数 的图象有交点，设交点的横坐标为 ，y2ya则 ，其中 。010xa0ax ，即 。00ffxf Mf22已知 是定义在 上的恒不为零的函数，且对于任意的 、 都满足：)(RxRy)yxffx（1）求 的值，并证明对任意的 ，都有 ；)0( Rx0)(xf（2）设当 时，都有 ，证明 在 上是减函数；x)0(ff,2（3）在（2）的条件下，求集合 中的最大元素和最小元素。)lim(,)(,)(,21 nnSfSffSL解：（1） 10,),0()0( ff)2(2,2xffxxQ（2）当 时，都有 6 分)(f当 ，即 时，有 ，21x021)0(21fxf1即 )(),)(
4、 22121 ffxff 1)0(22fxfQ 在 上是减函数。)xf,（3） 在 上是减函数， 是递增数列 数列 是递减数列。( nS)(nSf集合 中的最大元素为 ，最小元素为)lim(,)(,),21 nnffSf L 2)1(21fff。()lim(ffn3已知等差数列 中，公差 ，其前 项和为 ，且满足 ，na0dnnS14,45132aa（1）求数列 的通项公式；（2）通过 构造一个新的数列 ，是否存在一个非零常数 ，使 也为等差数列；cnSbnbcnb（3）求 的最大值。*)()205()1Nfn解：（1）等差数列 中，公差 ，a0d 。349514143232132 nadaa
5、（2） ， ，令 ，即得 ，nnS cnSb2121cnb2数列 为等差数列，存在一个非零常数 ，使 也为等差数列。nb nb（3） ， 2065120651205)205()1 nbfn ，87989445 3即 ， 时， 有最大值 。4205455nnf 1860942054已知数列 中， 且点 在直线 上.na,1NaP1, yx（1）求数列 的通项公式；（2）若函数 求函数,2,32)(1 nNannf 且L的最小值；n（3）设 表示数列 的前项和。试问：是否存在关于 的整式 ，使得nSab,nb g对于一切不小于 2 的自然数 恒成立？若存在，写出 的解gS11321L nng析式，
6、并加以证明；若不存在，试说明理由。 ,1 111()0,2,. 3n nn nPxyaaa QLL解 :（ ） 点 在 直 线 上 ， 即 且数 列 是 以 为 首 项 ， 为 公 差 的 等 差 数 列 。也 满 足 分2(),1134221()( 0,627()() 8fnfnfnnffLL（ ） ， 分是 单 调 递 增 的 ， 故 的 最 小 值 是 。 分11 22121123,),3(),()(). 3nnnnnnnbSSSSg QLLL（ ） 分即 ， ， , 分故 存 在 () 4g n关 于 的 整 式 ， 使 等 式 对 于 一 切 不 小 于 的 自 然 数 恒 成 立
7、分5设函数 ，函数 ，其中 为常数且 ，令函数 为函数 和xgaxh,3,0axfg的积函数。xh（1）求函数 的表达式，并求其定义域；xf（2）当 时，求函数 的值域；4axf（3）是否存在自然数 ，使得函数 的值域恰为 ？若存在，试写出所有满足条件的自然数 所构成f21,3 a的集合；若不存在，试说明理由。解：（1） ， 。31xf0,a（2） ，函数 的定义域为 ，令 ，则 ， ，4af41,tx21tx3,t4 ，2412tttFxf 时， ，又 时， 递减， 单调递增，t43,13,1tt4tF ，即函数 的值域为 。6,3tFxf6,（3）假设存在这样的自然数 满足条件，令 ，则
8、，at12412tttFxf ，则 ，要满足值域为 ，则要满足 ，0,ax.1t 2,3maxt由于当且仅当 时，有 中的等号成立，且此时 恰为最大值，t424t 21tF ，1,12a又 在 上是增函数，在 上是减函数， ，tF,1,2a311a90a综上，得 。91a6、已知二次函数 同时满足：不等式 的解集有且只有一个元素；在定义Rxxf2 0xf域内存在 ，使得不等式 成立。21021ff设数列 的前 项和 ，nanS（1）求数列 的通项公式；（2）试构造一个数列 ， （写出 的一个通项公式）满足：对任意的正整数 都有 ，且nbn nnab，并说明理由；limnba（3）设各项均不为零
