索赔次数分布的拟合与应用

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1、精算知识讲座 精算通讯第四期- 35 -索赔次数分布的拟合与应用韩天雄华东师范大学统计系1 索赔次数分布风险有两个主要因素：其一是在一定期内危险事故可能发生的次数，即索赔次数；其二是每次事故可能损失的大小，即索赔金额。这两个量都是不确定的，它们各自反映了风险的可能性的严重性。风险的数量特征是在这两个量的乘积中得到体现的，因此它也具有不确定性。我们将通过实例来介绍如何确定索赔次数分布。表 1 的资料取自 Johnson 与 Hey 的论文（1971） ，它记述了 1968 年英国的 421240 张机动车综合保险单中的 0,1,2,3,4,5 次索赔频率数。表 1：索赔频率数索赔次数 x 观察到

2、的保单数 m0 3704121 465452 39353 3174 285 3计算可得，索赔次数平均值 mxX，方差 。1374.022)(1385.0当索赔事件满足下列三个假定：1每一时间区间中索赔次数是相互独立的。2一次事故仅有一次索赔。3事故发生的确切时间是不确定的。我们有把握的说，索赔次数服从泊松分布。此时，索赔次数 k 的概率： ),210(,!)(LkenP其中 n 为参数。按照泊松分布的性质，它的均值与方差都为 n。利用这个性质与表 1 的资料，我们将索赔次数拟合成以参数 n=0.13174 的泊松分布。利用概率公式 以及递推公式 nkeP!)( )(kP,可计算出索赔次数 k=

3、0,1,2,3,4,5 的概率1k值： 876591.0134.7.0!134.)0( eePo5926.2.)(20341731.4.)(4P55将这些概率值乘上保单数目 421240，则得到了泊松分布条件下索赔频数（见表 2） 。从表中可见，拟合得并不理想。显而易见的事实是，表 1 资料中得到的索赔次数均值 0.13174 与方差 0.13852 不等，所以它只能是近似地服从泊松分布。而深层次的原因是索赔事件未能完全满足三个假定。例如，在恶劣的气候条件下，路况变坏，那么很难保证索赔次数独立性假定。另外，汽车相撞事件也使条件 2不能成立。在索赔次数均值为 0.13174 的 421240 张

4、保单中，最可能的事实是风险的不同质，即某些保单持有人风险状况很糟，而另一些持有人风险状况很好。它与汽车类型、用途、使用时间、行驶里程和驾驶技术有关。用负二项分布来描述非同质的索赔次数分布是常见的。负二项分布索赔次数 k 的概率：， （k=0,1,2,）其中kakPCP)1()(a，P 为参数。按照负二项分布的性质，其均值和方差分别为 和 。利用这个性质和表 12的资料，我们将索赔次数拟合成负二项分布。具体操作方法为：令 13852.)(7402Pa将第一式除以第二式可计算出参数 P=0.9510539，再代入原式求出参数 a=2.5597912。利用概率公式： kakC)1()(以及由它而导出

5、的递推公式： 1PP精算知识讲座 精算通讯第四期- 36 -可计算出在负二项分布条件下，索赔次数 k=0,1,2,3,4,5的概率值： 879451.0 )048961.(59712.)03.(2)(ooCP.1.6.)( 0962.2597.3.2P7145.4086.)(3098.597.1.4 23.6048.)(5P将这些概率值乘上保单数 421240，得到了负二项分布条件下索赔频数（表 2） ，很明显，它提供了比泊松分布更好的拟合。表 2：机动车综合保险索赔次数分布拟合的频数索赔次数观察到的保单数目 泊 松 负二项混合泊松0 370412 369246 370460 3704601

6、46545 48644 46411 464182 3935 3204 4045 40363 317 141 301 3064 28 5 21 205 3 0 1 1描述风险不同质的另一常用技术是混合泊松分布方法，以本文所提到的英国机动车辆综合保险为例，虽然平均索赔次数为 0.13174，但是天气状况明显影响索赔次数的均值。譬如，下雪天平均索赔次数将为平常的 q1 倍（如 q1=3） ，而全年中下雪天概率为 h1（如 h1=0.03） ；下雨天平均索赔次数为平常的 q2 倍（如 q2=1.2） ，而全年下雨的概率为 h2（如h2=0.2） ；晴天平均索赔次数仅为平常的 q3 倍（如q3=0.87

7、） ，而全年晴天的概率为 h3（如 h3=0.77） 。上述情况可记为： ,1)(iP我们称 q 为混合变量。按照概率论，我们要求，并且 即有：1hh7.023.218.103 引入混合变量 q 后的分布称为混合泊松分布。全年索赔次数分布可看作雪天服从参数为 nq1 的泊松分布，雨天服从参数为 nq2 的泊松分布和晴天服从参数为nq3 的泊松分布的组合。在混合泊松分布中，可以证明均值为 n，方差为 索赔次数 k 的概qn2率公式：。L,10,!)()()( ekhPkii iinq有人曾经用表 1 的资料，利用 ， ，hiq均值 n 方差 及概率公式求出参数（此处混2合变量 q 仅取二个值）：

8、q1=0.65341 h1=0.76519q2=2.1293 h2=0.23481则 )()()(1kPkhPnqn2805.0861. !).0(34.!.7659.0 ekek=0,1,2,3,4,5同样，将所得概率值乘保单数 421240 得到混合泊松分布条件下索赔数（表 2） ，从表中比较可见，拟合情况略好于负二项分布。一般而言，当混合变量 q取值越多时，拟合的结果将更令人满意。当然，计算量也将随之增加。研究索赔次数的分布，它的优越性在于分布仅由少量参数所概括，而不必再与冗长的观察数据打交道。即使在观察值数据很少和或难以得到的情况下，我们也能通过假定对索赔次数进行数量分析。当得到分布后

