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1、数学：让我们合理的猜想【摘要】：数学猜想是一种创造性思维活动，它既是科学发现的先导，也是实现问题解决的一种手段。数学猜想对数学学习，数学思维和品质的形成，数学的进步和发展，人类的自我完善和进步都具有重要意义。要加强数学猜想意识和能力的培养，数学猜想应走进数学课堂。由于数学猜想的局限性，课堂教学不要停留在猜想的层面上，还要教学生善于反思、论证。【关键词】：演绎；猜想；数学猜想一、 什么是数学猜想猜想是对研究的对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的材料知识做出的符合一定经验与事实的推测性想象的思维方法。它既是科学发现的先导，也是问题解决的一种手段。从学生学习的角度上理
2、解，是指学生利用原有的认知结构和知识经验，直接进行有目的有方向的猜测与判断。数学猜想实际上是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律本质时的一种假设，是一种合理的推导。数学方法理论的倡导者G.波利亚说过：在数学领域中，猜想是合理的，值得尊重的，是负责任的态度。他认为在某些情况下教猜想比教证明更重要。综观数学发展史，我们发现很多的数学结论都是从猜想开始，然后再设法证明的。事实证明，中学生接受形式化的抽象结论是有困难的，但数学教材中有关的概念和定理都是用严格的逻辑记录下来，在学生看来数学是一门系统的演绎科学，看不到其形成过程中的直觉的念头， “它像一只狡猾的狐狸，掩盖了它来时留在沙地上的痕迹。 ”学
3、生在解题的过程中，经常会出现思维受阻现象，怎么办？这时，教师往往做“像是帽子里突然跑出一只兔子”式的讲解，学生进行模仿训练。新课程改革要求学生应主动地从事观察实验，猜想论证，推理交流等数学活动，近年来的中、高考也突出了对数学的探索能力、直觉思维能力，合情推理能力的考察，这从另一侧面反映出猜想能力的重要性，以及培养的必要性。二、 数学猜想的类型和特征数学猜想的类型数学猜想从其所表述的内容看，大体可以分为存在型猜想、规律型猜想和方法型猜想等三种类型。.存在型猜想。所谓存在型猜想，即指内容是讨论存在型问题的那些数学猜想。这一类型的数学猜想，按其内容又分为两种：（） 、只讨论存在与否；（） 、既讨论存
4、在与否，又指明其内容或量的关系。.规律型猜想。所谓规律型猜想，即指内容是揭示规律性的那些数学猜想。这一类的数学猜想按其内容可分为三种：（） 、揭示性质；（） 、揭示状态；（） 、揭示量的关系。.方法型猜想。所谓方法型猜想，即指内容是阐述解决问题的方法与途径的那些数学猜想。数学猜想的特征.真伪的待定性。数学猜想具有两个显著的特点：一是具有一定的科学性；二是具有某种假定性。正是由于这两个特点，便决定了数学猜想是处于孕育阶段的尚待证实和公认的数学思想，也就是说，它必然表现出真伪的待定性，究其结果可能被肯定，也可能被否定，还可能是不可判定的。.思想的创新性。数学猜想常常是数学理论的萌芽和胚胎，因而必然
5、具有创新性。 “创新”是数学猜想的灵魂，没有创新就没有数学猜想。数学猜想的创新性首先体现在提出新的见解上面。其次，数学猜想的创新性还表现在预见新的事实上面。第三，数学猜想的创新性也表现在揭示新的规律上面。.目标的具体性。一般说来，数学猜想中所给出的结论是明确的、具体的。诸如：“有解”、 “无解” 、 “可证” 、 “不可证” 、 “可作” 、 “不可作”等，但是，一般数学问题并非是这样明确、具体。因此，与一般数学问题相比，目标的具体性是数学猜想的一个明显特征。事实上，无论是哪种类型的数学猜想，都具有这种具体性。我们先来看存在型猜想。这种猜想有时明确指出要解决的目标或对象存在还是不存在，也有时不
