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1、不等式的应用(1)方程根的讨论教案教学目标1能应用不等式的有关知识，对一元二次方程的实根分布进行讨论2借助二次函数的图象进行实根分布的讨论，培养学生数形结合的思想3能将实根分布等价转化为不等式(组) 的求解问题，体现等价转化的数学思想教学重点与难点重点：借助二次函数的图象将一元二次方程实根分布的条件等价转化为由方程或不等式组成的条件组难点：寻求实根分布条件的等价转化教学过程设计(一 )引入新课师：前阶段我们研究了不等式的性质，不等式的解法以及不等式的证明现在我们一起研究不等式在方程根的讨论问题上的应用(板书：不等式的应用方程根的讨论)师：请同学们思考此题的解法(出示小黑板或投影幻灯片)练习：实
2、数 m 取何值时，方程x 22mx2m 230 有：(1)两个正根？ (2)一个正根，一个负根？(教师巡视后，发现学生中的不同解法，肯定正确方法，纠正偏差)生乙：(1) 由一元二次方程根与系数的关系可知：方程(1) 有两个正根的充要条件是：师：本题有多种不同的解法：生甲应用求根公式；生乙应用根与系数的关系( 韦达定理 )不难看出，方程的实根分布问题的讨论可以等价转化为解不等式(组) ，但是不等式 (组)是否与原命题等价是解题正确与否的关键师：由于一元二次方程，一元二次不等式与二次函数三者有着密切的联系，是否可以考虑应用二次函数的图象与性质？(二 )讨论生：一元二次方程的实根是相应的二次函数的图
3、象与 x 轴的交点的横坐标，讨论一元二次方程实根的分布问题可转化为讨论二次函数的图象与 x 轴的交点的位置问题师：不妨设 y=f(x)=x22mx2m 23，这是二次函数，其图象是开口向上的抛物线(如图 56)，若方程有两个正根，即抛物线 y=f(x)与x 轴正半轴有两个交点，或与 x 轴正半轴相切，其充要条件是什么？生：首先判别式 0，这样可以保证抛物线与 x 轴有两个交点，或与 x 轴相切师：满足 0 的条件，如图 57 抛物线与 x 轴的两个交点，一个在 x 轴正半轴上，而另一个在 x 轴负轴上可这两个交点应都在 x 轴正半轴上生：图 56 与图 57 比较发现，抛物线与 y 轴的交点应
4、在正半轴上，即在 y 轴上的截距大于 0师：如何计算抛物线在 y 轴上的截距？生：抛物线在 y 轴上的截距为 f(0)，因此 f(0)0师：比较图 56 与图 58，寻找其差别之处，还应添加什么条件？生：两图象的主要不同之处在于对称轴的位置不同，图 56 所示抛物线的对称轴在 y 轴右侧，而图 58 所示抛物线的对称轴在 y 轴左侧，因此在条件中应添加对称轴 x=m0 的条件师：这样我们就得到了抛物线y=f(x)=x22mx2m 23与 x 轴正半轴有两个交点，或与 x 轴正半轴相切，即方程x22mx2m 230，有两个正根的充要条件是：师：若方程有一个正根，一个负根，抛物线与 x 轴的交点位
5、置又如何？其所对等价条件应考虑几方面？生：若方程有一个正根，一个负根，抛物线 y=f(x)与 x 轴有两个交点，分别位于原点的两侧如图 59 首先应考虑判别式 0，还需考虑抛物线在 y 轴上的截距小于 0，即 f(0)0师：当 f(0)0 时，请同学们试一试抛物线 y=f(x)与 x 轴是否一定有两个交点？并且这两个交点是否一定位于原点的两侧？(要教给学生思考问题的方法，即原命题与其逆否命题是等价命题因此，只须考虑抛物线 y=f(x)与 x 轴没有两个交点(包括无交点和一个交点的两种情况)时，f(0) 0 是否成立；这两个交点位于原点的同侧或有一点在原点上，f(0)0 是否成立这样，学生就可以
6、通过作图，直观得出结论，既省去了繁琐的证明过程，又培养了数形结合的思想，可谓一举两得学生不难得出以下 5 种图形，(如图 510514)，从而得出肯定的结论)(板书 )师：因此，抛物线 y=f(x)=x22mx2m 23 与 x 轴有两个交点，且分别位于原点两侧，即方程 x22mx2m 23=0，有一个正根，一个负根的充要条件师( 小结) ：关于一元二次方程的实根分布问题通常有三种不同的处理方法：(1)应用求根公式法；(2) 应用根与系数的关系 (韦达定理)；(3)应用二次函数的图象与性质(三 )巩固(板书 )例 1 m 取何实数值时，关于 x 的方程x2 (m2)x5m=0的两个实根都大于
