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1、 http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司考能训练 12 平面向量及其应用一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如果 ab=ac，且 a0，那么（ ）A.b=c B.b=c C.bc D.b,c 在 a 方向上的投影相等答案:D 解析:b 在 a 方向上的投影为 ，c 在 a 方向上的投影为 ，又 ab=ac，且 a0,故选|b|cD.2.已知 =(1,3)， =(1,3)，要使|t + |的值最小，则 t 的值为（ OABOAB）A.-1 B.1 C. D. 22答案:B解析: |t + |=|（t-
2、1,-3t+3）|= .OAB |10)3()1(22ttt当 t=1 时，|t + |取最小值.3.(2006 辽宁沈阳教学质量检测， 5)设 i，j 是平面直角坐标系内分别与 x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若 =4i+2j, =3i+4i,则 2 + 的OABOAB坐标是（ ）A.（1，2） B.（7，6）C.（5，0） D.（11，8）答案:D解析:2 + =2(4,2)+(3,4)=(11,8).OAB4.平面上 A（-2，1） ，B（1， 4） ，D （4，-3） ，C 点满足 = ，连 DC 并延长A21BC至 E，使| |= | |，则点 E 坐标为（
3、）CA.（-8，- ） B.（- , ）35381C.（0，1） D.（0，1）或（2， ）31 http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司答案:B解析:x c= ,yc= ,故 C（-1，2）.1224又 E 分 的比为 - ，CD4故 xE= .选 B.38415.设向量 a=（ ，cos）,向量 b=(sin, ),且 ab，则锐角 为（ ）231A.60 B.30 C.75 D.45答案:D解析:ab =cossin sin2=1 =45.316.(2006 广东深圳调考，7)按向量 a=（ ，2）平移函数 f(x)=2sin（x- ）的图象，得到函63数 y=g(x)的图
4、象，则（ ）A.g(x)=-2cosx+2 B.g(x)=-2cosx-2C.g(x)=-2sinx+2 D.g(x)=-2sinx-2答案:A解析:函数 f(x)=2sin(x- )的图象向右平移 个单位,再向上平移 2 个单位,得到 g(x)=2sin(x-36- )+2=-2cosx+2 的图象.637（理）(2006 江苏启东模拟)设非零向量 a、b、c，若 p= ，那么| p|的取值范|cba围为（ ）A.0，1 B.0，2C.0，3 D.1，2答案:C解析:|p|=| | =3,选 C.|cba|cba（文）已知向量 ae，|e |=1 对任意 tR，恒有| a-te|a-e|，则
5、（ ）A.ae B.a(a-e)C.e(a-e) D.(a+e)(a-e)答案:C解析:| a-te|a-e| a2-2ta +t2e2a2-2ae+e2 t2-(2ae)t+2ae-10,对任意 tR 都成立，故（2ae) 2-4(2ae-1)0,ae=1,e(a-e)=ae-e2=0 即 e(a-e). http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司8.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A（3，1 ） ，B （-1 ，3） ，若点 C 满足= + ，其中 、 R，且 +=1，则点 C 的轨迹方程为CABA.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-
6、y=0 D.x+2y-5=0答案:D解析:设 =（x,y）, =(3,1), =(-1,3), =(3,), =(-,3),OOBAOB又 + =(3-,+3),(x,y)=(3-,+3).AB 又 +=1,因此可得 x+2y=5.,3ayx二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分.把答案填在题中横线上)9.(2006 江苏南京师大附中模拟， 13)给定两个向量 a=(1,2)，b=(x,1)，若 ab 与 ab 垂直，则 x 的值等于_.答案:2解析:（a+ b）（a-b）=0 a2-b2=0 1+22=x2+1,x=2.10.(2006 上海十校测试，10) ABC 的