6、仅具体指出这种存在性，而且还指出存在的具体内容或多少。至于规律型猜想与方法型猜想，也是如此，它们均为具体的规律、方法等。三、数学猜想的意义.没有大胆的猜想，就没有伟大的发现。 （牛顿语）猜想是数学发展的动力。数学猜想不但促进了数学理论的发展，而且也促进了数学方法论的研究。一个学科只有大量的问题提出，才能使它永葆青春。正因为历史上有诸如歌德巴赫猜想、费尔马猜想等猜想的提出，数学科学才发展为今天壮观的现代数学。希尔伯特说：“某类问题对于一般数学进展的深远意义以及它们在研究者个人工作中所起的重要作用是不可否认的。数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观
7、点，达到更为广阔和自由的境界。 ”只要研究某个问题时能在研究过程中产生使人感兴趣的数学，那么研究就是值得的即使你最终也没有解决它。判断一个数学问题是好是坏，其标准就是看它能否产生新的数学，而不是问题本身。.有利于激发学生的学习兴趣和增强学习动力，有利于创新思维和创新意识的培养。孔子说过：“知之者不如好知者，好知者不如乐知者。当一个学生对某个学科感兴趣时，他就会积极思考，想方设法地去解决本学科所遇到的所有问题，从而充分调动学生学习的积极性，主动性，使潜能得到更大的发挥，促进数学思维和数学品质的形成，并最终促进素质的提高和人的全面发展。所以，如何调动学生的学习积极性是每一位教师必须思考和想办法解决
8、的问题。而猜想有时会帮助我们做到这一点。 “学生自己提出了猜想，也就会有追求证明的愿望，因而此时的数学教学最富有吸引力，切莫错过良机（波利亚语） 。学生自己的猜想一旦被证明，就会得到极大的乐趣，得到极大的满足感和成就感，就会对数学学习产生浓厚的兴趣，从而更有利于数学的学习。数学猜想是一种创造性的思维过程，必然有利于创新思维品质的形成和创新意识的培养。.数学猜想使数学知识产生的更加和谐而自然，有利于更为透彻地理解和掌握数学知识。数学教学的过程就是浓缩的数学发展史的过程，只有教给学生发现的过程，教给学生合理的猜想，才符合学生认知规律和教学规律，使知识的形成和谐而自然，更有利于学生的发展。传统的数学
9、教学注重演绎推理，教师进行“像是帽子里突然跑出一只兔子”式的讲解，学生进行“程序输入”式的解题训练，教材也毫不吝啬地砍去了活生生的知识发生过程，这些极大地妨碍了学生思维能力的培养，尤其妨碍学生可持续发展潜力的挖掘。数学的特点是严谨，逻辑性强，学生在学习时往往只注重了知识的表层，或者去死记知识，这样在运用知识时就会出现问题。所以教师在讲解数学知识时，不应直接告诉学生，而应让学生逐步地猜想这些知识，并不断地推理、证明，这样，学生就会对所学知识有更深刻、更加完整的理解，就能够很好的应用所学知识解决具体的问题。四、让猜想走进数学课堂数学家 G.波利亚认为猜想对数学的研究和发现比逻辑思维更重要，因此他向
10、广大教育工作者发出这样的呼吁：“让我们教猜想吧！”那么怎样教猜想，怎样帮助学生提高猜想的准确率就成了数学教师追求的教学目标之一。.教师应成为懂猜想、会猜想的科研型的教师。很难想象，一位既不懂猜想也不会猜想的教师能培养出具有高水平猜想能力的学生。教猜想必须懂猜想、会猜想。作为数学教师，我们应加强理论学习，应具备较高的猜想能力，懂得现代教育理论，能够设计出让学生自由讨论的题目，能够设计出可以有多种答案，并能澄清学生模糊、错误认识的题目，能够设计出学生可能产生创造性见解（即猜想）的题目，这也是数学创新教学的艺术。大胆地猜想和教猜想，同时密切关注学生的思维发展状况，摸索猜想规律，总结经验，并在理论上加
