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1、专题六二次函数中的探究性问题1.已知，如图，把抛物线 L1：yx 2 的图象平移得到抛物线 L2 过原点 O 和 A(4k，0)两点，其中 k 0，顶点为 C，过点 C 作直线 CD 平行于 y 轴，与抛物线 L1 交于点 D.(1)直接写出平移后抛物线 L2 的解析式( 用含 k 的代数式表示)；(2)连接 AC、OC、AD、OD.判断四边形 OCAD 的形状，并说明理由；四边形 OCAD 的形状能否成为正方形， 如果能，求出 k 的值，如不能，说明理由.(3)若点 P 为对称轴 CD 上的点，在抛物线 L2 上是否存在动点 Q，使以 A、O、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写
2、出点 Q 的坐标，如不存在，说明理由.( 用含 k 的代数式表示)【解析】(1)平移后的解析式 yx(x 4k)；(2)四边形 OCAD 是菱形.设 CD 与 x 轴交于点 M，根据对称性可得 MOMA ，可得顶点 C(2k，4k 2)，点 D 的坐标为(2k， 4k2)，可知 MDMC，四边形 OCAD 是平行四边形，又因为 CD 垂直于 OA，所以四边形 OCAD 是菱形.四边形 OCAD 的形状可以成为正方形，理由如下：四边形 OCAD 是菱形，当 OACD 时，四边形 OCAD 的形状是正方形，即 8k24k，解得 k0(不合题意，舍去 )，k ；12(3)存在点 Q 的坐标为 (6k
3、，12k 2)、(2k，12k 2)、(2k ，4k 2).2.如图 1，抛物线 ymx 211mx24m(m0) 与 x 轴交于 B、C 两点(点 B 在点 C 的左侧).(1)写出与抛物线有关的三个结论；(2)在OAC 中，OAAC，且BAC90，抛物线经过点 A，求此时抛物线的解析式；(3)如图 2，在(2)的条件下，点 M 始终位于抛物线上 A、C 两点之间， 过点 M 作垂直于 x 轴的直线 l：xn，连接 AM、MC，试探究：是否存在实数 n，使AMC 的面积最大，如存在，求出最大值，如不存在，说明理由.【解析】(1)因为抛物线 ymx 211mx24m(m 0)与 x 轴交于 B
4、、C 两点，所以抛物线与 x 轴的交点坐标为：0mx 211mx 24m，解得：x 13，x 28，所以B(3，0) ，C(8，0)，开口向下，对称轴是直线 x5.5，顶点坐标(5.5， m)；254(2)过 A 作 AEOC 于点 E，因为 OAAC，所以 OEEC 84，所以 BE431，又因为BAC 90 ，12所以ACEBAE，所以 ，AEBE CEAE所以 AE2BECE14，所以 AE2，所以点 A 的坐标为(4，2)，把点 A 的坐标(4，2) 代入抛物线 ymx 211mx24m，得m ，12所以抛物线的解析式为 y x2 x12； 12 112(3)存在实数 n，使AMC 的
5、面积最大，理由如下：因为直线 xn 与抛物线交于点 M，所以点 M 的坐标为(n， n2 n12) ，12 112由题意可知： A(4，2)，C(8，0) ，由待定系数法可求得直线 AC 的解析式为y x4，设直线 l：xn 与 CA 交于点 N，得 N(n， n4) ，12 12所以 MN n2 n12( n4) n26n16，12 112 12 12所以AMC 的面积MN 3 ( n26n16) (n6) 23，12 32 12 34即当 n6 时， AMC 的面积最大，最大面积是 3.3.如图，直线 y2x2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，把AOB 沿 y 轴翻折，点A 落
6、到点 C，过点 B 的抛物线 yx 2bxc 与直线 BC 交于点 D(3，4).(1)求直线 BD 和抛物线的解析式；(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点 M，作 MN 垂直于 x 轴，垂足为点 N，使得以 M，O，N 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)y2x2，当 x0 时，y2，B(0，2).当 y0 时，x1，A( 1，0).抛物线 yx 2bxc 过点 B(0，2)，D(3，4) ， 解得2 c， 4 9 3b c， ) b 1，c 2， )yx 2x2.设直线 BD 的解析式为 ykxb，由题意，得解得：b 2， 4
