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1、群论- 1 -第四章 点群及其应用 复习：4.1 点 群点群描写系统的宏观对称性； 平移对称操作与微观对称性、空间群。能带。正当转动点群及其非任意性（除球之外） 极点、极点星（ ）,m除单位元外，群的极点数满足 有 即 2)11(12mmL得到 = 2 或3组：两个极点星（n，1）、（n，1）；Cn群三个极点星（2，n）、（2，n）、（n，2）；Dn群（2，6）、（3，4）、（3，4）； T群群论- 2 -（2，12）、（3，8）、（4，6）；O群（ 2，30）、（3，20）、（5，12）；P群第一类点群（正当转动点群）, 11个，第二类点群（含有非正当转动点群），21个晶体点群共有32个。准
2、晶体，包含5度对称轴的点群；新增加了5个晶系、28个准晶点群。4.2 晶体点群的对称操作及对称元素 晶体点群的对称操作：4种8个（1）c n， （5个）（2）镜面反射（镜面反映）（3）中心反演 I （4）旋转反射（旋转反映）s n（只有s 4独立） 对称操作之间的关系： （1）同轴的两个转动 （2）两个镜面的连续操作转动（转角 群论- 3 -） （3）（镜面）（转动 ）镜面（夹角 ） （4）C 2vC2u Cw（转角 ，转轴） （5）可对易的对称操作 对称元素在对称操作下，不动的点、线（转轴）、面。 （1）对称元素之间的关系： 两镜面（夹角 ）之间的交线，必为一转轴； （镜面）+（n度转轴）共
3、 n个镜面； 两个2度轴（ ）垂直的n度轴； 2度轴+与之垂直的n度轴共 n个2度轴。 （2）某些特殊的对称元素 主轴 群论- 4 -等价轴、等价面 双向轴（定义，两个判定）（3）图示对称元素的方法（群的图示）极射投影图（无主轴）作业：1. 习题4. 1 2. 图示上述6对可对易的对称操作。 3. 习题4. 3 4.3 晶体点群 4.3.1 32个晶体点群 附：可能的正多面体，只有 5 种：群论- 5 -面心立方晶体的布里渊区（形状为截角八面体）群论- 6 -体心立方晶体的布里渊区体心立方晶体布里渊区的形状名称？正十二面体？不是！形状称为菱形十二面体、或菱十二面体。体心立方晶体的布里渊区，形状
4、被称为正十二面体的有：1 黄昆.固体物理学.人教,1979. 2 黄昆,韩汝琦.固体物理学.高教,1988.3 李冠告. 晶体结构几何学基础. 南开大学出版社,2000.110.正确的有：1 方俊鑫，陆栋. 固体物理学（上册）. 上海科学技术出版社，1980. 235.2 顾秉林,王喜坤.固体物理学.清华大学出版社,1989. 6263.4.3.2 32 个点群的符号及所属晶系点群的符号：熊夫利符号群论- 7 -国际符号晶系：七类对称性、七种单胞坐标系4.4 点群的特征标表阿贝尔群的特征标表有 16 个点群是阿贝尔群Cn、C nh、S 2m、C 2V、D 2、D 2h阿贝尔群：c = g，所有
5、 g 个不可约表示都是 1 维的。每个不可约表示是一组数；这组数也就是该表示的特征标系。其中循环群有 9 个：Cn、C 1h、S 2m不仅 c = g，而且群元的阶= g，R g = E.对于循环群群元的阶= g，第 个不可约表示为llgieA2群论- 8 -即 、 、gieA2gieA221gAE、 、2gi22gi g、 、gieA2gieA221gAE例如：（1）C 2=c2, E群： lie2即 、12iec 12iE、22i 2ie（2）C 4=c4, c42, c43, E群： lieA42、 、 、ieci24 124ie ici4234142iE、 、 、244iec 1242
6、4iec 12434iec124iE、 、 、ieci342 134224iec ieci342341342iE群论- 9 -、 、 、1424iec 14224iec 14234iec 142ieE满足矩阵元的正交归一、完全性关系；满足特征标的正交归一、完全性关系。对于一般的阿贝尔群各群元的阶都是一个有限的整数，记为 h，即 ， （注意 ）1hAlhie2 rgh利用特征标的正交归一、完全性关系，适当地排列各群元的这些 h 个数。例如：C 2h=E, c2, h, I 各群元的阶都是 2，特征标均为 1 或 -1。按照特征标的正交归一、完全性关系，得到 11112IcEh点群的特征标表1、记
7、号说明：群论- 10 -一维：A（主轴转动的 ）和 B1二维：E三维：T下脚标 g（反演对称）和 u（反演反对称）.例如：C 2h2、基函数的变换性质例如：C 2h、C 2V3、时间反演对称性及其简并例如：C 44.5 双点群对于点群 G = , A, ,R, （称为单群）E对应的双点群为GD= ,A,R, , A, R,EEE= ,A,R, , , ,AR（略）4.6 晶体的宏观性质与晶体的对称性晶体的宏观性质，一般用张量表示。有：群论- 11 -零阶、一阶、二阶、三阶张量、等。一阶张量与矢量：一阶张量都是（真）矢量，具有性质， rvI PvI矢量有真假之分，分别称为（真）矢量与赝矢量或 极
