排列组合与概率

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1、高中数学竞赛讲义（十三）排列组合与概率一、基础知识1加法原理：做一件事有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1种不同的方法，在第 2 类办法中有 m2种不同的方法，在第 n 类办法中有 mn种不同的方法，那么完成这件事一共有 N=m1+m2+mn种不同的方法。2乘法原理：做一件事，完成它需要分 n 个步骤，第 1 步有 m1种不同的方法，第 2步有 m2种不同的方法，第 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法。3排列与排列数：从 n 个不同元素中，任取 m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列，从 n 个不

2、同元素中取出 m 个(mn)元素的所有排列个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 表示， =n(n-1)(n-m+1)= ,其中 m,nN,mn,注：一般地 =1，0！=1， =n!。4N 个不同元素的圆周排列数为 =(n-1)!。5组合与组合数：一般地，从 n 个不同元素中，任取 m(mn)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合，即从 n 个不同元素中不计顺序地取出 m 个构成原集合的一个子集。从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 表示：6组合数的基本性质：（1） ；（2

3、） ；（3）；（4） ；（5）；（6） 。7定理 1：不定方程 x1+x2+xn=r 的正整数解的个数为 。证明将 r 个相同的小球装入 n 个不同的盒子的装法构成的集合为 A，不定方程x1+x2+xn=r 的正整数解构成的集合为 B，A 的每个装法对应 B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之 B 中每一个解(x 1,x2,xn),将 xi作为第 i 个盒子中球的个数，i=1,2,n，便得到 A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将 r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从 r-1 个空格中选 n-1 个，将球分 n 份，共有 种。故定理得证。推论

4、 1 不定方程 x1+x2+xn=r 的非负整数解的个数为推论 2 从 n 个不同元素中任取 m 个允许元素重复出现的组合叫做 n 个不同元素的 m可重组合，其组合数为8二项式定理：若 nN +,则(a+b) n=.其中第 r+1 项 Tr+1=叫二项式系数。9随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同一试验时，事件 A 发生的频率 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件 A 发生的概率，记作 p(A),0p(A)1.10.等可能事件的概率，如果一次试验中共有 n 种等可能出现的结果，其中事件 A 包含的结果有 m 种，那么事件 A 的概率为 p(

5、A)=11.互斥事件：不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件 A1，A 2，A n彼此互斥，那么 A1，A 2，A n中至少有一个发生的概率为p(A1+A2+An)= p(A1)+p(A2)+p(An).12对立事件：事件 A，B 为互斥事件，且必有一个发生，则 A，B 叫对立事件，记 A的对立事件为 。由定义知 p(A)+p( )=1.13相互独立事件：事件 A（或 B）是否发生对事件 B（或 A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。14相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即 p(A?B)=p(A)

6、?p(B).若事件 A1，A 2，A n相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率为 p(A1?A2? ?An)=p(A1)?p(A2)? ?p(An).15.独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这 n 次试验是独立的.16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为 p,那么在 n 次独立重复试验中,这个事件恰好发生 k 次的概率为 pn(k)= ?pk(1-p)n-k.17离散型随机为量的分布列：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量，例如一次射击命中的环数 就是一个随机变量， 可以取的值有0,1,

7、2,10。如果随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。一般地，设离散型随机变量 可能取的值为 x1,x2,xi, 取每一个值xi(i=1,2,)的概率 p(=x i)=pi，则称表 x1 x2 x3 xi p p1 p2 p3 pi 为随机变量 的概率分布，简称 的分布列，称 E=x 1p1+x2p2+xnpn+为 的数学期望或平均值、均值、简称期望，称 D=(x 1-E)2?p 1+(x2-E)2?p 2+(xn-E)2pn+为 的均方差，简称方差。 叫随机变量 的标准差。18二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中，这个事件恰好

8、发生 k 次的概率为 p(=k)= , 的分布列为 0 1 xi Np 此时称 服从二项分布，记作 B(n,p).若 B(n,p)，则 E=np,D=npq,以上q=1-p.19.几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数 也是一个随机变量，若在一次试验中该事件发生的概率为 p，则 p(=k)=q k-1p(k=1,2,)， 的分布服从几何分布，E= ，D= (q=1-p).二、方法与例题1乘法原理。例 1 有 2n 个人参加收发电报培训，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？解 将整个结对过程分 n 步，第一步，考虑其中任意一个人的配对者，有 2n-1 种选则；

9、这一对结好后，再从余下的 2n-2 人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者，有 2n-3 种选择，这样一直进行下去，经 n 步恰好结 n 对，由乘法原理，不同的结对方式有(2n-1)(2n-3)31=2加法原理。例 2 图 13-1 所示中没有电流通过电流表，其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种？解 断路共分 4 类：1）一个电阻断路，有 1 种可能，只能是 R4；2）有 2 个电阻断路，有 -1=5 种可能；3）3 个电阻断路，有 =4 种；4）有 4 个电阻断路，有 1 种。从而一共有 1+5+4+1=11 种可能。3插空法。例 3 10 个节目中有 6 个演唱 4 个舞蹈，要求每两个舞蹈

