多元函数极值解法

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1、多元函数极值解法摘 要：科学生产实际中,存在着很多极值问题需要去解决.有些问题可以用初等的方法可以解决,但是有些问题用初等的方法去解决，有时显得麻烦，有时根本无法解决。鉴于此，本文从一下几方面作了介绍：二元函数极值的定义及存在条件、二元函数极值的一阶偏导判别法；条件极值的求解方法及应用；n 元函数极值的定义及存在条件及存在问题、n 元函数的累次极值、向量法求解一类多元函数极值。通过以上方法的介绍，旨在为以后的学习和实际工作带给一定的方便。关键词：多元函数；极值；充要条件 ；方向导数；偏导数；矩阵；驻点； 1 绪论1.1 研究多元函数极值的意义科学生产实际中,存在着很多极值问题需要去解决.有些问

2、题可以用初等的方法可以解决,目前最有效的方法是应用微分法求极值.函数的极值一直是数学研究的重要内容之一，由于它的应用广泛，加之函数本身变化纷繁，所以人们对其方法的研究较多，像不等式法，导数法，从矩阵的角度解决函数极值，利用拉格朗日乘数法解决函数的极值等等。这些理论的提出并得到应用，与诸多数学家在这方面的努力是分不开的，他们给出了许多好的解决函数极值的方法，且将诸理论与实际有机的结合起来，这不仅为科研打下了良好的基础，也为诸多领域的实际工作提供了便捷，如在经济，管理，金融，科研等方面提供了便捷的方法，使得许多问题很便利的得以解决。不等式的证明是数学的学习过程中我们经常遇到，其证明具有很强的技巧性

3、,方法灵活多变,同时对综合能力和分析能力的要求都很高。目前有多种形式的方法来证明不等式.但在本文中给出了应用多元函数条件极值的解法来证明不等式的方法,即在不等式证明中,适当变换目标函数和相应的限制条件,结合实际问题的提法来证明不等式。在本文中就以用拉格朗日乘数法来证明不等式的方法以举例的形式略作了介绍。1.一元函数极值我们先来讨论函数的极值，且总假定 在 上是连续的。若对于一点()fx,ab，存在 的某一邻域 （ ，使对于此邻域中的任意点 ，0x00(,)x0x都有 ，则称 在 有一极大值 ， 称为极大值点，同样我()ff0()f0们可以定义函数 的极小值。若在上述的 中等号不成立，我们()f

4、 x就称为是严格极大值.同样可以定义严格极小值。定理 1（极值的必要条件） 若 是 的极值，那么 只可能是 的零点0x()f0()fx或 的不可导点。()fx定理 2(极值判别法之一)设 在 和 （ 可导，那么(f0,)x0(,)若在 内 ，而在 内 ，则 为极小值点。f0(,x()0fx0若在 内 ，而在 内 ，则 为极大值点。0(,)( 定理 3（极值判别法之二）设 ，0()fx若 ，则 是极大值。0()fx若 ，则 是极小值。0()f2 二元函数极值2.1 二元函数极值的定义及存在条件科学生产实际中,存在着很多极值问题需要去解决.有些问题可以用初等的方法可以解决,目前最有效的方法是应用微

5、分法求极值。2.1.1 二元函数极值的定义定义 1：设 ，函数 :D R,点 D,如果存在一个 邻域 ,2DRf0p0p0(,)oD使得 (p) ( ) ( (p) ( )对一切 成立,那么 称为 的一个(严格)极ff0p0Df小值点,而 ( )称为函数 的一个(严格)极小值。f同样定义(严格) 极大值点和(严格) 极大值.极小值和极大值统称极值。2.1.2 二元函数取得极值的条件定理 1（必要条件）设函数 在点 具有偏导数，且在点 处有极值，则它在(,)fxy0(,)y0(,)xy点的偏导数必然为零； 0,()xyffx证明： 不妨设 在点 处有极大值，则对于 的某邻域(,)zy 0(,)x

6、y任意 都有 0(,),xyfx0(,)fy故当 时，有, 0(,)说明一元函数 在 处有最大值，必有 ；0(,)fxyx0(,)xfy类似地可证 。D 中使 的一切内点称为函数的驻点，由上面的定理知道，极值点xyf一定是驻点，但是驻点未必是极值点。定理 2（充分条件）设函数 在点 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又(,)fxy0(,)y，令 , ,00(,)xf0(,)xfA0(,)xyfB0(,)yfxC则 在点 处是否取得极值的条件如下：(,) 时具有极值，当 时有极大值，当 A0 时有极小值；2ACB 时没有极值；0 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论；2例 1 ：求函

7、数 的极值。22()xzey 解：令 22(41)0xfey012xy在驻点 ，有1(,)2， ，1(,)240xAeye21(,)240xBey。21(,)Ce而 ，故 在点 取得极小值， 。240B(,)fxy1(,)2(,)2ef2.2 二元函数极值的一阶偏导判定方法对二元函数极值的判定，不仅可以借助于二阶导数进行判定，还可以借助于使用范围更广泛的一阶导数进行判定。2.2.1 判别方法定理 1：设二元函数 在凸区域 D 上有定义，在 上连续，点(,)fxy0()opD，在 上可导：0(,)pxyD0op若 ，则 在 取得极小00()(),ffy0(,)()pxy(,)fxy0值。若 ，则

