方程的等量关系

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1、1等量关系问题一、 基本问题的等量关系基本问题涉及两类等量关系，即和差与倍比关系。1.和差问题【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。【数量关系】 若有两数其和为 a 其差为 b 求这两数设一数为 x，则另一数就为（a x） 那么就列方程：x (a x) =b（或设一数为 x，则另一数就为（x b） 那么就列方程：x+ (x b) =a【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。例 1：甲乙两班共有学生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有多少人？解 ：1设甲班有 x 人，则乙班有（98x）人，可列方程：x -（98-x

2、）= 6（或设甲班有 x 人，则乙班有（x6）人，可列方程：x+（x6）= 98）2设乙班有 x 人，则甲班有（98x）人，可列方程：（98-x）-x= 6（或设乙班有 x 人，则甲班有（x+6）人，可列方程： x+（x+6）=98）例 2：甲乙两车原来共装苹果 97 筐，从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐，两车原来各装苹果多少筐？解 ：1设甲有 x 筐 则乙有（97x）筐，可列方程：(x-14) -（97x+14）=32设乙有 x 筐 则甲有（97x）筐，可列方程：（97x-14）- （x+14） =32.和倍问题【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大

3、数的几分之几） ，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。【数量关系】 设有两数其和为 a 一数是另一数的 n 倍（或 ）求这两数1设一数为 x，则另一数就为（nx） 那么就列方程：x + nx =a（或设一数为 x，则另一数就为（ ） 那么就列方程：x+ =a）nx【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 1：果园里有杏树和桃树共 248 棵，桃树的棵数是杏树的 3 倍，求杏树、桃树各多少棵？解：1设杏树有 x 棵，则桃树有 3x 棵，可列方程：x+3x=24822设桃树有 x 棵，则杏树有 x 棵，可列方程：x+ x =2483131例 2： 甲站原有

4、车 52 辆，乙站原有车 32 辆，若每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24辆，几天后乙站车辆数是甲站的 2 倍？解：设：x 天后，则可列方程：2（5228x）=32+24 x3.差倍问题【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几） ，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。【数量关系】 设有两数其差为 a 一数是另一数的 n 倍（或 ）求这两数1设一数为 x，则另一数就为（nx） 那么就列方程： n -x x = a（或设一数为 x，则另一数就为（ ） 那么就列方程：x- =a）nx【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式

5、。例 1：果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍，而且桃树比杏树多 124 棵。求杏树、桃树各多少棵？解：1设杏树有 x 棵，则桃树有 3x 棵，可列方程：3x-x=1242设桃树有 x 棵，则杏树有 x 棵，可列方程：x- x=124131例 2：商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的 2 倍还多 12 万元，又知本月盈利比上月盈利多 30 万元，求这两个月盈利各是多少万元？解：设上月盈利 x，则本月盈利（2x+12） ，则可列方程：（2x+12）- x =304.比例问题（倍比问题）【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定

6、） ，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。若在解题时，先求出一份是多少（即单一量） ，然后以单一量为标准，求出所要求的数量的也叫做归一问题；若先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的数量的也叫做归总问题。【数量关系】 若两数之商为定值则一数增减多少倍则另一数也相应增减多少倍。若两数之积为定值则一数增减多少倍那么另一数则减增多少倍。若有 的话badc求a b c d之一，则设其一为x，再按公式列方程。如求a，则设a为x，则可列方程

7、：【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。3例 1： 买 5 支铅笔要 0.6 元钱，买同样的铅笔 16 支，需要多少钱？解：设需要 x 元，则可列方程： 56.01x例 2： 服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米，改进裁剪方法后，每套衣服用布 2.8 米。原来做 791 套衣服的布，现在可以做多少套？解：设可做 x 套，则可列方程：7913.22.8x（1）这批布总共有多少米？ 例 3： 修一条公路，已修的是未修的 1/3，再修 300 米后，已修的变成未修的 1/2，求这条公路总长是多少米？解 ：设总长为 x 由条件知， 公路总长不变，则可列方程： x+300=

8、 x312例 3： 孙亮看十万个为什么这本书，每天看 24 页，15 天看完，如果每天看 36 页，几天就可以看完？解： 设 x 天可以看完，就有 2436x15 例 4：从前有个牧民，临死前留下遗言，要把 17 只羊分给三个儿子，大儿子分总数的 1/2，二儿子分总数的 1/3，三儿子分总数的 1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。解： 因为 1/21/31/9962 设大儿得 9x，则二儿、三儿分别得 6x、2x，可列方程：9x+6x+2x=17二、生活中实际问题的等量关系实际问题中遇到的等量关系一般是和差关系与倍比关系的综合运用，只是主次关系不同而已。倍比定值辅以和差类问题