8、矢量与轴矢量电偶极矩是极矢量；磁矩，是轴矢量。轴矢量（赝矢量）不是一阶张量；轴矢量（赝矢量）的一个特征是在中心反演下保持不变，例如： MvI还有（ ）： ， ，等。zMvhMv不是一阶张量的（赝）矢量，常见的有角速度 、旋转角 、轨道角动量 、vdtv prLv磁矩 等。M群论- 12 -二阶张量： 、 、 、 等；*m三阶张量：霍尔系数 RH、压电系数等；四阶张量：弹性模量等。非线性光学以及电介质物理中 LvMvvv EEEP )3(0)2(0)1(0 :线性极化率即一阶极化率是一个二阶张量，二阶极化率是一个三阶张量，三阶极化率是一个四阶张量，有 34=81 个分量，。一阶张量与晶体的对称性
9、以电偶极矩为例。在正当转动作用下， PRDvv)(j jii PRD)(如果晶体的对称性群为 G， ，则，或v v)(构成群 G 的恒等表示的基。),(zyxPv矢量中独立分量的个数，与z )()(RDP包含的恒等表示数一样群论- 13 -RPPga1)(1例 1：G = C 3, ,10)(ED10231)(3zcD 10231)(23zcD包含的恒等表示数 1)03(1)(311 RPPa表明具有 C3 对称性的晶体，极化强度 只Pv能沿着 z 方向。同样的分析，得到具有 C3 对称性的晶体，磁化强度 也只能沿着 z 方向。Mv例 2：G = C 3V（1）极化强度 Pv, ,10)(ED
10、10231)(3zcD 10231)(23zcD群论- 14 -, ,10)(VD 10231)(VD 1023)(VD其中 ，有)(VP 1)3023(61)(61 RPPa（2）磁化强度 Mv, ,10)(ED10231)(3zcD 10231)(23zcD, ,10)(VD 1023)(VD 1023)(VD其中 ，有)(VM 0)1(30231)(61 RMa可见：具有 C3V 对称性的晶体可以是铁电的，但不可能是铁磁的。群论- 15 -一般：C n、C nV，可以是铁电的；Cn、C i、C 2h、C 3h、S 4、S 6，可以是铁磁的。例 3：铁电或铁磁晶体是否可以具有 对hC2称性
11、？群元及其坐标变换矩阵hC2， ，10)(ED 10)(2zcD， ，10)(xy 10)(I得到 群的群元 对于 空间坐标的三维表hC2 rv示的特征标为， ， ， 。3)(E1)(2zc1)(xy3)(I对于铁电晶体，电偶极矩 ，矢量iirePv各分量与上述三维表示的基函数相同（差Pv一个比例系数） 。如果这个表示中包含一个或几个恒等表示，相应的 分量将在 群PvhC2元作用下不变；则沿着该方向极化的铁电体就具有 对称性。下面根据约化系数公hC2群论- 16 -式（2.6-6）Rjj Rga)(1*计算上述三维表示中包含的恒等表示的数目： RAARga)(1*0)3(1)(34 即上述三维
12、表示中不包含恒等表示，在群元作用下，电偶极矩矢量 的各个分hC2 Pv量不可能保持不变，所以，铁电晶体不可能具有 对称性。h2对于铁磁晶体，磁矩 在 群元作用下，MvhC2有， ，zzEzzc2， zzxy zzxyzz MI即磁矩 在 群元作用下保持不变，所以，zMhC2铁磁晶体可以具有 对称性。h2具体的变换矩阵为， 10)(EDM 10)(2zMcD群论- 17 -，10)(xyMD 10)(IDM包含的恒等表示的数目： RMARga)()(1*13)1()(34 二阶张量以电导率张量为例。 Ejv在对称操作作用下， ，且 jRjv Ejv由于 ， 11Ev即 j所以，电导率的变换为（正
13、交变换）RR1电导率分量的变换为 , )()( RD, )()( R电导率张量的元 形成直积表示 )()()(RDRD群论- 18 -的基。直积表示的特征标 2)()()()( RR如果晶体的对称性群为 G， ，则1R用表示矩阵写为 )()(D该直积表示必须是一个恒等表示；电导率张量的 9 个元中的独立元的数目，由该式确定。具体计算该直积表示中，包含恒等表示的数目，确定独立元的数目。例如：G = C 2h坐标变换矩阵， ，10)(ED 10)(2zcD， ，10)(xy 10)(I三维表示的特征标为群论- 19 -， ， ， ；3)(E1)(2zc1)(xy3)(I直积表示的特征标为， ， ，
14、 ；9)()(2zc)(xy 9)(I则电导率张量中独立元的数目 RRga)()(1* 59194下面通过 C2h 的各群元，具体分析电导率张量中各元的变换性质。电导率张量 zzyzxyyxzxyx各元变换性质，与下脚标的坐标变换相同。在 C2h 各群元作用下，不变；有 zyyxx0只有 5 个独立分量；与特征标的分析一致。群论- 20 -电导率张量的进一步分析： zzyzxyyxzxyx（1）若系统具有 c2z 对称性，就有 zyyxx0（2）若 是对称张量，即 ， yxxy则 张量只有 4 个独立分量；（3）若平面 yz 或 xz 是对称镜面，则 zyx0（4）若 G = Td 或 Oh，则 退化为标量。100（5
