[数学]第24章圆全章教案

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1、第二十四章 圆241 圆（第一课时）教学内容1圆的有关概念2垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用教学目标了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解重难点、关键1重点：垂径定理及其运用2难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题教学过程一、复习引入（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学）1举出生活中的

2、圆三、四个2你能讲出形成圆的方法有多少种？老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆二、探索新知从以上圆的形成过程，我们可以得出：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周， 另一个端点所形成的图形叫做圆固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径以点 O 为圆心的圆，记作 “O ”，读作“圆 O”学生四人一组讨论下面的两个问题：问题 1：图上各点到定点（圆心 O）的距离有什么规律？问题 2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？老师提问几名学生并点评总结（1）图上各点到定点（圆心 O）的距离都等于定长（半径

3、 r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点组成的图形同时，我们又把连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段 AC，AB；经过圆心的弦叫做直径，如图 24-1 线段 AB； 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以 A、C 为端点的弧记作 ”，读作“圆弧AC”或“弧 AC”大于半圆的弧（如图所示 叫做优弧， 小于半圆的弧（如图所示）ACB或 叫做劣弧B BA CO圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆（学生活动）请同学们回答下面两个问题1圆是轴对称图形吗？如

4、果是，它的对称轴是什么？ 你能找到多少条对称轴？2你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流（老师点评）1圆是轴对称图形，它的对称轴是直径， 我能找到无数多条直径3我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的因此，我们可以得到：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线（学生活动）请同学按下面要求完成下题：如图，AB 是O 的一条弦，作直径 CD，使 CDAB，垂足为 M（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是 CD（2）AM=BM， ， ，即直径 CD 平分弦 AB，ACBD

5、并且平分 及 这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径 CD、弦 AB 且 CDAB 垂足为 M求证：AM=BM， ， .ACBD分析：要证 AM=BM，只要证 AM、BM 构成的两个三角形全等因此，只要连结 OA、OB或 AC、BC 即可证明：如图，连结 OA、OB，则 OA=OB在 Rt OAM 和 RtOBM 中OABMBA COMBA CDOM CEDO FBA CEDONMRt OAM Rt OBMAM=BM点 A 和点 B 关于 CD 对称O 关于直径 CD 对称当圆沿着直线 CD 对折时，点 A 与点 B

6、重合， 与 重合， 与 重合CADB ，CD进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（本题的证明作为课后练习）例 1如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中 ，点 O 是 的圆心， 其中CDCD=600m，E 为 上一点，且 OECD，垂足为 F，EF=90m，求这段弯路的半径CD分析：例 1 是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握解：如图，连接 OC设弯路的半径为 R，则 OF=（R-90）mOECDCF= CD= 600=300（m）12根据勾股定理，得：OC 2=CF2+O

7、F2即 R2=3002+（R-90） 2 解得 R=545这段弯路的半径为 545m三、巩固练习教材 P86 练习 P88 练习四、应用拓展例 2有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图 24-5 所示，正常水位下水面宽 AB=60m，水面到拱顶距离 CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽 MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由分析：要求当洪水到来时，水面宽 MN=32m是否需要采取紧急措施， 只要求出 DE 的长，因此只要求半径 R，然后运用几何代数解求 R解：不需要采取紧急措施设 OA=R，在 RtAOC 中，AC=30，CD=18R2=302+（R-18） 2 R2=900+R2-36R+3

8、24解得 R=34（m）连接 OM，设 DE=x，在 RtMOE 中，ME=16342=162+（34-x） 2162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0解得 x1=4，x 2=64（不合设）DE=4 不需采取紧急措施五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1圆的有关概念；2圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴3垂径定理及其推论以及它们的应用六、布置作业1教材 P94 复习巩固 1、2、32车轮为什么是圆的呢？3垂径定理推论的证明4选用课时作业设计第一课时作业设计一、选择题1如图 1，如果 AB 为O 的直径，弦 CDAB，垂足为 E，那么下列结论中，

9、 错误的是（ ）ACE=DE B CBAC=BAD DACADD BAC E DOBAOMBACDPO(1) (2) (3)2如图 2，O 的直径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，则弦 AB 的长是（ ）A4 B6 C7 D83如图 3，在O 中，P 是弦 AB 的中点，CD 是过点 P 的直径， 则下列结论中不正确的是（ ）AABCD BAOB=4ACD C DPO=PDAB二、填空题1如图 4，AB 为O 直径，E 是 中点，OE 交 BC 于点 D，BD=3，AB=10，则 AC=_ BAC EDOBACEDOF (4) (5)2P 为O 内一点， OP=3cm，

10、O 半径为 5cm，则经过 P 点的最短弦长为_； 最长弦长为_3如图 5，OE、OF 分别为O 的弦 AB、CD 的弦心距，如果 OE=OF，那么_（只需写一个正确的结论）三、综合提高题1如图 24-11，AB 为O 的直径，CD 为弦，过 C、D 分别作 CNCD、DM CD， 分别交AB 于 N、M ，请问图中的 AN 与 BM 是否相等，说明理由2如图，O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=2，EB=6，DEB=30，求弦 CD 长BA CEDO3（开放题）AB 是O 的直径，AC、AD 是O 的两弦，已知 AB=16，AC=8，AD=8 ， 求DAC 的度数课后反思：24.

11、1 圆(第 2 课时)教学内容1圆心角的概念2有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等3定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等， 那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等教学目标了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相

12、等，最后应用它解决一些具体问题重难点、关键BAC DON M 1重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对弦也相等及其两个推论和它们的应用2难点与关键：探索定理和推导及其应用教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下题已知OAB，如图所示，作出绕 O 点旋转 30、45、60的图形 BAO老师点评：绕 O 点旋转， O 点就是固定点，旋转 30，就是旋转角BOB=30二、探索新知如图所示，AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：如图所示的O 中，分别作相等的圆心角 AOB 和A OB 将圆心角AOB 绕圆心 O 旋

13、转到A OB 的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？= ，AB=ABA理由：半径 OA 与 OA重合，且AOB=A OB半径 OB 与 OB重合点 A 与点 A重合，点 B 与点 B重合 与 重合，弦 AB 与弦 AB 重合B = ，AB=AB因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？ 请同学们现在动手作一作（学生活动）老师点评：如图 1，在O 和O 中， 分别作相等的圆心角AOB 和AOB 得到如图 2，滚动一个圆，使 O 与 O重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得 OA 与 OA重合BBAAOBAO O

14、(O)OOB ABBO(O)OOB AAA(1) (2)你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？我能发现： = ，AB=A /B/AB现在它的证明方法就转化为前面的说明了， 这就是又回到了我们的数学思想上去呢化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等， 所对的弦也相等在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等， 所对的弧也相等（学生活动）请同学们现在给予说明一下请三位同学到黑板板书，老师点评例 1如图，在O 中， AB、CD 是两条弦，OEAB，OFCD，垂足分别为 EF（1）如果AOB=COD ，那么 OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果 OE=OF，那么 与 的大小有什么关系？AB 与 CD 的大小有什么关系？ 为什ABCD么？AOB 与COD 呢？ OBA CE DF分析：（1）要说明 OE=OF，只要在直角三角形 AOE 和直角三角形 COF 中说明 AE=CF，即说明 AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可（2）OE=OF，在 RtAOE 和 RtCOF 中，又有 AO=CO 是半径， Rt AOE Rt