《直线、平面垂直的判定与性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《直线、平面垂直的判定与性质（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1直线与平面垂直(1)定义如果直线 l 与平面 内的_ 直线都垂直，则直线 l 与平面 垂直(2)判定定理与性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条_直线都垂直，则该直线与此平面垂直Error!l 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线_ Error!ab2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和_所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角若一条直线垂直于平面，它们所成的角是_，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是_的角(2)范围：0 ， 23平面与平面垂直(1)二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角：在二
2、面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作_的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一个平面过另一个平面的_，则这两个平面垂直Error!性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于_的直线与另一个平面垂直Error! l【知识拓展】重要结论：(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线( 证明线线垂直的一个重要方法)(3)垂直于
3、同一条直线的两个平面平行(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行( )(3)直线 a，b，则 ab.()(4)若 ，a a.()(5)若直线 a平面 ，直线 b，则直线 a 与 b 垂直()1(教材改编)下列命题中不正确的是()A如果平面 平面 ，且直线 l平面 ，则直线 l平面 B如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D如果平面 平
4、面 ，平面 平面 ，l ，那么 l2设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且 bm，则“” 是“a b”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3(2017宝鸡质检)对于四面体 ABCD，给出下列四个命题：若 ABAC， BDCD ，则 BCAD ；若 ABCD，ACBD，则 BCAD ；若 ABAC， BDCD ，则 BCAD ；若 ABCD，ACBD，则 BCAD .其中为真命题的是()A B C D4(2016济南模拟)如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，MD平面 ABCD，NB平面 ABCD，且 M
5、DNB 1，G 为 MC 的中点则下列结论中不正确的是 ()AMCANBGB平面 AMNC平面 CMN平面 AMND平面 DCM平面 ABN5(教材改编)在三棱锥 PABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O.(1)若 PAPBPC，则点 O 是ABC 的_心(2)若 PAPB，PB PC，PCPA，则点 O 是ABC 的_ 心题型一直线与平面垂直的判定与性质例 1(2016全国甲卷改编)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点O，AB5，AC6，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AE CF ，EF 交 BD 于点 H.将DEF54沿 EF 折到D EF 的位置OD
6、.10证明：DH平面 ABCD.思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的 传递性(ab，a b )；面面平行的性质(a，a )；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想(2015江苏)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知 ACBC，BC CC 1.设 AB1的中点为 D，B 1CBC 1E.求证：(1)DE 平面 AA1C1C；(2)BC1AB 1.题型二平面与平面垂直的判定与性质例 2如图，四棱锥 PABCD 中，ABAC
7、，AB PA，AB CD，AB2CD，E，F，G ，M，N 分别为 PB，AB，BC ，PD ，PC的中点(1)求证：CE平面 PAD；(2)求证：平面 EFG平面 EMN.引申探究1在本例条件下，证明：平面 EMN平面 PAC.2在本例条件下，证明：平面 EFG平面 PAC.思维升华(1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a ) (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后 进一步 转化为线线垂直(2016江苏)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，