7、 3k b， ) k 2，b 2， )直线 BD 的解析式为：y2x2；(2)存在.如答图 1，设 M(a，a 2a2).MN 垂直于 x 轴，MNa 2a2，ONa.y2x2，y0 时，x1，C(1，0)，OC1.B(0，2)，OB2.当BOCMNO 时， ， 即 ，BOMN OCON 2 a2 a 2 1a解得：a 11， a22(舍去)，M(1，2).如答图 2，当BOCONM 时， ，BOON OCMN即 ，2a 1 a2 a 2a 或 (舍去) ，1 334 1 334M( ， ).1 334 1 338符合条件的点 M 的坐标为(1，2) ，( ， ).1 334 1 3384.(
8、2016原创)已知，如图，抛物线：y 1(x1) 21、 y2(x2)22、y 3(x3) 23、y n(xn) 2n(n 为正整数 )称为“系列抛物线” ，分别与 x 轴交于点 O，A、B，C、E，F、.(1)AO2，y n(xn) 2n 与 x 轴交点之间的距离是 2 ；n(2)是否存在正整数 n，使得以 yn(x n) 2n 的顶点及该抛物线与 x 轴两交点为顶点的三角形是等边三角形，若存在，求出正整数 n，若不存在，说明理由；(3)以抛物线 yn(xn) 2n 的顶点 P 为一个顶点作该二次函数图象的内接等边三角形 PMN(M，N 两点在该二次函数的图象上 )，请问：PMN 的面积是否
9、会随着 n 的变化而变化？若不会，请求出这个等边三角形的面积；若会，请说明理由.【解析】(1)抛物线 y1(x 1) 21 与 x 轴相交，令 y0 得到两交点的横坐标为 0和 2，故 AO 的距离为 2，y n(xn) 2n 与 x 轴两交点坐标为( n，0)和( n，0) ，n n所以 yn(xn) 2n 与 x 轴交点之间的距离是 2 ；n(2)存在，n3.理由：如答图 1，设 yn(xn) 2n 的顶点 G(n，n) ，抛物线与 x 轴两交点坐标为 F( n， 0)和 E( n，0) ， EF2 ，过点 G 作 GK 垂直 x 轴于点 K，得n n nEK ，GKn， 因为 yn(xn
10、) 2n 的顶点及该抛物线与 x 轴两交点为顶点的三角n形是等边三角形，所以得 n ，解得 n13，n 20(不合题意，舍去)3 n(3)PMN 的面积不会随着 n 的变化而变化.理由如下：如答图 2，根据抛物线和等边三角形的对称性，可知 MNy 轴，设抛物线的对称轴与 MN 交于点 H，则 PH HM，设 M(m，(mn) 2n)，3HMnm(mn)，又 PHy Py Hn (mn) 2n(mn) 2，(nm) 2 (nm) ，nm ，HM ，PH 3，3 3 3S PMN PH2HM 32 3 ，12 12 3 3PMN 的面积不会随着 n 的变化而变化.5.我们给出如下定义：在平面直角坐
11、标系 xOy 中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线.如图，抛物线 F2 都是抛物线 F1 的过顶抛物线，设 F1 的顶点为 A，F 2 的对称轴分别交 F1、F 2 于点 D、B，点C 是点 A 关于直线 BD 的对称点.(1)如图 1，如果抛物线 yx 2 的过顶抛物线为 yax 2bx，C(2，0).那么：a1，b2；如果顺次连接 A、B、C、 D 四点，那么四边形 ABCD 为(D)A.平行四边形B.矩形 C.菱形 D.正方形(2)如图 2，抛物线 yax 2c 的过顶抛物线为 F2，B(2，c1).求四边形 ABCD 的面积；(
12、3)如果抛物线 y x2 x 的过顶抛物线是 F2，四边形 ABCD 的面积为 2 ，请直13 23 73 3接写出点 B 的坐标.【解析】(1)由 A、C 点关于对称轴对称，得对称轴 x1.将 C 点坐标代入解析式，及对称轴公式，得 b2a 1，4a 2b 0， )解得 a 1，b 2， )当 x1 时，yx 2，D(1， 1)，yx 22x1，B(1，1)，四边形 ABCD 的对角线相等，且互相垂直平分，四边形 ABCD 是正方形；(2)B(2，c1)，AC224.当 x0，yc，A(0，c).F 1yax 2c ，B(2，c 1).设 F2ya(x2) 2c 1，点 A(0，c)在 F2
13、 上，4ac1c ，a .当 x2 时，yax 2c4a c，D(2，4ac) ，BD(4ac)14(c1)2.S 四边形 ABCD ACBD4 ；12(3)如答图所示：y x2 x (x1) 22.13 23 73 13设 F2 的解析式 y (x1a) 22b，13B(1a，2b)，C(2a1，2)，D(1 a ， a22).13B 点在 A 点的右侧时， AC1a1 ，BD a22 2b2，12 3 13解得 a ，b 1；3B1(1 ，1)，B 点在 A 点的左侧时， AC1(a1) ，BD a222b2，312 3 13解得 a ，3b1，B 2(1 ，1)，3综上所述：B 1(1 ，1)，B 2(1 ，1).3 3