9、，那么概率论中许多定理、性质可以利用，它将有助于许多问题的分析，解决保险业中所遇到的问题。2 应用举例有了索赔次数的数量描述，可以使保险人据此推断某些保险责任的规律，也有助于问题的理论分析。同质风险的索赔次数服从泊松分布。只要计算出过去的每张保单平均索赔次数 n，那么用 n 近似代替泊松分布的平均值，就可预测未来每张保单索赔次数 k 的概率 )2,10(,!)(LkekPn上述公式在实际计算中有一定的困难。如果某一险种共有 K 份保单，那么该险种的总索赔次数 X为一随机变量，平均总索赔次数为 nK。按照中心极限定理，只要 nK5，那么 就近似服从标准正nkX态分布，而该分布可通过查标准正态分布

10、函数表轻精算知识讲座 精算通讯第四期- 37 -而易举地得到计算结果。一、 保险公司是否应该调整费率问题一、某保险公司某险种的纯费率是以每张保单平均索赔次数 n=0.01，平均赔款额 1 万元为计算基础的。但是 1995 年该公司承保的 K=900 份保单共发生了 12 次索赔，假定平均索赔估计正确，现在的 12 次索赔比预期的 9 次（nK=9）高出 33%，问1996 年是否应该提高费率？假定平均索赔次数 n=0.01 是正确的，那么我们利用索赔次数分布来计算总索赔次数 X 为 12 或更多次概率 是多少。)12(XP该险种总索赔次数 X 将服从以均值为9(0.01900)的泊松分布，因而

11、 L!139!2)(19e计算上式太难，由中心极限定理， 服从标准正态分布，所以 )1()(1)2(1)2( 0920XP6587.43.0其中 为标准正态分布函数， 的数值0x可查表获得。计算表明，该公司每 6 年会有一年发生 12 次或更多次的索赔事件。一般来说，这是正常的。要提高费率必须用更强的统计数据来证明。问题二、如果该公司在 1996 年承保的 900 份保单中又发生了 13 次索赔，这样 95 年与 96 年共赔付了 25 次，比预期 18 次（20.01900）多了 7 次，问该公司 97 年是否应该提高费率？同上道理，如果平均索赔次数 n=0.01 正确，那么这两年的总索赔次

12、数应该服从均值为 18 泊松分布，再简化计算得到发生 25 次或更多次索赔的概率L!2618!5)2(218eeXP)()(1850200.9. 计算表明，1995 年96 年发生 25 次索赔的可能性仅 20 年一遇，这是很少见的，因此我们不得不怀疑原来的平均索赔次数 0.01 的正确性（它是计算费率基础之一） ，所以公司可以考虑新修正平均索赔次数 n，而提高费率。二、 索赔次数的预测问题三、该公司对某险种以平均索赔次数 0.01计算纯保费率，在 1997 年该公司可能承保 900 份保单，问：（1）最多索赔次数为 15 的可能性，即?)15(XP（2）以 95%的把握推断，最多索赔次数 k

13、，即%9k根据前面所述的原理，（1） !159!1!0)5(9eeL4.)2(91XP即该公司 1997 年索赔次数最多为 15 次的可能性仅 5.4%。（2） )()()( 909kkXk因为 ，所经以 。由%5%5于 得到 即 次。9)6.1(0 6.19k4只要平均索赔次数 0.01 估计正确，那么该公司有 95%的把握断言，1997 年最多索赔 14 次。三、 财务预测问题四、某寿险公司承保了 10000 张同质风险的一年期死亡保险单。已知该类人在一年内死亡的概率为 0.005，每个投保者年初缴保险费 6 元（不计管理费） ，死亡保险金额为 1000 元。问此项业务中公司亏损的可能性如

14、何？公司获利不少于 10000 元的可能性又如何？公司若有准备金 5000 元，该业务无法履行赔付责任的可能性又如何？每个保单持有人服从死亡率为 0.005 的二项分布。对于具有相同分布的这 10000 名保单持有人，年内死亡总数 X 是一个随机变量，由中心极限定理， X服从均值为 50(0.00510000)，标准差为的正态分布，75.4910)95.(0. 也就是 服从标准正态分布。公司在该项保险业7.4务中收入为 60000 元（610000） ，故仅当死亡人数多于 60 人时才会亏损(601000=60000) 。当死亡人数不超过 50 人时，该项业务获利不少于 10000 元（100

15、00+1000 5060000 元） 。仅当死亡人数多于65 人时，该项业务才可能无力偿付（100065=5000+60000） 。根据以上分析，我们得到精算知识讲座 精算通讯第四期- 38 - )60(1)60(XP)(75.490675.49.512082即该项业务亏损的可能性为 8%，大约 12 年一遇。 )()(75.490.5X)0即该项业务获利 10000 元的可能性为 50%，大约 2年一遇。 )6(1)65(P)13.(075.490683即该险种若有准备金 5000 元，那么该项业务无力偿付可能性为 1.7%，大约 60 年一遇。综上所述，该险种业务质量很好，财务稳定。四、 责任准备金计算问题五、财产险公司某项保险责任为 1000 份保单，保险金额为固定的 10000 元，每份保单平均索赔次数 n=0.01，安全附加系数以 0.1 计算，问公司若希望以 99%把握保证偿付能力，它应该有多少责任准备金？公司同样希望以 99%把握保证偿付能力，但是又不建立责任准备金，它必须扩展此项业务到多少份保单？1000 份保单的总索赔次数 X 服从均值为10(0.011000)的泊松分布，为简化计算， 服从10X标准正态分布。该项业务保险费总收入（包括安全附加）为(1+0.