11、以探索、论证。.营造宽松的、良好的猜想氛围。教育家罗杰斯指出：“有利于创造活动的一般条件是心理的安全和心理的自由” 。因此教师要善于营造一种宽松的教学环境，敢于放手让学生充分讨论，要鼓励学生从多角度进行回答。教师不必去限制学生思维的疆域，鼓励学生积极思考，不迷信已有结论，不满足现成解答，大胆猜想，不断开拓。猜想合理的进行鼓励，猜想偏向的进行引导，不猜想的进行鞭策，使学生的被动的猜想行为转变成自觉的猜想行为，师生共同构建数学猜想共同体。创新性的见解往往就在学生的各抒己见之中，学生的热烈讨论之时。学生发散思维最为活跃之际，学生思维的火花才会开始绽放，各种猜想才会产生，进一步才有创新的见解。.要加强
12、对学生猜想意识和能力的培养。拉卡拉斯指出：朴素的猜想构成了数学发现的逻辑实际出发点。从某种意义是可以断言，没有猜想和证明就没有数学。因此，既要培养学生猜想的意识，更要教会学生怎样猜想，掌握猜想的方法，提高猜想的能力。要启发学生进行猜想，培养猜想意识，作为教师，首先要点燃学生主动探索之火，我们决不能急于把自己全部的秘密都吐露出来，而要“引在前” ， “引”学生观察分析；“引”学生大胆设问；“引”学生各抒己见；“引”学生充分活动。让学生去猜，去想，猜想问题的结论，猜想解题的方向，猜想出特殊到一般的可能，猜想知识间的有机联系，让学生把各种各样的想法都讲出来，让学生成为学习的主人，推动其思维的主动性。
13、要教给学生猜想的方法，如引导他们怎么整合材料、提出问题，又如何猜想结果或问题解决的途径；介绍各种实现猜想的途径、步骤、规律、方法；共同研究猜想途径的合理性和有效性等。五、需要主要的几个问题：、要既教猜想，又教证明。猜想是一种直觉思维，它对问题的判断是靠经验和直觉，有科学的成分，但缺乏逻辑依据，没有清晰的推理过程，所以我们不能把猜想的结果想当然地当作事实。现代心理学研究表明，知识的同化过程类似于假设检验的过程，也就是说学生在选择性知觉的基础上先对有关事物的意义进行推测，然后根据个方面的知识来检验猜测的正确性。若证实，则同化基本完成，若证伪，猜想被推翻，则要重新建立猜想，进行反省 直至完成。玻利亚
14、说：“数学家的创造性工作成果是通过论证推理即证明，但是这种证明是通过猜想而发现的。 ”因此，演绎推理与合情推理是相辅相成的，两者既对立又统一，是辨证的统一体。要真正体现学生的主题性，就必须使学生的认知过程是一个再创造的过程，教学中必须渗透“猜想+证明”的发现问题和解决问题的科学思维。、要既教猜想，又重视基本知识和能力的培养。数学家泰勒指出，具有丰富知识和经验的人，比具有一种知识和经验的人更容易产生新的猜想和独到的见解。仅当掌握了必要知识，才能进行分析、类比、联想、批判，很难想象一个没有数学知识的人会提出费尔马猜想等问题来。教育改革的经验告诉我们，在学生还没有掌握必要的基础知识之前，就去“猜想”
15、去“发现” ，必然会陷于盲目的“尝试错误”的学习之中。因此，在平时教学中，教师既要选择有利时机，设计适当的情景，对学生进行启发、诱导，激活他们的思维，促使他们去观察、去分析、去猜想、去探索，养成惯于猜想、善于猜想的思维习惯，又要注重基本知识和基本技能的培养，不断提高学生猜想的能力，提高猜想的合理性和有效性。、要加强对数学猜想的探索和研究，掌握数学猜想的方法和规律。数学猜想是建立在一定数学知识和经验上的创造性思维，是一种合情推理，是有价值的，值得尊重的。当然，数学猜想也有其内在的规律和方法，我们应不断探索和研究，使数学猜想真正走进数学课堂和学习过程中，促进数学思维品质的形成，促进数学的进步和进展，促进人的素质的全面提高，并最终促进人类的进步和自我解放。
