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1、不定方程初等数论与奥数第五讲不 定 方 程 湖南省江永县潇浦中学机密 第 2 页 共 40 页 2018-2-15初等数论与奥数第五讲不 定 方 程 目录一 、历 史 概 述 及 重 要 定 理 和 方 法 .31、不 定 方 程 （INDETERMINATE EQUATION）的 定 义 ：.32、不 定 方 程 问 题 的 常 见 类 型 .43、一 次 不 定 方 程 .4二 元 一 次 不 定 方 程 ： .4三 元 一 次 不 定 方 程 ： .5多 元 一 次 不 定 方 程 ： .75、二 次 不 定 方 程 .86、高 次 不 定 方 程 .97、解 不 定 方 程 问 题 常
2、 用 的 解 法 .108、二元多项式不定方程 .109、指数型方程： .1210、未知数多于 2 个的整多项式型方程以及 带有阶乘符号的方程： .12二 、一 些 特 殊 方 程 的 求 解 方 法 .121、解 一 次 不 定 方 程 的 方 法 与 技 巧 ： .122、解 高 次 不 定 方 程 （组 ）的 方 法 与 技 巧 .133、解 特 殊 的 不 定 方 程 的 方 法 与 技 巧 .14三 、简 单 例 题 .15四 、复 杂 例 题 .20五 、二 元 一 次 不 定 方 程 的 一 个 特 解 的 矩 阵 解 法 ： .30六 、与 不 定 方 程 相 关 的 知 识
3、简 介 .331、多 项 式 不 定 方 程 与 代 数 几 何 .332、进 展 与 学 科 联 系 .343、不 定 方 程 的 相 关 趣 闻 费 尔 马 .34机密 第 3 页 共 40 页 2018-2-15第 5 讲 不 定 方 程Lecture 5 Indeterminate equation一 、历 史 概 述 及 重 要 定 理 和 方 法1、不 定 方 程 （indeterminate equation）的 定 义 ：不 定 方 程 是 数 论 中 最 古 老 的 分 支 之 一 ，它 有 着 悠 久 的 历 史 与 丰 富 的 内 容 。所 谓 不 定 方 程 是 指 解
4、 的 范 围 为 整 数 、正 整 数 、有 理 数 或 代 数 整 数 的 方 程 或 方程 组 ，其 未 知 数 的 个 数 通 常 多 于 方 程 的 个 数 。古 希 腊 数 学 家 丢 番 图 于 三 世 纪 初 就 研 究 过 若 干 这 类 方 程 ，所 以 不 定 方 程又 称 丢 番 图 方 程 ，是 数 论 的 重 要 分 支 学 科 ，也 是 历 史 上 最 活 跃 的 数 学 领 域 之一 。不 定 方 程 的 内 容 十 分 丰 富 ，与 代 数 数 论 、几 何 数 论 、集 合 数 论 等 等 都 有较 为 密 切 的 联 系 。Diophantus，古 代 希
5、腊 人 ，被 誉 为 代 数 学 的 鼻 祖 ，流 传 下 来关 于 他 的 生 平 事 迹 并 不 多 。他 有 三 本 著 作 ，其 中 最 有 名 的 是 算 术 ，当 中 包含 了 189 个 问 题 及 其 答 案 ，而 许 多 都 是 不 定 方 程 组 (变 量 的 个 数 大 于 方 程的 个 数 )或 不 定 方 程 式 (两 个 变 数 以 上 的 方 程 )。丢 番 图 只 考 虑 正 有 理 数 解 ，而 不 定 方 程 通 常 有 无 穷 多 解 的 。今 天 我 们 称 整 系 数 的 不 定 方 程 为“Diophantus 方 程 ”，内 容 主 要 是 探 讨
6、 其 整 数 解 或 有 理 数 解 。1969 年 ，莫 德 尔较 系 统 地 总 结 了 这 方 面 的 研 究 成 果 。机密 第 4 页 共 40 页 2018-2-15丢 番 图 数 书 九 章 大 衍 类研 究 不 定 方 程 要 解 决 三 个 问 题 ： 判 断 何 时 有 解 。 有 解 时 决 定 解 的 个数 。 求 出 所 有 的 解 。中 国 是 研 究 不 定 方 程 最 早 的 国 家 ，公 元 初 的 五 家 共 井问 题 就 是 一 个 不 定 方 程 组 问 题 ，公 元 5 世 纪 的 张 丘 建 算 经 中 的 百 鸡 问 题标 志 中 国 对 不 定
7、方 程 理 论 有 了 系 统 研 究 。秦 九 韶 的 大 衍 求 一 术 将 不 定 方 程与 同 余 理 论 联 系 起 来 。百 鸡 问 题 说 ：“鸡 翁 一 ，直 钱 五 ，鸡 母 一 ，直 钱 三 ，鸡 雏三 ，直 钱 一 。百 钱 买 百 鸡 ，问 鸡 翁 、母 、雏 各 几 何 ？ ”。设 、 、 分 别 表 示xyz鸡 翁 、母 、雏 的 个 数 ，则 此 问 题 即 为 不 定 方 程 组 的 非 负 整 数 解 、 、 ，这是 一 个 三 元 不 定 方 程 组 问 题 。公 元 前 后 的 孙 子 算 经 中 有 “物 不 知 数 ”问 题 ：“今 有 物 不 知 其
8、 数 ，三 三 数 之 余 二 ，五 五 数 之 余 三 ，七 七 数 之 余 二 ，问 物 几 何 ？”答 为 “23”。也 就 是 求 同 余 式 组 2 （mod3）， 3 （mod5 ）， 2 （mod7）xxx式 中 （mod ）表 示 整 除 的 正 整 数 解 。明 朝 程 大 位 用 歌 谣 给abab出 了 该 题 的 解 法 ：“三 人 同 行 七 十 稀 ，五 树 梅 花 廿 一 枝 ，七 子 团 圆 月 正 半 ，除机密 第 5 页 共 40 页 2018-2-15百 零 五 便 得 知 。”即 解 为 270 321 21523323(mod105）。这 也 是 一x个 不
