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1、2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛关于企业退休职工养老金制度改革的研究摘 要养老金又称为退休金，是退休职工生活的依靠。近年来随着我国经济的快速发展，养老金问题已经逐渐从单一的经济问题转变为政治、金融等互相关联的问题，它在一定程度上反映我国政府对退休职工所采取的政策，反映我国人口老龄化的实况，同时也是实现我国经济发展战略目标的一个重要的指标。我国现在养老保险改革正处于过渡期，养老保险金管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。我国人口基数大，人口增长曲线已经越过刘易斯点 ,这也是造成人口老龄化加速1的重要原因。养老金的发放与职工在职时的工资及社会
2、平均工资有着密切关系，工资的增长又与经济增长相关。因此，未来退休金的增长也会随着工资的增长等比例增加，退休金也是增长的。为了使我们的模型更加准确，我们结合了中国的具体国情，引入福利经济学、宏观经济学和人口学的相关理论，用人均国民生产总值的增长情况来预测未来中国经济发展状况。对于问题一,我们结合中国经济发展情况，利用支出法计算 GDP，得到含有劳动报酬的函数方程式。进而通过 Matlab 软件拟绘出了附件 1 提供的山东省职工年平均工资的增长曲线，通过拟合的函数方程，得到了 2011 年2035 年山东省职工的年平均工资具体数值，并通过 SPSS 软件对所求的数据进行回归分析，与结果符合很好，即
3、从山东省的情况来看我国人均国民生产总值确实能够在 21 世纪中叶时达到中等发达国家的水平。针对问题二，我们结合问题一中所提到缴费指数参考值，计算出工资平均增长率为 8%，针对职工在不同年龄段所缴养老保险金及缴纳年限建立模型，进行数据分析得到了30 岁时开始缴纳养老金，到 55 岁、60 岁、65 岁退休时替代率：34.4%、41.8% 、48.6% ；40 岁时开始缴纳养老金，到 55 岁、60 岁、65 岁退休时替代率： 36.1%、43.1% 、58.5% 。在问题三中我们利用问题一和问题二的数据和结论，进行计算分析得出：30 岁时开始缴纳退休养老金，到 55 岁、60 岁、65 岁资金缺
4、口：402636 元、437378 元、262276 元；40 岁时开始缴纳退休养老金，到 55 岁、60 岁、65 岁资金缺口：180900 元、167263 元、279241 元。计算出该职工 30 岁起缴纳养老金，领取养老金到 66、69、73岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡，而 40 岁起缴纳养老金，领取养老金到 64、69、71 岁时，达到收支平衡。对于问题四：企业退休养老保险金收支平衡是由多种情况决定的，为了简单化处理，我们在建立养老保险基金的数学模型时，重点考虑了替代率对收支平衡的影响，结合中国的国情对其他因素也进行了简单分析，并且提出了模型改进的意见。
5、关键词：SPSS 软件、刘易斯点、回归分析、动态合意替代率、平衡模型一、问题重述我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按缴费指数，再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金，加上个人工资账户中一定比例的资金，作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。个人账户储存额，利率统一设定为 3%。养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。未来基本
6、养老保险的目标替代率确定为 58.5%。替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。我们根据附件 1、2、3 准备求解以下问题：一：对未来中国经济发展和工资增长的形式做出简化、合理的假设，参考附件 1，预测从 2011 年至 2035 年的山东省职工的年平均工资。二：根据附件 2 计算出 2009 年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。并把这些比值看作职工缴费指数的参考值，计算该企业职工自 2000 年起分别从 30 岁、40 岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55 岁，60 岁，65
7、岁） ，计算各种情况下的养老金替代率。三：如果该企业某职工自 2000 年起从 30 岁开始缴养老保险，一直缴费到退休，并从退休后一直领取养老金，至 75 岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，我们给出了较为合理的解决的措施。二、问题分析养老金也称退休金企业退休养老保险金制度是社会主义保障体系中重要的组成部分，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。对企业退休养老金制度的探
8、究有很好的研究价值和对建设社会主以和谐社会及实现经济的可持续发展有积极和重大的意义。三、模型假设1. 假设我国经济发展平稳，在未来的几十年内没有大的变动；2. 评价中等发达国家国民生产总值（GDP）的标准为 8000 美元，并为定值；3. 人民币与美元汇率是 6.3 元，为基准价并且以每年 4%的速度升值，不出现变化；4. 排除经济危机等不确定因素，借鉴于上一次全球经济危机中中国经济的表现从而确定中国经济增长速率为 8%，该值为恒定值；5. 中国的企业退休职工养老金制度及计算方法不变；6. 问题中得到的数据正确；7. 假设计算平均工资时设 1978 年为第一年，其它问题设 2000 年为第一年