8、且 B1DA 1F，A 1C1A 1B1.求证：(1)直线 DE平面 A1C1F；(2)平面 B1DE平面 A1C1F.题型三垂直关系中的探索性问题例 3如图，在三棱台 ABCDEF 中，CF 平面 DEF，ABBC.(1)设平面 ACE平面 DEF a，求证：DF a；(2)若 EFCF2BC，试问在线段 BE 上是否存在点 G，使得平面 DFG平面 CDE？若存在，请确定 G 点的位置；若不存在，请说明理由思维升华同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明(2016北京东城区模拟) 如图，在三棱柱 ABCA 1B1
9、C1 中，侧棱 AA1底面ABC，M 为棱 AC 的中点ABBC ，AC 2，AA 1 .2(1)求证：B 1C平面 A1BM；(2)求证：AC 1平面 A1BM；(3)在棱 BB1 上是否存在点 N，使得平面 AC1N平面 AA1C1C？如果存在，求此时 的值；BNBB1如果不存在，请说明理由17立体几何证明问题中的转化思想典例(12 分) 如图所示，M ，N，K 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 AB，CD，C 1D1 的中点求证：(1)AN平面 A1MK；(2)平面 A1B1C 平面 A1MK.思想方法指导(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相
10、互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础 证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行 线分线段成比例；证明垂直时 常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范规范解答：提醒：完成作业第八章8.5答案精析基础知识自主学习知识梳理1(1)任意一条(2) 相交a，babO l alb平行ab2(1)它在平面上的射影直角03(1)两个半平面垂直于棱(2)直二面角(3) 垂线交线思考辨析(1)(2)(3) (4)(5)考点自测1A2.A3.D4.C5.(1)外(2) 垂题型分类深度剖析例
11、 1证明 由已知得 ACBD，ADCD.又由 AECF 得 ，故 ACEF.AEAD CFCD因此 EFHD，从而 EFD H.由 AB5，AC6 得 DOBO 4.AB2 AO2由 EFAC 得 .OHDO AEAD 14所以 OH1，DHDH3.于是 DH 2OH 23 21 210D O 2，故 DHOH.又 DHEF，而 OHEF H，且 OH，EF平面 ABCD，所以 DH平面 ABCD.跟踪训练 1证明(1)由题意知，E 为 B1C 的中点，又 D 为 AB1 的中点，因此 DEAC.又因为 DE平面 AA1C1C，AC平面 AA1C1C，所以 DE平面 AA1C1C.(2)因为棱
12、柱 ABCA1B1C1 是直三棱柱，所以 CC1平面 ABC.因为 AC平面 ABC，所以 ACCC 1.又因为 ACBC，CC 1平面 BCC1B1，BC平面 BCC1B1，BCCC 1C ，所以 AC平面 BCC1B1.又因为 BC1平面 BCC1B1，所以 BC1AC.因为 BCCC 1，所以矩形 BCC1B1 是正方形，因此 BC1B 1C.因为 AC，B1C平面 B1AC，ACB 1CC ，所以 BC1平面 B1AC.又因为 AB1平面 B1AC，所以 BC1AB 1.例 2证明(1)取 PA 的中点 H，连接 EH，DH.又 E 为 PB 的中点，所以 EH 綊 AB.12又 CD
13、 綊 AB，12所以 EH 綊 CD.所以四边形 DCEH 是平行四 边形，所以 CEDH.又 DH平面 PAD，CE平面 PAD.所以 CE平面 PAD.(2)因为 E、F 分别为 PB、AB 的中点，所以 EFPA.又因为 ABPA，所以 EFAB，同理可证 ABFG.又因为 EFFGF，EF平面 EFG，FG平面 EFG.所以 AB平面 EFG.又因为 M，N 分别为 PD，PC 的中点，所以 MNCD，又 ABCD，所以 MNAB，所以 MN平面 EFG.又因为 MN平面 EMN，所以平面 EFG平面 EMN.引申探究1证明因为 ABPA ，ABAC，且 PAACA，所以 AB平面 P
14、AC.又 MNCD，CDAB，所以 MNAB，所以 MN平面 PAC.又 MN平面 EMN，所以平面 EMN平面 PAC.2证明因为 E，F，G 分别为 PB，AB，BC 的中点，所以 EFPA，FGAC，又 EF平面 PAC，PA平面 PAC，所以 EF平面 PAC.同理，FG平面 PAC.又 EFFG F，所以平面 EFG平面 PAC.跟踪训练 2证明 (1)由已知，DE 为ABC 的中位线，DEAC，又由三棱柱的性质可得 AC A1C1，DEA 1C1，又DE平面 A1C1F，A1C1平面 A1C1F，DE平面 A1C1F.(2)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1平面 A1B1C1，AA 1A 1C1，又A 1B1A 1C1，且 A1B1AA 1A 1，A 1C1平面 ABB1A1，B 1D平面 ABB1A1，A 1C1B 1D，又A 1FB 1D，且 A1FA 1C1A 1，B 1D平面 A1C1F，又B 1D平面 B1DE，