10、之间至少安排一个演唱，有多少种不同的安排节目演出顺序的方式？解 先将 6 个演唱节目任意排成一列有 种排法，再从演唱节目之间和前后一共 7个位置中选出 4 个安排舞蹈有 种方法，故共有 =604800 种方式。4映射法。例 4 如果从 1，2，14 中，按从小到大的顺序取出 a1,a2,a3使同时满足：a 2-a13,a 3-a23，那么所有符合要求的不同取法有多少种？解 设 S=1,2,14， =1，2，10；T=(a 1,a2,a3)| a1,a2,a3S,a 2-a13,a 3-a23, =( ) ,若 ，令 ，则(a 1,a2,a3)T,这样就建立了从 到 T 的映射，它显然是单射，其

11、次若(a 1,a2,a3)T,令 ，则，从而此映射也是满射，因此是一一映射，所以|T|= =120，所以不同取法有 120 种。5贡献法。例 5 已知集合 A=1，2，3，10，求 A 的所有非空子集的元素个数之和。解 设所求的和为 x，因为 A 的每个元素 a，含 a 的 A 的子集有 29个，所以 a 对 x的贡献为 29，又|A|=10。所以 x=1029.另解 A 的 k 元子集共有 个，k=1,2,10，因此，A 的子集的元素个数之和为1029。6容斥原理。例 6 由数字 1，2，3 组成 n 位数(n3)，且在 n 位数中，1，2，3 每一个至少出现 1次，问：这样的 n 位数有多

12、少个？解 用 I 表示由 1，2，3 组成的 n 位数集合，则|I|=3 n，用 A1，A 2，A 3分别表示不含 1，不含 2，不含 3 的由 1，2，3 组成的 n 位数的集合，则|A1|=|A2|=|A3|=2n，|A 1 A2|=|A2 A3|=|A1 A3|=1。|A 1 A2 A3|=0。所以由容斥原理|A 1 A2 A3|= =32n-3.所以满足条件的 n 位数有|I|-|A 1 A2 A3|=3n-32n+3 个。7递推方法。例 7 用 1，2，3 三个数字来构造 n 位数，但不允许有两个紧挨着的 1 出现在 n 位数中，问：能构造出多少个这样的 n 位数？解 设能构造 an

13、个符合要求的 n 位数，则 a1=3，由乘法原理知 a2=33-1=8.当n3 时：1）如果 n 位数的第一个数字是 2 或 3，那么这样的 n 位数有 2an-1；2）如果 n 位数的第一个数字是 1，那么第二位只能是 2 或 3，这样的 n 位数有 2an-2，所以 an=2(an-1+an-2)(n3).这里数列a n的特征方程为 x2=2x+2，它的两根为 x1=1+ ,x2=1- ,故an=c1(1+ )n+ c2(1+ )n,由 a1=3,a2=8 得 ，所以8算两次。例 8 m,n,rN +，证明： 证明 从 n 位太太与 m 位先生中选出 r 位的方法有 种；另一方面，从这 n

14、+m 人中选出 k 位太太与 r-k 位先生的方法有 种，k=0,1,r。所以从这 n+m 人中选出r 位的方法有 种。综合两个方面，即得式。9母函数。例 9 一副三色牌共有 32 张，红、黄、蓝各 10 张，编号为 1，2，10，另有大、小王各一张，编号均为 0。从这副牌中任取若干张牌，按如下规则计算分值：每张编号为k 的牌计为 2k分，若它们的分值之和为 2004，则称这些牌为一个“好牌”组，求好牌组的个数。解 对于 n1,2,2004,用 an表示分值之和为 n 的牌组的数目，则 an等于函数f(x)=(1+ )2?(1+ )3?(1+ )3的展开式中 xn的系数（约定|x|(1+n)m

15、.15.一项“过关游戏”规定：在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次，如果这 n 次抛掷所得到的点数之和大于 2n，则算过关。问：（1）某人在这项游戏中最多能过几关？（2）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有 1，2，3，4，5，6 点数的均匀正方体）四、高考水平训练题1若 n1,2,100且 n 是其各位数字和的倍数，则这种 n 有_个。2从-3,-2,-1,0,1,2,3,4中任取 3 个不同元素作为二次函数 y=ax2+bx+c 的系数，能组成过原点，且顶点在第一或第三象限的抛物线有_条。3四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点，在其中任取 4 个不共面的点，有_种取法。4三个人传球，从甲开始发球，每次接球后将球传给另外两人中的任意一个，经 5 次传球后，球仍回到甲手中的传法有_种。5一条铁路原有 m 个车站（含起点，终点），新增加 n 个车站（n1），客运车票相应地增加了 58 种，原有车站有_个。6将二项式 的展开式按降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中 x 的幂指数是整数的项有_