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1、39数列求和的常见类型和方法一、公式法：(1)等差等比数列求和直接用公式 .(2)1+2+3+=(+1)2 ,12+22+32+2=16(+1)(2+1),13+23+33+3=(+1)2 2,1+3+5+(21)=2.(3)0+1+2+=2,0+2+4+=1+3+5+=21+1+=+1+1+1=+1+1,+1+=+1+1=0+121+132+ 1+1=2+11+1 1+1= 1+1+1+100+11+22+=21(4)已知 (,)=0求 .有以下两种常 见 途径：途径一： (,)=0 =()1=(1)=()(1)(2)途径二： (,)=0=()1=()(2)二、裂项法：(1) 1等差 等差
2、求和用 裂 项 法 .设 数列 为 等差数列 (0,0),则 ：112+ 123+ 1+1=1(11 1+1) 1+1=1(1 1+1)(2) 1123+ 1234+ 1(+1)(+2)=1212 1(+1)(+2) 1(+1)(+2)=12 1(+1) 1(+1)(+2)注：可推广 为 :设 数列 为 等差数列 (0,0),由于 1+1+2=12( 1+1 1+1+2)40则 ： 1123+ 1234+ 1+1+2=12( 112 1+1+2)(而且 还 可以 进 一步推广 ).(3) 11+2+ 12+3+ 1+1=+11 1+1=+1注：可推广 为 :设 数列 为 等差数列 (0,0),
3、由于 1+1=1(+1),则 ： 11+2+ 12+3+ 1+1=1(1+1).(4)122+123+12=1112= 111,122+123+12=2212=2(111)12!+23!+34!+ (+1)!=1 1(+1)! (+1)!=(+1)1(+1)! =1! 1(+1)!11!+22!+33!+!=(+1)!1!=(+1)1!=(+1)!(5) 21(211)(221)+ 22(221)(231)+ 2(21)(2+11)=1 12+11 2(21)(2+11)=121 12+11总结 ：裂 项 法求和的本 质 就是 :将数列的每一 项 裂成另一数列相 邻 两 项 之差 ,造成相消
4、项 ,从而达到化 简 求和的目的 ,即 =1=1(+1)=+11.三、形如“ ”求和：11+22+33+(1)等差 等差 若 等差 ,等差 ,则 用 分 组 求和法 .设 =1+1,=2+2,=(1+1)(2+2)=122+(12+21)+12=12(12+22+2)+(12+21)(1+2+)+12=41注：可推广 为 :“等差 等差 等差 ”(甚至更多等差之 积 )求和用分 组 求和法 .(2)等差 等比 若 等差 ,等比 ,则 用 错 位相减法 .设 =+,=11(1),=11+22+= 11+11+= 12+1+1 得 :(1)=11+(2+3+)+1=11+2(11)1 +1=11+
5、2(11)1 +11 =注：可推广 为 :“等差 等差 等比 ”(甚至更多等差 等比 )求和用 错 位相减法(用两次 (甚至多次 )错 位相减法 ).四、形如“ ”求和：10+21+32+1(1)等差 组 合数 若 等差 ,则 用倒序相加法 .设 公差 为 =10+21+1+1=+1+1+21+10=+10+1+21+1 + :2=(1+1)(0+1+1+)=(21+)2=(21+)21.(2)等比 组 合数 若 等比 ,则 逆用二 项 式定理 .设 公比 为 =10+11+22+1=1(0+1+22+)=1(1+)五、数归法：六、构造法：42(1)(0)2+(1)2+()2=2,考 查 恒等
6、式 (1+)(1+)=(1+)2两 边 的系数 .(2)0+11+0=+(),考 查 恒等式 (1+)(1+)=(1+)+两 边 的系数 .七、特殊方法：在二项式展开式中,有关系数数列的求和常有以下一些特殊方法:赋值法,导数法等.设 (+)=0+1+22+33+在 中 ,令 =1可得 :0+1+2+3+=(+)在 中 ,令 =1可得 :01+23+(1)=(+)联 立 , 可解得 :0+2+4+=(+)+(+)2 1+3+5+=(+)(+)2 由 , 还 可得 :|0|+|1|+|2|+|3|+|=(|+)对 两 边 求 导 得 :(+)1=1+22+332+1再 对 赋值 =1得 :1+22+33+=(+)1再 对 赋值 =1得 :122+33+(1)1=(+)1当然还可以再对 求 导 ,再用 赋值 法 ,兹 不 赘 述 .