9、的数列 中，所有满足 的正整数 的个数称为这个数列 的变号数。令nc01icinc（ 为正整数） ，求数列 的变号数。nnac1n解：（1） 的解集有且只有一个元素， ，0xf 4042aa或当 时，函数 在 上递增，故不存在 ，使得不等式 成立。2xf,0210x21xff当 时，函数 在 上递减，故存在 ，使得不等式 成4a42, 5立。综上，得 ， ， ， 4a42xf 42nSn（2）要使 ，可构造数列 ，对任意的正整数 都有 ，limnbkbn nab当 时， 恒成立，即 恒成立，即 ，52k5325k又 ， ， ，等等。0n*N3n（3）解法一：由题设 ，2,541,cn 时， ，
10、 时，数列 递增，n0325831 nnn 3nnc ，由 ，可知 ，即 时，有且只有 个变号数；034a05244a1又 ，即 ，此处变号数有 个。,321cc 0,321cc 2综上得 数列 共有 个变号数，即变号数为 。n解法二：由题设 ，2,541,ncn时，令 ；2n 429275307901 nnn 或或又 ， 时也有 。,321c21c综上得 数列 共有 个变号数，即变号数为 。n 37已知复数 ，iaaz45622（1）当 时，求 的取值范围；,iz12（2）是否存在实数 ，使得 ，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。a0a解：（1） ， 。2, 425,021664152
11、22 aiaz（2） （理） ， 为纯虚数，02zzaa0253415268已知 为正常数。axaxf ,2,213（1）可以证明：定理“若 、 ，则 （当且仅当 时取等号） ”推广到三个正数时Rbabba结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明） ；（2）若 在 上恒成立，且函数 的最大值大于 ，求实数 的取值范围，并由此猜测0xf2, xf1的单调性（无需证明） ；y（3）对满足（2）的条件的一个常数 ，设 时， 取得最大值。试构造一个定义在a1xf上的函数 ，使当 时， ，当 时，NkxD,24,且 g2,xfgD取得最大值的自变量的值构成以 为首项的等差数列。xg1x解：（1）若 、
12、 、 ，则 （当且仅当 时取等号） 。abRc3abccba（2） 在 上恒成立，即 在 上恒成立，02213xaxxf 2, 21x,0 ， ，即 ，,02又 323222222 3111 axaxaxaxxf ，即 时， ，221xax36 26264629196333max aaf又 ， 。 综上，得 。36,0,0a,易知， 是奇函数， 时，函数有最大值， 时，函数有最小值。xfx36ax36故猜测： 时， 单调递减； 时， 单调递增。2,2axf ,xf（3）依题意，只需构造以 为周期的周期函数即可。4如对 ， ，此时 ，Nkkx, 2,4kkfkxg4即 。Nkxag ,21329
13、已知函数 ， ，bxf421axgRb,（）当 时，若 在 上单调递增，求 的取值范围；0bf,7（）求满足下列条件的所有实数对 ：当 是整数时，存在 ，使得 是 的最大值， 是ba, 0x0xff0xg的最小值；xg（）对满足（）的条件的一个实数对 ，试构造一个定义在 ，且 上, 2|xDNkx,2的函数 ，使当 时， ，当 时， 取得最大值的自变量的值构成以xh0,2xfhh为首项的等差数列。0解：（）当 时， ，bxaxf42若 ， ，则 在 上单调递减，不符题意。af,故 ，要使 在 上单调递增，必须满足 ， 。0xf,2240a1（）若 ， ，则 无最大值，故 ， 为二次函数，axbf24fxf要使 有最大值，必须满足 ，即 且 ，xf 02a51b此时， 时， 有最大值。ab204xf又 取最小值时， ，依题意，有 ，则xgx0 Zab24，222 154bba 且 ， ，得 ，
