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1、 本 科 毕 业 论 文题 目 名 称 : 关 于 ”函 数 方 程 思 想 ”在 解 题 中 的 应 用 学 院 : 数 学 与 统 计 学 院 专 业 年 级 : 数 学 与 应 用 数 学 学 生 姓 名 : 班 级 学 号 : 指 导 教 师 : 二 O 一五年五月二十四日I摘 要数学思想和方法作为高中数学知识的主要思维方法, 是构成数学基础知识的重要组成部分. 长期以来 , 教师就是通过对数学思想和方法的学习来让学生掌握数学的真谛, 理解数学潜在的意义. 从这种角度出发, 我们尝试对数学中常用的函数方程思想进行归纳总结. 首先, 我对目前己有的研究进行相对全面的了解, 然后讨论函数方
2、程思想在中学数学解题中的应用, 主要是在数列、三角函数、不等式、解析几何、立体几何中的应用, 最后讨论函数方程思想方法与其它思想方法之间的联系. 函数与方程思想作为一种重要的思想, 对于中学生数学思维的培养具有重要意义. 关键字: 数学思想方法; 函数与方程思想方法 ; 函数思想; 方程思想 IIAbstractMathematical thought and method as the main thinking methods of high school mathematics knowledge, is constitutes an important part of the basi
3、c knowledge of mathematics. For a long time, the teacher is based on the mathematical thought and methods of learning to make students master the true meaning of mathematics and understand mathematical potential significance. From this perspective, we try the function equation is commonly used in ma
4、thematics thoughts generalizations. First of all, I present the existent research on relative comprehensive understanding, and then discuss the function equation of thought in the middle school mathematics problem solving application, mainly in the series, trigonometric function and inequality, anal
5、ytic geometry, the application of solid geometry, finally discuss functional equations and the connection between the thinking method and other methods. Function and equation thought as an important thought, is of great significance for the cultivation of the middle school students mathematical thin
6、king. Key words: Mathematical thinking method; Function and equation method; Function; EquationIII目 录摘 要 .IAbstract .II目 录 .III1. 引 言 .12.有关”函数方程思想”的概念 .12. 1 基本概念研究 .12. 2 国内外研究现状 .23.函数与方程思想方法的应用研究 .43. 1 函数与方程思想方法在不同问题中的应用 .43. 2 函数与方程思想方法与其它思想方法的应用联系 .7结 论 .13致 谢 .14参考文献 .1511. 引 言在中学数学应用中, “函数”
7、概念是最基础、最根本的, 现实世界中的数量关系是以运动变化的观点来描述的, 所以“函数”通常作为对学生进行素质教育的重要材料. 函数所包含的内容十分广泛, 它的概念和思维方法在数学的各个部分都有体现, 因此它为进一步的学习奠定基础. 函数思想与方程思想有着密切的联系, 无疑函数与方程思想是构建整个中学数学的主旋律, 在数学教学中如果有了函数与方程的观点, 很多问题就迎刃而解, 而没有函数与方程的观点则举步维艰, 函数与方程思想是解决它们的金钥匙. 因此, 教学中我们要重点培育它, 让它成为学生心中的一颗大树, 在他们认知领域中占有一个重要的地位. 近年来, 有很多学者做了关于函数与方程思想和方