9、，即两等量间（或一等量内）有倍比定值关系，而其中又有一等量内（或两等量内）的某个或某几个量内存有和差定值的数量关系的一类问题。这是以倍比为主、以和差为辅的关系。（一）行程问题【含义】涉及物体运动的问题。【数量关系】基本的数量关系：s = v t 路程 = 速度时间。行程问题有两种基本形式：相向而行和同向而行。相向而行的公式：相遇时间=距离速度和。同向而行的公式：追及时间=追及距离速度差。【解题关键】要正确的解答有关行程问题”的应用题，必须弄清物体运动的具体情况。4运动的方向（相向，相背，同向），出发的时间（同时，不同时），出发的地点（同地，不同地），运动的路线（封闭，不封闭），运动的结果（相遇

10、、相距多少、交错而过、追击）。运动物体受外力作用的情况，如水流的影响、风的影响等。1相遇问题【含义】 两个运动的物体同时（或不同时）由两地出发相向而行在途中相遇的问题。【数量关系】 若同时：相遇时间总路程（甲速乙速）总路程（甲速乙速）相遇时间设两运动物体甲乙从甲乙两地同时出发相向而行，甲乙两地相距 s，甲速为 V 甲、乙速为 V 乙，t 时相遇。则可列方程：S=（V 甲+V 乙）t (可根据需要选设 s V 甲 V 乙 t 之一为 x)若不同时，则在路程中加上或减去相应的里程数。【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。典型例：例： 甲乙二人同时从甲乙两地骑自行

11、车相向而行，甲每小时行 15 千米，乙每小时行 13 千米，甲乙两地的距离 84 千米，甲乙两人经过几小时相遇？解：设 x 时相遇.，则可列方程：（15+13）x 84变型例 1： 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行 15 千米，乙每小时行 13 千米，两人在距中点 3 千米处相遇，求两地的距离。解：设 x 时相遇.，则可列方程：15x-3=13x+3那么两地距离为：（15x-3）或（ 13x+3）解：设两地的距离 x(时间相等)313=+315例 2： 甲乙二人同时从甲乙两地骑自行车相向而行，甲每小时行 15 千米，乙每小时行 13 千米，甲乙两地的距离 84 千米，若乙先行 1

12、 小时后甲再出发，则甲乙两人经过几小时相遇？解：设 x 时相遇.，则可列方程：（15+13）x 841312追及问题【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的一类问题。【数量关系】1追及时间追及路程（快速慢速） 即 s = v t追及路程（快速慢速）追及时间 即 t= v s52例两运动物体同路同向而行，甲每时走 a 千米，乙每时走 b 千米(a b)，乙先走 m 时，甲 x 时追上乙？ 则可列方程：mb = (a b )x【解题思路和方法

13、】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。典型例 好马每天走 120 千米，劣马每天走 75 千米，劣马先走 12 天，好马几天能追上劣马？解 ：设 x 天追上，则可列方程：（12075）x = 75 12变型例 1：兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走 90 米，妹妹每分钟走 60 米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校 180 米处同妹妹相遇。问他们家离学校有多远？解：设 x 米远 ，则可列方程： (时间相等) 9018x6例 2：兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走 90 米，妹妹每分钟走 60 米。哥哥离妹妹 300 米远时到了校门口，却发现忘记带课本，

14、立即沿原路回家去取再与妹妹相遇，问从家上学到再与妹妹相遇哥哥共用了多少分钟？解：设用 x 分钟，则可列方程：则可列方程：60x+90x=300 2例 3：两地相距 15 公里，甲先行 15 分钟后乙再追赶并与甲同时到达目的地，已知乙的速度是甲的 1.5倍，求甲乙的速度各多少？解：设甲的速度为 x，则乙的为 1.5x，由题意可列方程：- =15.603 航行问题【含义】 是指与航行有关的问题。【解题关键】解答这类问题要弄清船、机速与水风速，船机速是船机本身航行的速度，也就是船机在静水风中航行的速度；水风速是水流和风的速度，船机顺水风航行的速度是船机速与水风速之和；船机逆水航行的速度是船机速与水风

15、速之差。【数量关系】1航行问题涉及的航程一般是一定的，因此有数量关系：顺水风速度顺水风航行时间逆水风速度逆水风航行时间顺水风速度船机在静水风中航行的速度+水风速逆水风速度船机在静水风中航行的速度水风速2若航行器静水风速为 V 静 、水风速为 V，顺程用时 t 顺 逆程用时 t 逆 ，则可列方程：（V 静 +Vn）t 1（V 静 - Vn ）t 2【解题思路和方法】 1大多数情况可以直接利用数量关系的公式。2解答这类问题要弄清船、机速与水风速，船机速是船机本身航行的速度，也就是船机在静水风中航行的速度；水风速是水流和风的速度，船机顺水风航行的速度是船机速与水风速之和；船机逆水航行的速度是船机速与水风速之差。典型例 1 ：一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时 576 千米，风速为每小时 24 千米，飞机逆风飞行 3 小时到达，顺风飞回需要几小时？解：设需要 x 小时，则可列方程：（576+）x3（576 24）变型6例 2 一只船顺水行 320 千米需用 8 小时，水流速度为每小时 15 千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？解：设 x 小时，则可列方程：320815320x+15例 3 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了 2 小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了 2.5小时。已知水流的速度是 3 千米/时，求船在静水中的速度。解：设船在静水中的平均速度为 x 千