7、两条边上的高的交点为 H，外接圆的圆心为 O，=m( + + )，则实数 m=_.OHABOC答案:1解析:令A=90，则 O 为 BC 的中点，H 为 A 点，此时所给等式变为 =m( +0)Am=1.另解：取 BC 的中点 D，则 + =2 ，且只有 ODBC，AHBC ，由BCOD=m( + + ) + =m( +2 ) =(m-1)HAODAH+2m ,O =(m-1) +2m 0=(m-1) +0 m=1.BCOBCDBBC11.已知下列命题： =0； 若向量 =(-3,4),则 按向AAA量 a=(-2,1)平移后的坐标仍是（ 3，4） ；“向量 b 与向量 a 的方向相反”是“b
8、 与 a 互为相反向量”的充分不必要条件；已知点 M 是ABC 的重心，则=0.CMBA其中正确命题的序号是_（把你认为正确命题的序号都填上）.答案:解析:因 =0，故真,假;应为必要不充分条件,为真.A三、解答题（本大题共 4 小题，共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司12（本小题满分 10 分）已知向量 m=（a-sin,- ）,n=( ,cos).21（1）当 a= ，且 mn 时，求 sin2 的值；（2）当 a=0，且 mn 时，求 tan 的值.解：（1）当 a= 时，m=（ -sin,- ）,221mn,由
9、 mn=0，得 sin+cos= ,上式两边平方得 1+sin2= ，因此，sin2=-2121（2）当 a=0 时，m=(-sin,- ),由 mn 得 sincos= .即 sin2=421sin2= ,tan=2+ 或 2- .2tan1313（本小题满分 12 分）已知向量 a=（cos ,sin ）,b=(cos ,-sin ),x , ,x2x64（1）求 ab 及| a+b|；（2）求函数 f(x)= (R 且 0)的最小值.|)(解：（1）ab=cos cos +sin x(-sin )=cos( + )=cos2x.23x2x3xa+b=(cos +cos ,sin -sin
10、 )，又 x , ,|a+b|=2cosx.64(2)f(x)= ,)cos21(cos2x又 x , , cosx .643g(t)=t- t 在 t0 为增函数.21当 0 时，cosx= 时，f(x)取得最小值 0;当 0 时，cosx= 时，f(x)取得最小值23 http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司6314（本小题满分 12 分）(2006 湖北孝感二模)已知ABC 中， = ， =4，BC23A = ，PQ 是以 A 为圆心， 为半径的圆的直径，求 的最大值、AB32 BPCQ最小值.并指出取最大值、最小值时向量 的方向.PQ解： cosBAC= ，3852416
11、 =5， =- ,ABCAPQ =（ - ）（ - ）= （- - ） （ -PQBACAQBA）A=-（ ） 2+ （ - ）+ = +3.ACAC设 与 的夹角为 ，则 =6cos.AQBQB当 cos=1 时，即 与 同向时， 有最大值 9；PCPC当 cos=-1 时，即 与 反向时， 有最小值-3.QBBQ15（本小题满分 14 分）已知向量 a=(cos,sin),b=(cos,sin)且| a+b|= |a-kb|,k- ,kR.31（1）用 k 表示 ab；（2）当 ab 最小时，求向量 a+b 与向量 a-kb 的夹角 的余弦.解析:（1） |a+b|2=3|a-kb|2 h
12、ttp:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司（ cos+cos)2+（sin+sin) 2=3(cos-kcos) 2+(sin-ksin)2.得 cos(-)= .13k由 k- 及|cos(-)|1,得 1- k1+ ,32a =coscos+sinsin=cos(-)= ,k1- ,1+ .b12k32(2)令 3k+1=t,则 t0,k= (t-1)代入上式可得3ab= ,31)24(61)24(612tt当且仅当 t=2，即 k= (t-1)时，取 “=”， （a b） min= .3此时 cos= 22)31()(|)() bakba= baba329123222将 a2=1,b=1,ab= 代入上式可得 cos= ,=arccos ,33即 a+b 与 a-kb 的夹角为 arccos