8、法的研究, 为我们的学习和教育教学提供了借鉴, 但对于函数与方程在普通数学教学中的实践研究却并不多见. 中学数学把函数方程思想作为主要内容, 在每年的高考数学试题中关于这个知识点都有涉及, 已成为近年来考查的重难点, 所以函数与方程思想在解题中的应用对提高学生的思维能力具有很大的现实意义. 2.有关”函数方程思想”的概念2. 1 基本概念研究1. 数学思想学者们对”数学思想 ”的见解各有不同 : 有的把数学思想认为是人们对研究数学对象统一的、本质的认知. 它不仅包含对数学本质的理解, 还包含了对数学基本特性、数学对象以及数学与其他领域、数学和客观世界的联系的认识, 也包含在数学中数学创立新的概
9、念、理论、模型和方法的认识. 有部分学者认为2数学思想就是数学观念, 认为数学观念是人类用数学的思维方式来考虑问题、解决问题的自觉意识或者思维习惯, 因此数学思想是用数学理念为中心的对数学关系中最一般规律的认知. 也有部分学者把数学思想理解为对数学事实与理论的本质认识, 同时也是解决和处理函数与方程思想在数学应用中的基本见解, 以及对中学数学重难点知识的总结. 比较以上几种观点, 它们的相同点是 : 首先数学思想是一种理性的认识, 是一种“隐数学性 ”的知识, 因此数学思想在数学定义、定理、方法等理性认识中占据着重要地位, 同时也是对整个中学数学知识点的更深一步提升与总结. 所以,数学思想是每
10、个高中老师都该具备的教学素质, 同时也是学生透过现象看本质的逆向思维的转化. 2. 数学方法数学方法是对一般事物, 我们通常用数学语言表述它的状态、关系和过程, 从而再对它进行推导、演算和分析, 最后总结出对问题的理解判断和预言的方法. 人们通常在活动中主观能动地选择和运用不同的数学手段来达到目的, 所以我们认为数学方法也是人的一种活动. 我们也认为这是对方法的真正理解. 数学家徐利治通过研究发现数学方法可以分为两个方面, 一方面是宏观的, 一方面是微观的. 所以数学工作者在研究数学发展规律的时候, 若研究的数学问题不涉及内在因素, 我们就采用宏观的方法论. 若涉及到数学内在因素, 研究就要遵
11、循一定的方法和数学法则, 我们称之为微观的方法论. 因此, 方法可以理解成人们解决数学问题的策略、途径. 本文所说的数学方法是指数学徐利治的微观方法论中的方法, 所以是研究工作者个人一定要遵循的方法与法则. 2. 2 国内外研究现状我们在解决数学问题的过程中应用的数学方法各不相同, 数学家罗建宇认为, 运用函数的概念和性质去解决数学问题是函数的思想. 而通过组建数学模型是方程的思想 3. 数学家郑一平认为, 方程思想其本质就是找出数学问题中的等3量关系, 进而建立方程, 通过解方程解决数学问题. 数学家王太青认为, 在中学数学中函数思想的运用尤为重要, 函数是中学数学内容的重要组成部分, 高考
12、时也是重点考察的内容, 所以说在中学数学的学习过程中运用函数与方程思想非常重要 4. 国外研究表明, 其实函数作为一个备受所有数学家青睐的概念, 它并没有在产生之后就立刻进入到中小学的数学教材中. 国外关于函数思想的研究主要集中在教学实践上, 发现许多学生认为变量一直是数学 “变”, 而常量也永远是“常”,对于变量有时“ 受制” 与常量有时 “不常”的问题, 在数学上理解不透, 不清楚研究变量必须要通过研究其常量才能实现的道理 1.这是因为他们没有以维运用唯物主义的认识论去看待事物的运动发展. 通过以上研究表明: 国内外多数教师认为, 在整个中学数学教材的内容中函数与方程的思想是主要内容, 占
13、有很大比重, 几乎贯穿整个中学数学学习的过程, 能够联系其它的数学知识, 构成数学知识网络, 是中学数学学习的核心思想方法. 43 函数与方程思想方法的应用研究3. 1 函数与方程思想方法在不同问题中的应用1. 在不等式中的应用例 3.1 设 , 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 当 时, ()fxg 0x, 且 , 求不等式 的解集. ()0Fxg(3)0()Fxg分析 善于根据条件构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键之一本题通过构造函数 , 根据题意明确该函数的性质得出函数的图()()Fxfgx像, 然后由不等式解集与函数图像间的关系使问题获得解决. 解 构造 , ()()f因为 时, 0x ()()0Fxgx所以 , 即 在 上单调递增.()Fx(),0因为 , 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, fg有,.()()()(FxfgxfgxF所以 为 R 上的奇函数, 所以 在 上也单调递增.(x) 0,又因为 , 所以 .则 的解集为 . 30g(3)()x(3,0)(,)1. 在数列中的应用例 3.2 己知等差数列共有 项, 其中奇数项之和为 , 偶数项之和为 , 101530求公差. 分析 这道题考查的是等差数列的定义, 通过解方程组得出结论. 5解：设等差数列
