函数零点与一元二次方程根的分布

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1、函数零点与一元二次方程根的分布 1函数零点与一元二次方程根的分布函数的零点：对于函数 ，把使 的实数 叫做函数 的零点。)(xfy0)(fx)(xfy零点存在性定理：如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那,ba 0)(bfa么，函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的)(xfy),(ba),(c0)(cfcx根。函数与方程思想：若 = 与 轴有交点 ( )=0fx0f0x若 = ( )与 = ( )有交点( ， ) = 有解 。ygy(f)gx0一元二次方程根的分布一、一元二次方程根的基本分布零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的

2、关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程 （ ）的两个实根为 ， ，且 。02cbxaa1x221x【定理 1】 ， (两个正根 ) ，0121240bacx推论： ， 或01x20)(42bcfa0)(bcfa【定理 2】 ， ，01x204212acxb推论： ， 或1x2)(bf)(042bcfa【定理 3】 210x0ac【定理 4】 ， 且 ； ， 且 。 1 0a 2 1x02c0ab函数零点与一元二次方程根的分布 2二一元二次方程的非零分布 分布k设一元二次方程 （ ）的两实根为 ， ，

3、且 。 为常数。则一元二次方程02cbxaa1x221xk根的 分布（即 ， 相对于 的位置）有以下若干定理。k1【定理 1】 2kabf)(42【定理 2】 。kx21kabfc0)(42【定理 3】 。21xk0)(kaf推论 1 。20x0ac推论 2 。)(b【定理 4】有且仅有 （或 ）1k2xk0)(21kf函数零点与一元二次方程根的分布 3【定理 5】 或2121pxkx0)()(021fkfa0)()(21pfkfa【定理 6】 或21kxk21220)(4kabfac2120)(4kabfac三、例题【例 1】 若一元二次方程 的两根都是负数，求 的取值范围。032kxk【例

4、 2】 在何范围内取值，一元二次方程 有一个正根和一个负根？k 032x【例 3】 （1）已知方程 的两实根都大于 1，求 的取值范围。012mxm（2）若一元二次方程 的两个实根都大于-1，求 的取值范围。 3)(（3）若一元二次方程 的两实根都小于 2，求 的取值范围。【例 4】 （1）已知方程 有一根大于 2，另一根比 2 小，求 的取值范围。 0322mx m（2）已知方程 有一实根在 0 和 1 之间，求 的取值范围。 1)(2x函数零点与一元二次方程根的分布 4例 1、 （ 或 k3）例 2、 （00)的两个根都大于 1 的充要条件是 ( )f2cA.0 且 (1)0 B. (1)

5、0 且 2 C.0 且 2， 1 D.0 且 (1)0， 2。facfab3、函数 ()osfxx在 0,)内 （ ）（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点（C）有且仅有两个零点 （D）有无穷多个零点4、 已知 ()f是 R上最小正周期为 2 的周期函数，且当 02x时, 3()fx,则函数 ()yfx的图象在区间0,6上与 x轴的交点的个数为（ ）（A）6 （B）7 （C）8 （D）95、设 0abc，二次函数 2fxabc的图象可能是（ ）6、设函数 2()(1)4fxax，若 12,0x时，有 12()fx，则实数 a的取值范围是（ ）A. 12a B. 2 C.a D. 7、设二次函数

6、 ()4()fxaxcR的值域为 190,)ca则 的最大值为（ ）A 35B 38C 65D 3268函数 的零点所在的区间是（ ）2)(xef(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）函数零点与一元二次方程根的分布 59若函数 )(xfy在区间 ,ab上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）A若 0a，不存在实数 ),(bac使得 0)(cf；B若 )(f，存在且只存在一个实数 ,使得 )(f；C若 ，有可能存在实数 使得 ；D若 bf，有可能不存在实数 ),(使得 f；10如果二次函数 )3(2mxy有两个不同的零点，则 m的取值范围

7、是（ ）A 6, B , C 6,2 D ,26,U11直线 3y与函数 2x的图象的交点个数为（ ）A 4个 B 个 C 个 D 1个 12若方程 310x在区间 (,),1)abZba且 上有一根，则 ab的值为（ ）A B 2 C 3 D 4 二、填空题13、已知函数 3,()1xf，若关于 x 的方程 ()fk有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是_.14函数 ln2fx的零点个数为 。15函数 ()对一切实数 x都满足 1()()2fxf，并且方程 ()0fx有三个实根，则这三个实根的和为 。16若函数 2()4fa的零点个数为 3，则 a_。三解答题17、已知关于 x 的二次方

8、程 x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0) 内，另一根在区间(1，2)内，求 m 的范围.(2)若方程两根均在区间(0 ，1)内，求 m 的范围.18、若方程 的两实根均在区间（ 、1）内，求 的取值范围。 0)2(kxk19、若方程 的两根中，一根在 0 和 1 之间，另一根在 1 和 2 之间，求 的取值范围。1)(2 k20、若方程 有两个不相同的实根，求 的取值范围。4(3)0xxmm函数零点与一元二次方程根的分布 621、若关于 的方程 有唯一的实根，求实数 的取值范围。x2lg(0)lg(863)0xaa参考答案：一、选择题ADBADC CCCDA

9、C二、填空题 13（0,1）14、215、1.516、4三解答题17、(1) .(2) 2165m2118、 （ ）34k19、 （ ）20、00)xax问题转化为：求实数 的取值范围，使直线 =8 6 3 与抛物线 = +20 ( 0)有且只有一yy2xx个公共点。虽然两个函数图像都明确，但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明显，可将变形为 +12 +3=6 (2a0)，再在同一坐标系中分别也作出抛物线x= +12 +3 和直线 =6 ，如图，显然当 36 163 即y2yaaO xy20 6O xy20 61633函数零点与一元二次方程根的分布 7时直线 = 6 与抛物线有且只有一个公共点。1632aya