9、。四、符号说明： 职工工作的第一年收入G： 缴费率C： 职工退休时缴费总数Y： 所有公式中资金总额Z： 工资年增长率K： 工作年限x： 替代率，即职工退休时，每月退休金占退休当月工资的百分比T： 山东省企业职工未来的人均年收入yftr： 养老保险费收入A： 基础养老金jcL： 个人账户养老金gr： 计发月数n： 本人指数化月平均缴费工资S、 、 、 、 分别为个人账户存储额、个人账户养老金、社会统grZrLshjczeL筹养老金、基础养老金及所支取的养老金总额。在（1）式中，分别表示就业的平均年龄，退休年龄和退休职工平均死亡年wba,龄；：第 年份职工的平均工资ijxj： 第 年份 岁到 岁的
10、在职职工人数1bai a1b： 第 年份 岁到 岁的退休职工人数wbijxjw：第 年份 职工的平均工资 ： 第 年份 职工的平均养老金 jQj： 利息r： 缴费率C： 养老金收支平衡的的目标年数n五、模型的建立与求解5.1 问题一结合题目要求我们用人均 GDP 来预测未来中国经济的发展。为了检验我国经济是否能够在 21 世纪中叶达到中等发达国家水平即人均 GDP8000 美元 ，我们用 SPSS 软件2进行了验证，我们假设我国 GDP 年增长率为 8%。Step1：通过 SPSS 软件作图观察历年人均 GNP 的曲线走势图，并初步判断其与年份之间的关系。 Step2：建立模型：线性关系为：
11、， 为残差项；二次模型：tttubXYt；三次模型： ；指数模型： = ，其中 为cbXYtt2 dcXbYtttt 23 tYbt各年的人均 GNP， 为年份（即为 = =19522002） 。tStep3：通过 SPSS 统计软件求得各种模型的修正 R2 值，方差分析的 F 值概率，以及 F 值。Step4：通过比较步骤三的值的大小，选出其中最优模型。Step5：给出 2005 年人均 GNP95%的置信区间并预测 2020 年的人均 GNP 值。首先，我们看看其存在是线性关系还是曲线关系，在 SPSS 软件界面输入数据，通过 Graphs-Scatter-Simple 作出趋势图，我们建
12、立线性、二次、三次、指数曲线模型进行比较分析：明显看出指数模型曲线拟合度最好，通过 SPSS 统计软件对各模型进行分析并整理如下：从以上表格中我们发现，Compound（指数模型）的 Adjusted R Square=0.900，说明拟合度达到 90.0%，其次，方差分析的 F 值概率小于 0.001，且此指数模型的 F 值为F=450.25，较其他线性、二次、三次的模型大，可得指数模型为：人均 GNP=4.49E-070*1.088t（其中 为年份） ，因此此模型为相对最佳模型。t0.00%2.00%4.00%6.00%8.00%10.00%12.00%14.00%16.00%18.00%
13、1996 19971998 19992000 20012002 200320042005 20062007 20082009 2010系 列 1图 1 GDP 增长率根据附录所给予的数据，我们可以得到自改革开放 33 年以来，山东省在岗职工的平均月工资的增长曲线。可以通过 Excel 绘得所求曲线图 2 1978-2010 年山东省职工年平均工资曲线通过图表，我们可以假设，自 1997 年开始，该省平均工资按照一定的增长率进行增长，因此，我们通过数学函数软件 Matlab，同个曲线拟合算法，绘制出一条拟合的曲线，并根据这条曲线来拟合出函数。图 3 Matlab 拟合平均工资曲线在图中，红色点代
14、表拟合的函数曲线，蓝色小圈代表实际的数据。我们发现，拟合的函数图像接近实际的工资增长线，同时发现发现增长曲线接近于一元三次方程的函数。因此通过 Matlab 拟合函数得到了这个方程的的各项系数。我们得到的方程如下：；8702.5487.53294.934.1xxxyftr通过这个函数，我们运用了 C 语言的循环求解（见附录 1）：得到了一组我们预计的工资额：我们预计的数据如下表所示：年份 预计平均工资（元）2011 357832012 397732013 440692014 486822015 536252016 589092017 645452018 705462019 769222020
15、836862021 908492022 984222023 1064172024 1148472025 1237212026 1330532027 1428532028 1531342029 1639062030 1751822031 1869732032 1992902033 2121462034 2255512035 239518表 1 预计未来 25 年平均工资5.2 问题二：Step1：我们根据附件所提供的各年龄段的职工工资，详细的分析了该企业职工工资的分布情况，我们决定取每个工资段中间值作为该段得到平均工资，很容易求得其数据，根据每个年龄段所在的各个工资段求的这个年龄段的总值，然后就可以求的该年龄段的平均工资，同时根据相同方法求出了该企业的平均工资，我们根据 Excel 函数计算法则求出了我们要得的数据如下：年龄段 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59平均工资（元） 1726 2076 2534 2751 3025 3267 3118 2979表 2 该企业各个年龄段平均工资同时得到的还有该企业的平均工资为：2579.732 元。Step2：在该企业中，没有 60-64 岁的企业员工工资信息，但是，在以下结算