8、 在 取得极大00()(),ffxy 0(,)()xyo(,)fxy0p值。证明： ，引入辅助函数：0(,)()po其中 。0 0),),tfxtyt0,1t由条件知 在 上满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在 ，(ab (0,1)使得，即(1)()0000000,(),()(),()x yfxyffyxfxyy注意到 D 为凸区域，从而 .,)op由条件可知： ，0(,)(,)fxyf0(,)()pxyo由 的任意性以及极值的定义，可知，函数 在 取得极小值。(,)pxy ,fxy0p同以上证明方法可以得到，在条件下，函数 在 取得极大值。结()论证毕。考虑到条件，的结构，若记 ， 引入(,

9、)fxy00(,)pxy中的内积 则可将定理写成更简洁的形式。2R000()(),fffpxy2.2.2 推广在引入上述记号后，我们可以将问题推广到 n 维情形：定理 2：设 为凸区域， ，若 ，在 连续，在nDR0pD:fR0()op可导，0()op若 ， ，则函数 在 处取得极小值。0f0()of0p若 ， ，则函数 在 处取得极大值。p证明同定理 1，此处不再赘述。2.2.3 应用与一元函数相同，由于二元函数极值的一阶偏导数准则比利用二阶偏导的判别法要求的条件弱，从而一阶偏导数判别准则的应用更为广泛。例 1：试研究函数 在原点（0，0）是否达到极值。2(,)1fxyy解：由于 22ffx

10、在原点处无定义，不能利用二阶判别法 。可利用定理1， ，因为(,)0,xy成立，从而，可知22,) 0f xy在原点（0，0）处可以取得极大值(,)fxy (,)1f3 条件极值3.1 求条件极值的常用解法我们在解题的过程当中常常会遇到一些具有某些条件限制的多元函数极值的求解，在本节我们以例析的形式给出其一些常用解题方法。3.1.1 利用二次方程判别式的符号求某些条件极值例 2：若 ,试求 的极值.221xyz2fxyz解 因为 ,代入 得()122104xzf即 25()(84)0xzfz这个关于 的二次方程要有实数解, 必须:x22(4)(4)zfzfz即 2950f解关于 的二次不等式,

11、得:f225(1)(1)1zfzz显然,求函数 的极值, 相当于求f25()zz或2(1)1fzz的极值.由(2)得 229450zf这个关于 的二次方程要有实数解,必须z, 即22163()ff29f解此关于 的二次不等式,得 .f 所以 maxin3.把 代入(4)得 ,再把 , 代入(1), 得 ,最后把 , ,3f23zf23z13x3f2z代入 ,得 .1x()yxy所以,当 , , 时,函数 达到极大值 3.zf同理可得,当 , , 时,函数 达到极小值-3.3x2y3也可以从(3)作类似讨论得出 的极大值 3 和极小值 -3.f3.1.2 利用标准量代换法求函数极值求某些有多个变

12、量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量.例 3：设 ,求 的最小值.xyza22uxyz解：取 为标准量, 令 ,则 ( 为任3,3ay3az,意实数),从而有 222 2()()()3aau(等号当且仅当 即 时成立).2 22()303axyz所以 的最小值为 .u2a3.2 拉格朗日乘数法在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，那就是函数的自变量要受到某些条件的限制，例如，决定一给定点

13、 到一曲面 的最短0(,)xyz(,)0Gxyz距离的问题，就是这种情形，我们知道点 到点 的距离的平方0为 ，现在的问题，就是要求出曲面222000(,)()()()Fxyzxyz上的点 使得 最小。因此，问题可以归结为求函数(,)0Gxyz(,)xyzF在条件 限制下的最小值问题。这类问题叫做条件极值问题，F0现在先来讨论以下情况：设函数 具有对各个变元的连续偏导数，而这些变元 之间(,)fxyuv ,xyzu又受到以下条件的限制：（*）(,)0gxyuvh其中函数 和 都具有对各个变元的连续偏导数，并且它们的雅可比式(,)0Duv我们要求函数 在限制条件（*）下的极值。(,)fxy先来考

14、虑极值的必要条件。若函数 在某点 达到极值，这里 满足限制条件，(,)fuv(,)Mxyuv,xyzu设想从方程组（*）中将 解出来，亦即,(,)xyv那么问题就转化为考察函数 的直接极值问题，而它的(,)(,fxyuvxy必要条件为在极值点处函数 的全微分为零，再由一阶微分形式的不变性，得必要条件为：0ffffdxdyudv但要注意，在这里变元 之间并非相互独立变化的，而是受到条件限,xz制，因此，它们的微分之间也将满足一定的关系，这个关系只要将限制条件（*）求微分，得0ggdxdyudvhh这样我们就得到，若函数在某点 达到条件极值，那么在这一点(,)Mxyuv上应同时满足三个微分关系，。

15、M很自然的会想到这样一个办法，那就是从两个限制条件中解出两个变量，例如解出， 代入 中，称为两个变量 的函数，然后(,)uxy(,)vxy(,)fxyuv,xy用求偏导数的办法来确定函数的稳定点，后求得极值，这样虽然在理论上说得通，但实际做起来却往往较为复杂甚至是做不到的，因此，一般采用以下的方法，叫做乘数法（也叫拉格朗日乘数法）以 分别乘，式再相加，得1,()()0fghfghdxdyxyuvuv称为拉格朗日乘数，也称为待定乘数。由于,(,)0Dghuv总能求得不全为零的 使,0fghuu=0 vv这时， （4）式化为()()0fghfghdxdyxy由于 和 是相互独立的，要是上式成立，必须dy0fghxxfyy可见