7、2？(在学生充分思考的前提下，发现错误，在及时分析、纠正错误的同时，使学生分析解决问题的能力得以提高)师：同学中有这样一种作法：解：设方程的两根为 x1，x 2比较此答案与应用二次函数图象所得答案5m4 不符，究竟问题出在哪里？(此时，利用此题训练学生举反例的能力，从而培养学生批判的思维品质)生：取 m=54，方程变为 x27x10=0 ，这时有一根为 2，不符合题意，因此解法错误(板书 )正确解法 1：(应用韦达定理)所以原方程两个实根都大于 2 的充要条件是所以当5m4 时，方程的两个实根都大于 2正确解法 2：(应用二次函数)设 f(x)=x2(m2)x 5m，如图 515 原方程两个实
8、根都大于 2的充要条师：若 m 为何实数时，方程的一个实根大于 2，另一个实根小于2，又将如何解决呢？(由学生自己解决，教师点评解法)解法 1：(利用韦达定理)所以原方程的两个根一个大于 2，另一个小于 2 的充要条件是：(x12)(x 22)0解得：m 5所以当 m5 时，方程的一个实很大于 2，另一个实根小于 2解法 2：(应用二次函数)设 f(x)=x2(m2)x 5m，如图 516，原方程一个实根大于2，另一个实根小于 2 的充要条件是 f(2)0，即 42(m2)5m0解得 m5所以当 m5 时，方程的一个实根大于2，另一个实根小于 2(板书 )例 2 已知关于 x 方程：x22ax
9、a=0有两个实根 ，且满足 01，2，求实数 a 的取值范围师：利用求根公式，将 01，2 转化为关于 a 的不等式组，求 a 的取值范围，计算将会很繁琐而利用根与系数关系进行转化时，很难得到充要条件因此，考虑利用二次函数图象，数形结合寻找问题解决的充要条件设 y=f(x)=x22axa,如图 517,若方程 f(x)=0 的两根分别在区间(0,1)和(2,)内，即抛物线 y=f(x)与 x 轴的两个交点在分别位于原点与点(1，0)之间和点 (2，0)的右侧，由先前的经验可知，只需考虑 f(0)，f(1)，f(2)的符号，而无需考虑判别式以及对称的位置，因此得出其充要条件为：(板书 )解：设
10、f(x)=x22axa，则方程 f(x)=0 的两个根 ， 就是抛物线 y=f(x)与 x 轴的两个交点的横坐标，如图517，01，2 的充要条件是：(四 )小结1讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结为不等式(组)的求解问题，其方法有 3 种：(1)应用求根公式；(2) 应用根与系数关系； (3)应用二次函数图象在进行转化时，应保证这种转化的等价性2就这三种方法而言，应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法设 f(x)=ax2bxc(a 0)，方程 ax2bxc=0 的两个根为，( )，m ，n 为常数，且 nm，方程根的分布无外乎两种情况：3在确定充要条件时，注意数形结合，往往收到
11、事半功倍的效果(五 )作业1已知关于 x 的方程 3x2(m5)x 7=0 的一个根大于 4，而另一个根小于 4，求实数 m 的取值范围一根大于 4，另一根小于 4 的充要条件是：f(4)0)2已知关于 x 的方程 x22mx2m3=0 的两个不等实根都在区间(0，2)内，求实数 m 的取值范围3已知关于 x 的方程 3x25xa=0 的有两个实根 ，满足条件 ( 2， 0)，(1，3)，求实数 a 的取值范围( 12a0提示：令 f(x)=3x25xa ，由图象特征可知方程 f(x)=0 的两* 4已知关于 x 的方程(m1)x 22mxm 2m6=0 有两个实根，且满足 01，求实数 m
12、的取值范围则方程 f(x)=0 的两个根 ，就是抛物线 y=f(x)与 x 轴的两个交点的横坐标如图 518，01 的充要条件是课堂教学设计说明1数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，简单地说就是“数”与“形”，“数与形”之间是有紧密联系的，是可以相互转化的数形结合的思想是中学数学中要求学生必须掌握的一种数学思想，同时也是高考中的必考内容，可以说在高考中对数学能力的考查主要体现在对数学思想方法的考查上，因此在日常教学中应注重对学生进行数学思想的培养2在应用数形结合思想解决与方程、不等式有关的问题时，应考虑设辅助函数、利用函数图象来解决应用数形结合，往往收到事半功倍的效果，但在进行转化时要注意等价转化在教学过程中体现教师是主导，学生是主体教师通过教材，选用合适的教学方式和手段，把知识、技能传授给学生，发展学生的数学能力，将人类总体的知识结构转化为学生的认识结构，并不断充实、完善同时学生也必须以其自身的活动为中介，积极参与教学活动，才能使教师主导的外部作用切实传导给学生，才能通过反馈又反作用于教师，教师通过反馈信息，随时调整教学过程，提高课堂教学的效率，保证教学目标的实现
